Documents

BISP_ID_UI_5.pdf

Description
Unitatea de învăţare 5 TEORIA JOCURILOR. TEORIA ECHIPAMENTELOR Obiectivele unităţii de învăţare: ã însuşirea cunoştinţelor teoretice privind elementele de bază ale teoriei jocurilor şi ale teoriei echipamentelor; ã înţelegerea şi însuşirea principalelor metode de rezolvare a problemelor de tip jocuri matriceale şi cu startegie mixtă şi a problemei timpului optim de înlocuire a unui echipament (utilizând un model determinist
Categories
Published
of 17
All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
Related Documents
Share
Transcript
   Unitatea de înv ăţ are 5 TEORIA JOCURILOR. TEORIA ECHIPAMENTELOR Obiectivele unit ăţ ii de înv ăţ are:   ã   însu ş irea cuno ş tin ţ elor teoretice privind elementele de baz ă  ale teoriei jocurilor ş i ale teoriei echipamentelor  ; ã   în ţ elegerea ş i însu ş irea principalelor metode de rezolvare a  problemelor de tip  jocuri matriceale ş i  cu startegie mixt  ă   ş i a problemei timpului optim de înlocuire a unui echipament (utilizând un model determinist  , discret sau continuu); ã   însu ş irea cuno ş tin ţ elor de baz ă   ş i deprinderilor practice necesare  pentru aplicarea  jocurilor matriceale ş i a teoriei echipamentelor   în situa ţ ii specifice ingineriei sistemelor de produc ţ ie; ã   dezvoltarea aptitudinilor de identificare a situa ţ iilor din conducerea optimal ă  a sistemelor de produc ţ ie în care pot fi aplicate teoria jocurilor   sau echipamentelor  . Cuprinsul unit ăţ ii de înv ăţ are: 5.1.   Elemente de teoria jocurilor 2 5.1.1.   Formularea problemei. Clasific ă ri 2 5.1.2.   Jocuri matriceale 3 5.1.3.   Jocuri cu strategie mixt ă  6 Teste de autoevaluare (sec ţ iunea 5.1) 8 Problem ă  propus ă  (sec ţ iunea 5.1) 8 5.2.   Elemente de teoria echipamentelor 9 5.2.1.   Problema timpului optim de înlocuire a unui echipament  – model determinist 9 5.2.2.   Modele aleatoare discrete pentru determinarea duratei optime de via ţă  a unui echipament 13 Teste de autoevaluare (sec ţ iunea 5.2) 15 Probleme propuse (sec ţ iunea 5.2) 16 Bibliografie 17 Solu ţ ia problemelor propuse 17  Conf. dr. ing. Andrei Dumitrescu   2   5.1. Elemente de teoria jocurilor În cele ce urmeaz ă , continu ă m prezentarea unora din metodele cercet  ă rii opera  ţ  ionale  (a se vedea sec ţ iunea 1.5). Astfel, vor fi prezentate în continuare elementele de baz ă  din teoria jocurilor. Teoria jocurilor modeleaz ă  situa ţ iile conflictuale (de competi ţ ie), cum ar fi: competitivitatea în economie, conflictele militare, politice sau din domeniul afacerilor. Teoria jocurilor  , abordat ă  succint în cadrul acestei sec ţ iuni, a fost dezvoltat ă  ca teorie matematic ă , pornind de la studiul jocurilor propriu-zise, de c ă tre J. von Neumann, spre sfâr  ş itul celui de-al doilea r  ă zboi mondial. 5.1.1. Formularea problemei. Clasific ă ri  Problema tipic ă  a teoriei jocurilor se poate formula astfel: Doi sau mai mul ţ i adversari pot influen ţ a pe anumite c ă i desf  ăş urarea unor evenimente, fiecare având unele interese (sau preferin ţ e), care nu pot coincide pentru aceast ă  desf  ăş urare. Principalele elemente ale unei probleme de teoria jocurilor sunt urm ă toarele: ã   num ă rul de    juc ă tori   (adversari);  juc ă torul   reprezint ă  o unitate de decizie (o persoan ă  sau un grup de persoane cu interese identice / o echip ă ) ale c ă rei interese sunt în contradic ţ ie cu ale oric ă rui alt  juc ă tor în cel pu ţ in o situa ţ ie; pot exista jocuri cu doi sau mai mul ţ i ( n ) adversari; ã   strategia  unui juc ă tor, ce reprezint ă  o specifica ţ ie complet ă  a deciziilor acelui juc ă tor ş i a ac ţ iunilor sale în condi ţ iile unei mul ţ imi  particulare de decizii ale celorlal ţ i juc ă tori; mul ţ imea strategiilor unui juc ă tor îi define ş te complet ac ţ iunile în toate eventualit ăţ ile imaginabile ale unui joc; ã    func  ţ  ia de retribu  ţ  ie , ce reprezint ă  câ ş tigul pentru fiecare juc ă tor ş i este func ţ ie de strategia sa ş i a celorlal ţ i juc ă tori (depinde de eficien ţ a strategiei sale); pentru a exista un joc, acest câ ş tig nu trebuie s ă  fie indiferent juc ă torilor; de exemplu, în cazul unui joc cu doi adversari, func ţ ia de retribu ţ ie pentru un juc ă tor,  A , este suma ob ţ inut ă  de  A  de la cel ă lalt juc ă tor,  B  (dac ă    A  pierde jocul, aceast ă  func ţ ie va lua valori negative). În cazul unui joc cu n  juc ă tori, se noteaz ă  cu  p i  câ ş tigul juc ă torului i , 1   ≤   i   ≤   n , fiind date strategiile tuturor celor n  juc ă tori. Un astfel de joc este numit cu sum ă  nul  ă  dac ă  se îndepline ş te condi ţ ia: ∑ = nii  p 1  = 0 . (5.1) Se pune problema stabilirii unor criterii care s ă  permit ă  alegerea deciziilor (strategiei) optime (celor mai potrivite) pentru fiecare juc ă tor în  parte. Jocurile studiate se pot clasifica dup ă  urm ă toarele trei criterii:  B azele I ngineriei S istemelor de P roduc ţ ie 5. Teoria jocurilor. Teoria echipamentelor    3 ã   în func ţ ie de modalitatea de stabilire a strategiei – joc cu decizii libere  (cu alegerea con ş tient ă  a strategiei) ş i joc cu decizii întâmpl  ă toare  (de exemplu , stabilite ca rezultat al arunc ă rii unui zar); ã   în func ţ ie de informa ţ ia disponibil ă  – joc cu informa  ţ  ie complet  ă  (dac ă  juc ă torii cunosc deciziile adversarilor, cum este cazul unui joc de ş ah) sau cu informa ţ ie incomplet  ă  (de exemplu , în cazul unui joc de c ă r  ţ i); ã   în func ţ ie de num ă rul de strategii ale juc ă torilor – joc  finit   (dac ă  num ă rul strategiilor este finit) sau infinit   (mul ţ imea strategiilor este infinit ă ). Observa ţ ie. Unele situa ţ ii din ingineria economic ă  în care este necesar  ă  luarea unei decizii (cum ar fi analiza investi ţ iei, înlocuirea unui echipament, controlul calit ăţ ii unui produs/serviciu), pot fi tratate ca un joc cu doi juc ă tori,  A   ş i  B , numit  joc împotriva Naturii  (Lumii), în care  A  este factorul de decizie uman, iar  B  este „Natura”, ce ofer  ă  mai multe situa ţ ii posibile, fiecare fiind asimilat ă  unei strategii. Dezavantajul acestui mod de abordare se exprim ă  prin constatarea c ă  este greu de acceptat ca „Natura” s ă  „ac ţ ioneze” astfel încât factorul uman s ă  ob ţ in ă  cel mai slab rezultat (cum este cazul unui joc cu doi adversari umani), jocul acestei fiind mai degrab ă  întâmpl ă tor. În subsec ţ iunile ce urmeaz ă , vom analiza doar cazul unui joc finit, cu doi adversari,  A   ş i  B , cu sum ă  nul  ă  (câ ş tigul realizat de un juc ă tor este egal ă  cu  pierderea celuilalt juc ă tor). Un astfel de joc se nume ş te  joc matriceal  . Un joc finit, cu doi juc ă tori, dar f  ă r  ă  sum ă  nul ă , se nume ş te bimatriceal  . 5.1.2. Jocuri matriceale Consider  ă m un  joc matriceal  , cu doi juc ă tori (adversari), nota ţ i  A   ş i  B . Fie a 1 , a 2 , …, a m  mul ţ imea strategiilor juc ă torului  A , notat ă    A    = { a i   | 1 ≤   i   ≤   m }.   Fie b 1 , b 2 , …, b n  mul ţ imea strategiilor juc ă torului  B , notat ă   B    = { b  j   | 1 ≤    j   ≤   n }.  Func  ţ  ia de retribu  ţ  ie  pentru juc ă torul  A , notat ă   c ij   =    f  ( a i ,   b  j ), 1   ≤   i   ≤   m, 1   ≤    j   ≤   n , reprezint ă  câ ş tigul ob ţ inut de juc ă torul  A  dac ă  el adopt ă  strategia a i , iar  B  adopt ă  strategia b  j . Juc ă torul  A  va urm ă ri maximizarea lui c ij , pe când  B  va urm ă ri minimizarea acestuia. Func ţ ia de retribu ţ ie pentru juc ă torul  B  este egal ă   ş i de semn contrar: c ij ’ = - c ij . Se construie ş te matricea C   = [   c ij   ], numit ă   matricea pl  ăţ  ilor   (a func ţ iei de retribu ţ ie) pentru juc ă torul  A . Dac ă    A  adopt ă  strategia a i , indiferent de strategia adoptat ă  de  B , î ş i va asigura un câ ş tig minim garantat egal cu: ) ijn j c ≤≤ 1 min  . Decizia optim ă  a juc ă torului  A  corespunde maximiz ă rii acestui câ ş tig garantat, adic ă : ( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ≤≤≤≤ ijn jmi c 11 minmax . Dac ă  juc ă torul  B  adopt ă  strategia b  j , indiferent de strategia adoptat ă  de  A , va înregistra o pierdere maxim ă  garantat ă  egal ă  cu: ijmi c ≤≤ 1 max .  Conf. dr. ing. Andrei Dumitrescu   4 Decizia optim ă  a juc ă torului  B  corespunde minimiz ă rii acestui câ ş tig garantat (cea care ofer  ă  cea mai mic ă  pierdere maxim ă ): n j ≤≤ 1 min [ ijmi c ≤≤ 1 max ]  . Se poate demonstra c ă  exist ă  rela ţ ia: ( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ≤≤≤≤ ijn jmi c 11 minmax ≤   n j ≤≤ 1 min [ ijmi c ≤≤ 1 max ] (5.2) Dac ă , în rela ţ ia de mai sus, simbolul „ ≤ ” devine „=”, cele dou ă  cantit ăţ i fiind egale cu 00  ji c , atunci ( 0 i a , 0  j b ) este strategia optim ă  pur  ă  (pentru ambii adversari), ( i 0 ,  j 0 ) se nume ş te punct de echilibru al matricei C   a câ ş tigurilor, v  = 00  ji c  reprezint ă   valoarea jocului  pentru  A  (pentru  B , valoarea jocului va fi - 00  ji c ), jocul se nume ş te  strict determinat   (cu strategii pure) ş i, în plus, are loc inegalitatea: 0 ij c   ≤   00  ji c   ≤    ji c 0  , oricare ar fi i   ≠   i 0 ,  j   ≠    j 0  . (5.3)  Aplica  ţ  ia 5.1 : S ă  se rezolve jocul matriceal caracterizat de urm ă toarea matrice C   a câ ş tigurilor pentru juc ă torul  A : C   = ⎟⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜⎜⎝ ⎛ − 132154203 .  Rezolvare : Strategiile juc ă torului  A , a 1 , a 2 , a 3 , corespund liniilor matricei C  , iar strategiile lui  B , b 1 , b 2 , b 3 , corespund coloanelor matricei C  . Câ ş tigul minim garantat al juc ă torului  A  dac ă  adopt ă  strategia a 1  va fi: )  j j c 131 min ≤≤  = min (3, 0, 2) = 0 . Dac ă    A  va adopta strategiile a 2 , respectiv a 3 , va ob ţ ine câ ş tigul garantat minim:  j j c 231 min ≤≤  = min (4, 5, 1) = 1 ,  j j c 331 min ≤≤  = min (2, 3, -1) = -1 . Strategia optim ă  pentru  A  va fi a 2 , ce corespunde maximiz ă rii câ ş tigului garantat: ( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ≤≤≤≤ ij ji c 3131 minmax = max (0, 1, -1) = 1 = c 23  . Pierderea maxim ă  garantat ă  a lui  B , corespunz ă toare strategiei b 1 , respectiv b 2 , b 3 , este: ( ) 131 max ii c ≤≤  = max (3, 4, 2) = 4 , ( ) 231 max ii c ≤≤  = max (0, 5, 3) = 5 , ( ) 331 max ii c ≤≤  = max (2, 1, -1) = 2 .
We Need Your Support
Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

Thanks to everyone for your continued support.

No, Thanks
SAVE OUR EARTH

We need your sign to support Project to invent "SMART AND CONTROLLABLE REFLECTIVE BALLOONS" to cover the Sun and Save Our Earth.

More details...

Sign Now!

We are very appreciated for your Prompt Action!

x