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Fluctuations of the front in a one dimensional model of $X+Y\to 2X$

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Fluctuations of the front in a one dimensional model of $X+Y o 2X$
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    t  ≥  0        θ    z     x ≤ r t  e θ ( x − r t ) η z ( t,x )  η z ( t,x )    X     x    t    X     y  ≤  z    r t    −∞    y  ≤  z    S     L    r 0  +  jL   j  ≥  1    r 0  + (  j  −  1) L  ℄   L    S      θ    L    L    { κ n  :  n  ≥  2 }    L  ℄    ℄       S     S ′ θ 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 S ′ θ    P  t f  ( r,η ) =  E  r,η [ f  ( r t ,η ( t ))]    C  ( S ′ θ )    E  r,η    P  r,η    { ( r t ,η ( t )) :  t  ≥  0 }        M   = 4( a  + 5) .    r  ∈  Z    ν  0  := 0    ν  1   { Y  r,i  : 1  ≤  i  ≤  a }    r  + 1    ν  2    { Y  z,i  :  r  ≤  z  ≤  r  + 1 , 1  ≤  i  ≤  a }    r  + 2   k  ≥  2    ν  k    { Y  z,i  :  r ∨ ( r + k − M  )  ≤ z  ≤  r  + k − 1 , 1  ≤  i  ≤  a }    r  + k    n  ∈  N   ˜ r rt  :=  r  + n,  if  n  k =0 ν  k  ≤  t < n +1  k =0 ν  k .   1  ≤  j  ≤  M   − 1    { ν  Mk +  j  :  k  ≥  1 }   M   ≥  3  ℄ lim t →∞ ˜ r rt /t  =:  α >  0 .  
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