Slides

O POVO NO ENEM 2012 Fasc 02

Description
1. Universidade Aberta do Nordeste e Ensino à Distância são marcas registradas da Fundação Demócrito Rocha. É proibida a duplicação ou reprodução desse…
Categories
Published
of 24
All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
Related Documents
Share
Transcript
  • 1. Universidade Aberta do Nordeste e Ensino à Distância são marcas registradas da Fundação Demócrito Rocha. É proibida a duplicação ou reprodução desse fascículo. Cópia não autorizada é crime. Matemática e suas Tecnologias Matemática Adriano Aquino, Carlos Mattos, Márcio Rebouças e Samyo Praciano 02 O TUcIaTão G R A ubli ç r p e Esta pode s da. n ão ializa erc e: com o sit on ível n m.br/ Disp w.fdr.co 12 w w em20 en
  • 2. 26
  • 3. Prezado(a) Leitor(a), de matemática aplicados no as e explora conhecimentos área de Matemática e suas Tecnologi s, porcentagem, juros e Este fascículo contempla a ínio sobre razões, proporçõe stões contex tualizadas que exigem dom rar o conhecimento cotidiano por meio de que nessa área, além de aprimo rcitará suas hab ilidades e suas competências problema em função afim. Assim, você exe ndezas e solucionar situações- qual é necessária para expressar a relação entre gra da linguagem matemática, a seu dia a dia. Bom estudo! Razões e ProporçõesConsidere que, no ano de 2010, o faturamento de umaempresa tenha sido de R$ 200.000,00 e que, em 2011,tenha sido de R$ 500.000,00. Poderíamos compararessas duas grandezas, subtraindo-as e dizendo que ofaturamento de 2011 é maior que o de 2010 em R$300.000,00. Entretanto, a diferença não dá uma ideiarelativa do crescimento do faturamento. Para obter essa ideia, podemos dividir os valores dosfaturamentos: 500000 = 2,5 . Desta maneira, dizemos 200000 Fonte: www.mundogeografico.sites.uol.com.brque as vendas de 2011 equivalem a duas vezes e meia asvendas de 2010 ou, ainda, que o crescimento foi de uma O mapa acima foi feito na escala 1:100000, ou seja,vez e meia do faturamento de 2010. Essa comparação é a cada 1 cm no desenho, temos 100000 cm ou 1km dedenominada razão. comprimento real. A distância entre os pontos A e B é de 5,5 cm no desenho, o que equivale a 5,5 km de distânciaRazão real. Observe que como a escala é uma razão, segue que Dados dois números a e b, com , define-se quanto maior é o denominador (distância real) menor érazão de a para b ou, simplesmente, razão entre a e b, a escala. anessa ordem, ao quociente que também pode ser 2. Densidade Demográfica é a razão entre o número b de habitantes e a área do território ocupado por elesindicado por a : b, em que o número a é denominadoantecedente e o número b é denominado consequente. número de habitantes Densidade Demográfica =As grandezas envolvidas em uma razão podem ser de área do territórioespécies diferentes (por exemplo, densidade demográ- A maneira como uma população está distribuída emfica) ou de mesma espécie (por exemplo, escala) sendo determinado território e as transformações que essa dis-expressas numa mesma unidade. tribuição sofre no decorrer do tempo são importantes para evidenciar problemas e contradições socioeconômi-Exemplos cas. Por exemplo, segundo dados do IBGE, o Brasil em1. Escala é a razão entre o comprimento no desenho e 2010 possuía 190.732.694 habitantes em uma área de o comprimento real correspondente. 8.514.215,3 km², ou seja, uma densidade demográfica comprimento no desenho de 22,40 habitantes por quilômetro quadrado.E = comprimento real Universidade Aberta do Nordeste 27
  • 4. Proporção Exemplo de aplicação Num bar, suco de tangerina é uma mistura de xaropeDefine-se proporção a uma igualdade de duas ou mais com água na razão de 1 parte de xarope para 2 de águarazões. Dizemos que os números a, b, c e d, com e refresco de tangerina é uma mistura de xarope com água na razão de 1 para 5. Juntando um copo de suco a ce , formam uma proporção quando = ou a : com um de refresco, obtemos uma mistura de xarope b d com água na razão deb = c : d, em que a e d são os extremos enquanto b e csão os meios. Por exemplo, os números 2, 4, 6 e 12 for- A. 1 para 3. B. 2 para 5. 2 6mam, nessa ordem, uma proporção, pois = , isto é, C. 3 para 5. 4 12 D. 5 para 13. 1 E. 6 para 17.os resultados das duas frações são iguais a , sendo esse 2resultado denominado constante de proporcionalidade. Solução: No suco, a quantidade de xarope é de 1 parte num total de 3 partes, enquanto a quantidade de água representa 2 partes num total de 3 partes. O refresco é constituído de 1 parte de xarope num total de 6 partes ePropriedades: de 5 partes de água num total de 6 partes. Misturando- -se 1 copo de suco com 1 copo de refresco, temos1. a = c ⇔ a ⋅ d = b ⋅ c 1 1 2+1 b d copo + copo copo xarope 3 6 6 3 1 2 6 = = = = (por exemplo, = ⇔ 2 ⋅ 9 = 3 ⋅ 6 ). água 2 5 4 +5 9 3 3 9 copo + copo copo 3 6 6 a c a +b c +d Assim, a proporção é de 1 parte de xarope para 3 partes2. = ⇔ = b d b d de água. (por exemplo, 3 = 6 ⇔ 3 + 2 = 6 + 4 ). Resposta: a 2 4 2 4 a c a +b c +d Números Diretamente Proporcionais3. = ⇔ = b d a c Dizemos que os números (x1, x2, ..., xn) são diretamente 3 6 3+2 6+4 proporcionais aos números (y1, y2, ..., yn), quando pode- (por exemplo, = ⇔ = ). mos estabelecer uma proporção direta entre esses valo- 2 4 3 6 x1 x2 x a c a −b c −d res, ou seja, = =…= n .4. = ⇔ = y1 y2 yn b d b d 5 10 5 − 3 10 − 6 (por exemplo, = ⇔ = ). Exemplo de aplicação 3 6 3 6 Três sócios resolveram abrir uma pizzaria. O primeiro in- a c a −b c −d vestiu 30 mil reais, o segundo investiu 40 mil reais e o5. = ⇔ = b d a c terceiro 50 mil reais. Após 1 ano de funcionamento, a 5 10 5 − 3 10 − 6 pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se esse lucro for (por exemplo, = ⇔ = ). distribuído de forma que a quantia recebida seja direta- 3 6 5 10 mente proporcional ao valor investido. Quanto cada um a c a +c a −c recebeu?6. = = = b d b +d b −d Solução: Indicando por a, b e c as quantias recebidas 6 4 6+4 6-4 (por exemplo, = = = ). por cada um dos sócios, temos: 9 6 9+6 9-6 a b c a + b + c = 24 e = = . 30 40 5028
  • 5. Somando os numeradores e denominadores da propor- Assim, o neto mais velho receberá 0,2 milhão (200 mil a b c a+b+c 24 1 reais), o neto do meio receberá 0,4 milhão (400 mil reais)ção, obtemos: = = = = = . 30 40 50 30 + 40 +50 120 5 e o neto mais novo receberá 0,5 milhão (500 mil reais).Daí: Observações a 1  30 = 5 1. Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais  a = 6 quando os valores da primeira grandeza e os valores b 1   = ⇔ b = 8 . da segunda grandeza são diretamente proporcio-  40 5 c = 10 nais. Assim, quando o valor (absoluto) de uma gran- c 1   50 = 5  deza aumenta (ou diminui) sendo multiplicada por uma constante k, o valor (absoluto) correspondenteAssim, o primeiro sócio receberá 6 mil reais, o segundo da outra grandeza aumenta (ou diminui) sendo mul-sócio receberá 8 mil reais e o terceiro sócio receberá 10 tiplicada pela mesma constante k.mil reais. 2. Duas grandezas são ditas inversamente proporcio- nais quando os valores da primeira grandeza e os valores da segunda grandeza são inversamente pro-Números Inversamente Proporcionais porcionais. Assim, quando o valor (absoluto) de umaDizemos que os números (x1, x2, ..., xn) são inversamente grandeza aumenta (ou diminui) sendo multiplicadaproporcionais aos números (y1, y2, ..., yn), quando po- por uma constante k, o valor (absoluto) correspon-demos estabelecer uma proporção entre os valores da dente da outra grandeza diminui (ou aumenta) sen-primeira sequência e os inversos dos valores da segunda do dividida pela mesma constante k.sequência, ou seja, x1 x2 x Exemplos = =…= n ⇔ x1 × y1 = x2 × y2 =…= xn × yn 1. Velocidade e distância percorrida são grandezas di- 1 1 1 retamente proporcionais, para um mesmo intervalo y1 y2 yn . de tempo. Observe o caso em que é medido o des- locamento de quatro móveis com velocidades dife-Exemplo de aplicação rentes durante duas horas:Uma senhora deseja dividir sua fortuna, que é de R$ Velocidade (km/h) 10 20 30 401.100.000,00 entre seus netos, de maneira inversamen- Deslocamento (km) 30 60 90 120te proporcional às idades desses netos. Sabendo que as Podemos observar que os valores da velocidade e doidades dos netos são 10, 5 e 4, qual a quantia recebida deslocamento formam uma proporção direta:por neto? 10 20 30 40Solução: Indicando por x, y e z os valores recebidos por = = = 30 60 90 120 .neto, temos: Observe que da velocidade 10 para a velocidade 30, x y z a grandeza foi multiplicada por 3, enquanto a dis-x + y + z = 11 e = = , 1 1 1. tância correspondente foi de 30 para 90, ou seja, 10 5 4 também multiplicada por 3.Somando os numeradores e denominadores da propor- 2 Velocidade e tempo gasto são grandezas inversamen-ção, obtemos: te proporcionais, para uma mesma distância. Observe x y z x+y+z 1,1 o caso em que é medido o deslocamento de qua- = = = = = 2. 1 1 1 1 1 1 11 tro móveis com velocidades diferentes para percorrer + +10 5 4 10 5 4 20 uma distância de 200 km: Velocidade (km/h) 10 20 40 50Daí: Tempo (h) 20 10 5 410x = 2 x = 0,2  Podemos observar que os valores da velocidade e do5y = 2 ⇔  y = 0,4 . deslocamento formam uma proporção inversa:4z = 2 z = 0,5  10 ⋅ 20 = 20 ⋅ 20 = 40 ⋅ 5 = 50 ⋅ 4 Universidade Aberta do Nordeste 29
  • 6. Observe que, da velocidade 10 para a velocidade Assim, os cinco pintores levariam 48 horas para pintar 40, a grandeza foi multiplicada por 4, enquanto o a casa. tempo correspondente foi de 20 para 5, ou seja, foi dividida por 4. Regra de Três CompostaRegra de Três Simples Quando tratarmos de mais de duas grandezas, podemos proceder de maneira idêntica à regra de três simples,Dadas duas grandezas e conhecendo 2 medidas de uma porém vamos adotar o seguinte procedimento:grandeza e 1 medida da outra, podemos calcular a quarta •• escolher uma das grandezas e comparar com as ou-medida estabelecendo uma proporção entre esses valores. tras, verificando se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais;Exemplo de aplicação •• isolar a fração obtida da grandeza que foi usadaSe 3 cachorros comem 5 quilos de ração, então 12 ca- para comparação no primeiro membro e no segun-chorros comem quantos quilos de ração? do membro colocamos o produto das frações obti-Solução: O número de cachorros e a quantidade de das das outras grandezas, com o cuidado de inverterração são grandezas diretamente proporcionais, pois, as frações que são de grandezas inversamente pro-quanto mais cachorros, mais ração será consumida. Va- porcionais à grandeza escolhida para comparação.mos representar que são diretamente proporcionais porduas setas com mesmo sentido. Exemplo de aplicação Cinco pessoas comem doze quilos de feijão em quatro ↑ (Nº de cachorros) ↑ (Qde de ração) semanas, em quanto tempo dez pessoas comem trinta 3 5 quilos de feijão? 12 x Solução: Vamos escolher o número de pessoas para comparar com as outras grandezas. Quanto mais pes-Estabelecendo a proporção, temos: soas, mais feijão será consumido, portanto a quantidade 3 5 de feijão e o número de pessoas são diretamente pro- = ⇔ 3x = 60 ⇔ x = 20 12 x . porcionais. Quanto mais pessoas, menos tempo irá durar o feijão, portanto o número de pessoas e o tempo sãoAssim, os 12 cachorros comem 20 quilos de ração. duas grandezas inversamente proporcionais.Exemplo de aplicaçãoQuatro pintores demoram 60 horas para pintar umacasa, quantas horas cinco pintores levariam para pintar ↑ (Nº de pessoas) ↑ (Qde de feijão) ↓ ( Tempo)a mesma casa? 5 12 4Solução: O número de pintores e a quantidade de horas 10 30 tsão grandezas inversamente proporcionais, pois, quan-do aumentamos o número de pintores, vamos precisar Estabelecendo a proporção, temos:de menos horas para executar o mesmo serviço. Vamosrepresentar as grandezas inversamente proporcionais 5 12 t = ⋅ ⇔ 120t = 600 ⇔ t = 5por duas setas com sentidos contrários. 10 30 4 . ↑ (Nº de pintores) ↓ (Qde de horas) Assim, dez pessoas comendo trinta quilos de feijão pre- 4 60 cisarão de cinco semanas. 5 x Questão comentada (Enem/2011) A resistência das vigas de dado comprimento éEstabelecendo a proporção, invertendo uma das frações, diretamente proporcional à largura (b) e ao quadrado da al-temos: tura (d), conforme a figura. A constante de proporcionalidade 4 x k varia de acordo com o material utilizado na sua construção. = ⇔ 5x = 240 ⇔ x = 48 5 60 .30
  • 7. Considere que a escala de tempo fornecida seja subs- tituída por um ano de referência, no qual a evolução química é identificada como 1º de janeiro à zero hora e a era dos dinossauros como dia 31 de dezembro às 23 h 59 min e 59,99 s. Desse modo, nesse ano de referência, a porcentagem de oxigênio (O2) presente na atmosfera atingiu 10% no A. 1º bimestre. B. 2º bimestre.Considerando-se S como a resistência, a representação C. 2º trimestre. D. 3º trimestre.algébrica que exprime essa relação é E. 4º trimestre.A. S = k ⋅ b ⋅ d .B. S = b ⋅ d 2 . 2. O gás natural veicular (GNV) pode substituir a gasoli-C. S = k ⋅ b ⋅ d 2 na ou o álcool nos veículos automotores. Nas grandes cidades, essa possibilidade tem sido explorada, princi-D. S = k ⋅ b palmente, pelos táxis, que recuperam em um tempo d2 relativamente curto o investimento feito com a con- 2E. S = k ⋅ d versão por meio da economia proporcionada pelo b uso do gás natural. Atualmente, a conversão paraSolução: A resistência S é diretamente proporcional à gás natural do motor de um automóvel que utilizalargura b e ao quadrado da altura d, ou seja, dividindo S a gasolina custa R$ 3.000,00. Um litro de gasolinapor b e por d2 obtemos uma constante: permite percorrer cerca de 10 km e custa R$ 2,80, enquanto um metro cúbico de GNV permite percor- S rer cerca de 12 km e custa R$ 1,80. Desse modo, b = k ⇔ S ⋅ 1 = k ⇔ S = k ⋅ b ⋅d 2 um taxista que percorra 6000 km por mês recupera o d2 b d2 . investimento da conversão em aproximadamenteResposta: C. A. 2 meses. B. 4 meses. C. 6 meses. D. 8 meses.Para aprender mais! E. 10 meses.1. A figura a seguir mostra a porcentagem de oxigênio (O2) presente na atmosfera, ao longo de 4,5 bilhões Leia mais! de anos, desde a formação da Terra até a era dos O número (letra grega que se pronuncia “fi”), apesar dinossauros. de não ser tão conhecido, tem um significado muito in- teressante. Durante anos, o homem procurou a beleza perfeita, a proporção ideal. Os gregos criaram, então, o retângulo de ouro. Era um retângulo, do qual havia proporções (do lado maior dividido pelo lado menor) e, a partir dessa proporção, tudo era construído. Assim, eles fizeram o Parthernon (proporção do retângulo que forma a face central e lateral). A profundidade dividida pelo comprimento ou altura, tudo seguia uma propor- ção ideal de 1,618. Os egípcios fizeram o mesmo com as pirâmides, cada pedra era 1,618 menor do que a pedra de baixo, a de baixo era 1,618 maior que a de cima, que era 1,618 maior que a da 3ª fileira e assim por diante.Disponível em: <http://www.universia.com.br/MIT/10/1018J/PDF/lec02hand2003. Durante milênios, a arquitetura clássica grega preva- pdf>. Acesso em: 1º mar.2009 leceu. O retângulo de ouro era padrão, mas, depois de Universidade Aberta do Nordeste 31
  • 8. muito tempo, veio a construção gótica com formas arre- obras. Mas Da Vinci foi ainda mais longe; como cien-dondadas, que não utilizavam retângulo de ouro grego. tista, pegava cadáveres para medir a proporção do seuMas, em 1200, Leonardo Fibonacci um matemático que corpo e descobriu que nenhuma outra coisa obedeceestudava o crescimento das populações de coelhos criou tanto à Divina proporção quanto o corpo huma-aquela que é provavelmente a mais famosa sequência no... obra-prima Divina.matemática: a Série de Fibonacci. A partir de 2 coelhos,Fibonacci foi contando como eles aumentavam a partir Exemplosda reprodução de várias gerações e chegou a uma sequên- 1. Meça sua altura e depois divida pela altura do seucia em que um número é igual a soma dos dois números umbigo até o chão; o resultado é 1,618.anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... 2. Meça seu braço inteiro e depois divida pelo tamanho 1 do seu cotovelo até o dedo; o resultado é 1,618. 1 3. Meça seu dedo, ele inteiro dividido pela dobra cen- 1+1=2 tral até a ponta ou da dobra central até a ponta 1+2=3 dividido pela segunda dobra; o resultado é 1,618. 2+3=5 4. Meça sua perna inteira e divida pelo tamanho do 3+5=8 seu joelho até o chão; o resultado é 1,618. 5 + 8 = 13 5. A altura do seu crânio dividido pelo tamanho da sua 8 + 13 = 21 mandíbula até o alto da cabeça; o resultado é 1,618; 13 + 21 = 34 6. Da sua cintura até a cabeça e depois só o tórax; o e assim por diante. resultado é 1,618. (Considere erros de medida da régua ou fita métrica que não são objetos acurados Aí entra a primeira “coincidência”: proporção de de medição.)crescimento média da série é 1,618. Os números variam, 7. Cada osso do corpo humano é regido pela Divinaum pouco acima às vezes, um pouco abaixo, mas a mé- Proporção. Seria Deus, usando seu conceito maiordia é 1,618, exatamente a proporção das pirâmides do de beleza em sua maior criação feita à sua imagemEgito e do retângulo de ouro dos gregos. Então, essa e semelhança?descoberta de Fibonacci abriu uma nova ideia de tal pro- Coelhos, abelhas, caramujos, constelações, girassóis,porção que os cientistas começaram a estudar a natu- árvores, arte e o homem; coisas teoricamente diferentes,reza em termos matemáticos e começaram a descobrir todas ligadas numa proporção em comum. Então, atécoisas fantásticas: hoje, essa é considerada a mais perfeita das proporções.•• a proporção de abelhas fêmeas em comparação com abelhas machos numa colmeia é de 1,618;•• a proporção em que aumenta o tamanho das espi- Porcentagem rais de um caracol é de 1,618;•• a proporção em que aumenta o diâmetro das espi- Qualquer razão de denominador 100 é chamada de rais sementes de um girassol é de 1,618; razão centesimal, taxa percentual ou simplesmente•• a proporção em que se diminuem as folhas de uma porcentagem. árvore à medida que subimos de altura é de 1,618. Exemplos E não só na Terra se encontra tal proporção. Nasgaláxias, as estrelas se distribuem em torno de um as- 3 1. = 3% .tro principal numa espiral obedecendo à proporção de 1001,618 também. Por isso, o número ficou conhecido 3 15 2. = = 15% .como a DIVINA PROPORÇÃO. Porque os historiadores 20 100descrevem que foi a beleza perfeita que Deus teria esco- 3 42, 86lhido para fazer o mundo. 3. ≅ 0, 4286 = = 42, 86% . Bom, por volta de 1500, com o Renascentismo, a 7 100cultura clássica voltou à moda. Michelangelo e, princi- Observe, no terceiro exemplo, que, para transfor-palmente, Leonardo da Vinci, grandes amantes da cul- marmos um número escrito na forma decimal para por-tura pagã, colocaram esta proporção natural em suas centagem, basta multiplicarmos o número por 100%.32
  • 9. Exemplos Por outro lado, caso um número seja multiplicado por1. 0, 23 = 0, 23 ⋅ 100% = 23% . 0,6, sofrerá uma decréscimo de 0,4 em relação a 1 (valor inicial), multiplicando 0,4 por 100%, concluímos que o2. 0,3214 = 0,3214 ⋅ 100% = 32,14% . decréscimo foi de 40%.Observação: Podemos calcular a porcentagem que umnúmero a representa de outro b, com , simples- Exemplos a 1 A temperatura de um corpo que é de 15° aumentoumente escrevendo a fração na forma de porcentagem. b 40% e, assim, a temperatura final do corpo será deExemplo: O número 9 representa 60% do número 15, 15° ⋅ (1 + 40%) = 15° ⋅ 1, 4 = 21° . 9 2. Uma pessoa comprou um computador depois = 0, 6 60% . = 15 R$ 1.200,00 com desconto de 15% e, as- sim, o preço final do computador será deVariação Percentual 1200 ⋅ (1 − 15%) = 1200 ⋅ 0, 85 = 1020 reais.Sendo V0 o valor inicial e V o valor final de uma grande-za, define-se variação percentual o número, escrito no Variações Percentuais Sucessivas V −V0 Considere i1, i2, ..., in como sendo as variações sucessivasformato de porcentagem, obtido pela razão , ou V0 de uma certa grandeza, para obter o valor final V deseja, Variação . uma grandeza, devemos multiplicar o valor inicial V0 por Valor inicial 1 mais cada taxa de variação, isto é: V = V0 ⋅ (1 + i 1 ) ⋅ (1 + i 2 ) ⋅ … ⋅ (1 + i n ) .Exemplos1. O preço de uma mercadoria aumentou de R$ Exemplo de aplicação 13,00 para R$ 25,00. Observe que o aumento foi O preço de um livro é de R$ 60,00. Em dezembro, o preço de 12 reais, enq
  • We Need Your Support
    Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

    Thanks to everyone for your continued support.

    No, Thanks
    SAVE OUR EARTH

    We need your sign to support Project to invent "SMART AND CONTROLLABLE REFLECTIVE BALLOONS" to cover the Sun and Save Our Earth.

    More details...

    Sign Now!

    We are very appreciated for your Prompt Action!

    x