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A função composta pode ser entendida pela determinação de uma terceira função C

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A função composta pode ser entendida pela determinação de uma terceira função C, formada pela junção das funções A e B. Matematicamente falando, temos que f: A → B e g: B → C, denomina a formação da função composta de g com f, h: A → C. Dizemos função g composta com a função f, representada por gof. Exemplo 1 Ao considerarmos as funções f(x) = 4x e g(x) = x² + 5, determinaremos: a) g o f (g o f)(x) = g(f(x)) g(x) = x² + 5 g(4x) = (4x)² + 5 g(4x) = 16x² + 5 (g o f)(x) = g(f(x)) = 16x² + 5 b) f o
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  A função composta pode ser entendida pela determinação de uma terceira funçãoC, formada pela junção das funções A e B. Matematicamente falando, temosque f: A → B e g: B → C  , denomina a formação da função composta de g com f, h: A → C  . Dizemos função g composta com a função f, representada por gof. Exemplo 1 Ao considerarmos as funções f(x) = 4x  e g(x) = x² + 5  , determinaremos:a) g o f (g o f)(x) = g(f(x))g(x) = x² + 5g(4x) = (4x)² + 5g(4x) = 16x² + 5(g o f)(x) = g(f(x)) = 16x² + 5   b) f o g(f o g)(x) = f(g(x))f(x) = 4xf(x² + 5) = 4 * (x² + 5)f(x² + 5) = 4x² + 20(f o g)(x) = f(g(x)) = 4x² + 20    Exemplo 2  Vamos determinar g(f(x)) e f(g(x)), em relação às funções f(x) = x + 2 e g(x) = 4x² –1.(g o f)(x) = g(f(x))  g(x) = 4x² – 1g(x + 2) = 4 * (x + 2)² – 1g(x + 2) = 4 * (x + 2) * (x + 2) – 1g(x + 2) = 4 * (x² + 2x + 2x + 4) – 1g(x + 2) = 4 * (x² + 4x + 4) – 1g(x + 2) = 4x² + 16x + 16 – 1g(x + 2) = 4x² + 16x + 15(g o f)(x) = g(f(x)) = 4x² + 16x + 15   (f o g)(x) = f(g(x))f(x) = x + 2f(4x² – 1) = (4x² – 1) + 2f(4x² – 1) = 4x² – 1 + 2f(4x² – 1) = 4x² + 1(f o g)(x) = f(g(x)) = 4x² + 1   1 - FUNÇÃO INVERSA Dada uma função f : A ® B , se f é bijetora , então define-se a função inversa f  -1 como sendo a função de B em A , tal que f  -1 (y) = x .Veja a representação a seguir:É óbvio então que:a) para obter a função inversa , basta permutar as variáveis x e y .b) o domínio de f  -1 é igual ao conjunto imagem de f .c) o conjunto imagem de f  -1 é igual ao domínio de f .  d) os gráficos de f e de f  -1 são curvas simétricas em relação à reta y = x ou seja , àbissetriz do primeiro quadrante . Exemplo: Determine a INVERSA da função definida por y = 2x + 3.Permutando as variáveis x e y, fica: x = 2y + 3Explicitando y em função de x, vem:2y = x - 3 \ y = (x - 3) / 2, que define a função inversa da função dada.O gráfico abaixo, representa uma função e a sua inversa.Observe que as curvas representativas de f e de f  -1 , são simétricas em relação àretay = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.Exercício resolvido:A função f: R ® R , definida por f(x) = x 2 :a) é inversível e sua inversa é f  -1 (x) = Ö xb) é inversível e sua inversa é f  -1 (x) = - Ö xc) não é inversíveld) é injetorae) é bijetoraSOLUÇÃO:Já sabemos que somente as funções bijetoras são inversíveis, ou seja, admitemfunção inversa. Ora, a função f(x) = x 2 , definida em R - conjunto dos números reais- não é injetora, pois elementos distintos possuem a mesma imagem. Por exemplo,  f(3) = f(-3) = 9. Somente por este motivo, a função não é bijetora e, emconseqüência, não é inversível.Observe também que a função dada não é sobrejetora, pois o conjunto imagem dafunção f(x) = x 2 é o conjunto R + dos números reais não negativos, o qual nãocoincide com o contradomínio dado que éigual a R. A alternativa correta é a letra C. 2 - FUNÇÃO COMPOSTA Chama-se função composta ( ou função de função ) à função obtida substituindo-se a variável independente x , por uma função.Simbologia : fog (x) = f(g(x)) ou gof (x) = g(f(x)) . Veja o esquema a seguir:Obs : atente para o fato de que fog ¹ gof , ou seja, a operação composição defunções não é comutativa .Exemplo:Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-se determinar gof(x) e fog(x).Teremos:gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3Observe que fog ¹ gof .Exercícios resolvidos:1 - Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d . Podemosafirmar que a igualdade gof(x) = fog(x) ocorrerá se e somente se:a) b(1 - c) = d(1 - a)b) a(1 - b) = d(1 - c)c) ab = cd
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