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A Integral Definida Cálculo de Área

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  A Integral Definida e o Teorema Fundamental do CálculoA Área como Limite de uma Soma Considere a área da região sob a curva y = f(x)  em um intervalo b x a  ≤≤ , onde 0  ) x ( f   ≥  e f   é contínua. Obteremos a área dividindo aregião dada em uma série de regiões retangulares e calculamos o valor aproximado da área A sob a curva y = f(x)  somando as áreas dessas regiõesretangulares.Para começar, dividimos o intervalo b x a  ≤≤  em n  subintervalos iguais dalargura n /  )ab(  x   −=∆ , e camamos de  j   x  a extremidade es!uerda do intervalode ordem  j  , para n,,3,2 ,1 j    = . m seguida, traçamos n  ret#ngulos tais !ue oret#ngulo de ordem  j   tena uma largura igual a  x  ∆ e uma altura igual a  ) x ( f    j  .  A área do ret#ngulo de ordem  j  ,  x  ) x ( f   j   ∆ é aproximadamente igual $ área sob acurva dada no intervalo 1 j  j   x  x  x  + ≤≤ . A soma das áreas dos n  ret#ngulos é [ ]  x  ) x ( f  ) x ( f  ) x ( f S  x  ) x ( f  x  ) x ( f  x  ) x ( f S n2 1n n2 1n ∆+++= ∆++∆+∆=   !ue é aproximadamente igual $ área total A sob a curva dada. %uanto maior o n&mero n  de subintervalos, mais a soma aproximada S n  seaproxima do !ue consideramos intuitivamente como a área sob a curva dada.  Área sob uma curva . 'e(a )*x+ uma )unção contínua tal !ue 0  ) x ( f   ≥  nointervalo b x a  ≤≤ . A área sob a curva y = f(x)  no intervalo b x a  ≤≤  é dada por  [ ]  x  ) x ( f  ) x ( f  ) x ( f lim A n2 1n ∆+++= +∞→   onde  j   x   é a extremidade es!uerda dosubintervalo de ordem  j   se o intervalo b x a  ≤≤  )or dividido em n  partes iguaisde comprimento nab x   −=∆ . Integral Definida . 'e(a f(x)  uma )unção contínua no intervalo b x a  ≤≤ .'upona !ue este intervalo tena sido dividido em n  partes iguais de largura nab x   −=∆  e se(a  j   x   um n&mero pertencente ao intervalo de ordem  j  , para n,,3,2 ,1 j    = . orme a soma [ ]  x  ) x ( f  ) x ( f  ) x ( f  n2 1  ∆+++    conecida como soma de Riemann .-esse caso, a integral definida  de f(x) no intervalo b x a  ≤≤ ,representada pelo símbolo ∫  ba  dx  ) x ( f  , é dada pelo limite da soma de iemann!uando +∞→ n , ou se(a, [ ]  x  ) x ( f  ) x ( f  ) x ( f limdx  ) x ( f  n2 1nba  ∆+++= +∞→ ∫     . A )unção f(x)  recebe o nome de integrando  e os n&meros a  e  b  são camadosde limite inferior de integração  e limite suerior de integração ,respectivamente. O processo de calcular uma integral de)inida é camado de integração definida . Corolário . 'e f contínua em b x a  ≤≤  e F   é uma antiderivada de f  , então  )a( F  )b( F  )]  x ( F dx  ) x ( f   baba  −== ∫  . Teorema . 'e f   é contínua em b x a  ≤≤ , então f é integrável em b x a  ≤≤ .  Área como uma Integral Definida . 'e f(x)  é uma )unção contínua e 0  ) x ( f   ≥ no intervalo b x a  ≤≤ , a área  A  da região R   sob a curva y = f(x)  no intervalo b x a  ≤≤  é dada pela integral de)inida ∫  =  ba  dx  ) x ( f  A .  Teorema Fundamental do Cálculo . 'e a )unção f(x)  é contínua no intervalo b x a  ≤≤ ,  )a( F  )b( F dx  ) x ( f  ba  −= ∫   onde F(x)  é a antiderivada de f(x)  nointervalo b x a  ≤≤ . /.0se o teorema )undamental do cálculo para determinar a área da região sob a reta 1 x 2 y   += no intervalo 3 x 1  ≤≤ .1.0se o teorema )undamental do cálculo para determinar a área da região sob acurva 1 x y   3 += no intervalo 1 x 0   ≤≤ . Regras ara Integrais Definidas 'e(am f e g )unções contínuas no intervalo b x a  ≤≤ . -esse caso,/. Regra da multilicação or uma constante 2 ∫ ∫  = baba  dx  ) x ( f k dx  ) x ( kf  onde k é uma constante1. Regra da soma 2 [ ] ∫ ∫ ∫  +=+ bababa  dx  ) x ( g dx  ) x ( f dx  ) x ( g  ) x ( f  3. Regra da diferença 2 [ ] ∫ ∫ ∫  −=− bababa  dx  ) x ( g dx  ) x ( f dx  ) x ( g  ) x ( f  4.  ∫   = aa  0 dx  ) x ( f  5.  ∫ ∫  −= abba  dx  ) x ( f dx  ) x ( f  6. Regra da subdivisão 2 ∫ ∫ ∫   +=  bc c aba  dx  ) x ( f dx  ) x ( f dx  ) x ( f  /+Calcular a integral de)inida dada usando o teorema )undamental do cálculo.a+  ∫  − 2 1 dx 5  b+  ∫   + 5 0   dx  )2  x 3(  c+  ∫  − 11 d! ! 3 d+  ∫  −  − 11  d  ) 2 (   32 31 e+  ∫   − − 10  x  x  dx  )#( # )+  ∫   ++ 10 3 dx  )1 x 3 x (  g+  ∫   ++ 5 2 2  d!  )! 3! 2 2 (  +  ∫        ++ 31 2   dx  x 1 x 11 i+  ∫  −− + 13 3  d! ! 1!   (+  ∫   − 2 1 dx  ) x 2 (  7+  ∫  − 12   dx  π   l+  ∫   − 1  d!  )! 2 5 (   m+  ∫  4/   d 2  n+  dx  x  $ 2 3 ∫   − o+  ∫  −  ++−− 0 12 5  dx  )5  x 2  x 3 x 3(  p+  d! ! !  $1 ∫        − !+  ∫   − % 12  dx  )1 x (  x  r+  ∫  −  + 0 3 dx  )%  x 2 (  Alicaç!es da Integração Definida Área entre Curvas e #alor $%dio m certos problemas práticos, pode ser interessante representar umagrande8a de interesse na )orma de área entre duas curvas. 9nicialmente, vamossupor !ue f e g   se(am )unções contínuas, não:negativas ;ou se(a, !ue 0  ) x ( g 0  ) x ( f   ≥≥  e < e satis)a8em a desigualdade  ) x ( g  ) x ( f   ≥ no intervalo b x a  ≤≤ .  =rea de  > área de  /  ? área de  1 -este caso, para determinar a área da região  entre as curvas  ) x ( g y  ) x ( f y   ==  e no intervalo  b x a  ≤≤ , simplesmente subtraímos a área sob acurva de baixo  ) x ( g y   = da área sob a curva de cima  ) x ( f y   = . Cálculo da área entre curvas através de integral inde)inidas.
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