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A Model for the Optimal Allocation of Voltage Regulators and Capacitors based on MILP Applied to Distribution Systems in Steady State

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THE 1 th LATIN-AMERICAN CONGRESS ON ELECTRICITY GENERATION AND TRANSMISSION - CLAGTEE A Moel or the Optimal Allocatio o Voltage Regulators a Capacitors base o MILP Applie to Distributio Systems i
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THE 1 th LATIN-AMERICAN CONGRESS ON ELECTRICITY GENERATION AND TRANSMISSION - CLAGTEE A Moel or the Optimal Allocatio o Voltage Regulators a Capacitors base o MILP Applie to Distributio Systems i Steay State M. S. Merao, S. M. C. Tome, L. L. Martis, P. L. Cavalcae, H. Iwamoto, M. R. R. Malveira a T. M. e Moraes Abstract--This article preses a Mixe Ieger Liear Programmig moel or optimal allocatio o Capacitors Baks (CBs) a Voltage Regulators (VRs) applie to a istributio etwork i ormal operatig coitios. This moel was evelope i a project withi a R&D Brazilia program, i partership with the brazilia utility Eergisa. The objective is to miimize techical losses, ivestme i equipme a O&M costs cosierig may egieerig costrais rom Eergisa like the (equivale moophasic) power low or iere loa levels, the miimum a maximum voltage limits, a the miimal istace betwee two CBs. The CBs that will be allocate ca be ixe or switche a may have iere capacities (i kvar), while the VRs have ixe regulator actor a umber o taps. This article preses the umerical results o tests base o theoretical etworks with 70, 0 a 400 oes a three loa levels solve usig the ree MILP solver C. For each test it is cosiere iere liearizatios o the prouct o the square tesio at oes a the square curre i braches. The results will be aalyze comparig the objective uctio obtaie with each liearizatio as well the tesio o the oes, the curre a power at each oe. Iex Terms Mixe ieger liear programmig, Optimizatio, Reactive power corol, Strategic plaig, Voltage corol. I. NOMENCLATURA Baco e capacitor RT Regulaor e tesão O&M Operação e mauteção PLIM Programação Liear Ieira Mista A II. INTRODUÇÃO s cocessioárias e eergia elétrica estão sempre buscao soluções que propiciem o melhor uso e seus recursos para o corole e reativos, por meio a istalação e Baco e Capacitores (s), e os íveis e tesão, alocao This work was supporte by a R&D project ue by ANEEL. M. S. Merao, S. M. C. Tome, L. L. Martis, P. L. Cavalcae, H. Iwamoto, M. R. R. Malveira are with the Fuação Cero e Pesquisa e Desevolvimeo em Telecomuicações CPqD, Campias SP, , Brazil ( {mmerao, sarat, luaa, plopes, hiwamoto, T. M. e Moraes is with the Eergisa, Aracaju SE, Brazil ( Regulaores e Tesão (RTs). Nesse coexto, a ecisão e quais e oe esses equipameos evem ser istalaos é uma as questões uameais e plaejameo a serem trataas, associaa à miimização as peras técicas, os ivestimeos e os custos e operação e mauteção (O&M). A alocação esses equipameos cosierao parâmetros elétricos, iaceiros e estratégicos ão é uma tarea trivial e moelos e otimização poem ser errameas apropriaas para melhorar o retoro o ivestimeo para a cocessioária, aliaa à melhoria a qualiae a eergia eregue aos cosumiores. Quao se trata a alocação e s e RTs, é uma prática usual resolver primeiramee o problema e reativos, alocao s e, posteriormee, corrigem-se os íveis e tesão para patamares aequaos, por meio a alocação os RTs. Um trabalho pioeiro esse tipo e aboragem é escrito em três partes em [1], [] e [3]. Algumas publicações apreseam moelos matemáticos e otimização que tratam os problemas e maeira iepeee, tais como, [4] e [5]. Há aia, os que se preocupam com a alocação e s e elimiação as violações e tesão por meio o ajuste os taps os trasormaores e potêcia [6]. Eretao, cosierar a alocação simultâea tem a vaagem e assegurar que o cojuo os equipameos a serem istalaos é o mais apropriao para tratar o problema e corole e tesão e reativos. Existem publicações que aboram essa questão a simultaeiae usao como solução meta-heurísticas, em particular, algoritmos geéticos, como apreseao em [7] e [8], busca tabu, coorme escrito em [9] e otimização por exame e partículas versão biária, como mostrao em [10]. O uso e Programação Liear Ieira Mista (PLIM) para a resolução a alocação simultâea e s e RTs, como em [11] e [1], parece ser meos exploraa o que outras aborages. Este artigo apresea um moelo baseao em PLIM para a alocação simultâea e s e RTs aplicao a sistemas e istribuição e eergia elétrica operao em regime permaee. O moelo oi esevolvio ero o programa brasileiro e P&D em parceria com a cocessioária e istribuição e eergia elétrica Eergisa. O objetivo o moelo proposto é miimizar as peras técicas, os ivestimeos em equipameos e os custos e O&M, cosierao iversas restrições e técicas e operacioais eiias juamee com a Eergisa. Eretao, THE 1 th LATIN-AMERICAN CONGRESS ON ELECTRICITY GENERATION AND TRANSMISSION - CLAGTEE 017 para que o moelo seja ormulao como um problema e PLIM é ecessário que toas as suas equações sejam lieares. Por essa razão, as equações que escrevem o estao e operação o sistema (equações e luxo e potêcia) e a moelagem os RTs evem ser liearizaas. Nesse moelo aota-se uma ova proposta e liearização a equação que represea um RT, que simpliica em grae meia aquela escrita em [4]. Um os poos críticos essas liearizações é a iroução e muitas variáveis ieiras o moelo, que implicam um esorço computacioal exaustivo para etermiar a sua solução. Logo, ecorar ormas alterativas e liearizações é importae para a reução esse esorço. Com esse objetivo, são aalisaas ierees ormas e liearização as equações e luxo e potêcia e os resultaos uméricos obtios em caa uma elas comparaos. Por im, são apreseaos os resultaos os testes realizaos em rees e istribuição elétrica teóricas com 70, 0 e 400 barras e três patamares e carga (leve, méia e pesaa), utilizao um solver livre e PLIM eomiao C [13]. Este trabalho está orgaizao e acoro com a seguie sequêcia: as seções III e IV apreseam-se, respectivamee, as premissas aotaas a elaboração o moelo e uma breve escrição este. Na Seção V, são mostraos os resultaos uméricos ecorrees as rees teóricas cosieraas e, a Seção VI, as cosierações iais. As reerêcias bibliográicas ecoram-se a Seção VII e as biograias os autores, a Seção VIII. III. PREMISSAS ADOTADAS O moelo trata a alocação simultâea e s e RTs em um sistema e istribuição em regime permaee, em que se cosiera sua operação raial. As barras esse sistema são eotaas por i V, oe V represea o cojuo as barras (ós) a ree, e caa um e seus trechos é represeao por um par e barras A, oe A simboliza o cojuo os trechos, seo a barra i a que se situa mais próxima a subestação. Esse sistema é balaceao e represeao pelo seu equivalee mooásico e amite-se a existêcia e ierees patamares e carga, cujas cargas são represeaas por potêcias ativa e reativa costaes. O cojuo os patamares e carga é eotao por D. A. Variáveis e ecisão Os s cosieraos a alocação poem ser ixos ou chaveaos (automáticos) e ierees capaciaes (em kvar), e com custos e aquisição e O&M istios. Deiemse ois cojuos e s: C, quao esses orem ixos, e C a, se automáticos. A caa tipo e está associaa uma variável e ecisão (biária) que etermia o local e istalação e a sua capaciae. Essas variáveis são represeaas por x i, e y i, a, para too i V, tal que C e a C a. Em relação aos RTs, amite-se apeas um tipo e RT, com mesma taxa e regulação e úmero e taps, mas com ierees potêcias (em kva), escolhias a posteriori em ução a corree passae obtia. Embora os custos e aquisição os RTs muem em ução a potêcia, amitem-se os mesmos custos para toos eles, pois essa variação ão é sigiicativa. O mesmo se aplica aos custos e O&M. O moelo etermia, além o local e sua istalação, o tap e operação para caa patamar e carga. A variável que eie o local e istalação é eotaa por z, tal que A, e a que etermia a posição o tap mais aequaa para um etermiao patamar e carga é represeaa por, oe A, D e t [3,3]. B. Graezas elétricas,, t Para caa patamar e carga, o moelo etermia, além a alocação e s e RTs, as seguies graezas elétricas: P, - luxo e potêcia ativa o trecho A o patamar e carga ; Q, - luxo e potêcia reativa o trecho A o patamar e carga ; I, - magitue a corree o trecho A e V - magitue a tesão a barra i. C. Moelagem os RTs Os RTs são moelaos usao a seguie expressão escrita em [4] e [14] e apreseaa em (1):, ~ V 1 r% V, (1) ~ em que V e V represeam, respectivamee, as tesões ão regulaas (aes o RT) e regulaas (epois o RT), r % é a taxa e regulação o RT, o úmero e taps e, eota o úmero ieiro e passos o tap o RT o patamar e carga. O valor e, é limitao coorme equação ():, () D. Liearizações o Fluxo e Potêcia As equações que escrevem o luxo e potêcia são aas pelas expressões (3) e (4): A SE D P j P, RI, Pi, P (3) jia A SE D Q j Q i j, X I, Q Q Q (4) jia para quaisquer iv e D, em que: - R e X são, respectivamee, a resistêcia e a reatâcia o trecho ; THE 1 th LATIN-AMERICAN CONGRESS ON ELECTRICITY GENERATION AND TRANSMISSION - CLAGTEE SE - P e Q SE são, respectivamee, os luxos e potêcias ativa e reativa orecios pela subestação (i = 1) o patamar e carga ; D D - P e Q são as parcelas e potêcias ativa e reativa a carga a barra i o patamar e carga. O termo Q represea a coribuição e potêcia reativa ecorree a istalação os s ixos e automáticos e é ao por (5): Q. x a. x a C ac a Além isso, compõem o luxo e potêcia as expressões que escrevem a quea as magitues e tesão e corree aas por (6) e (7): ~ V i,,, R P i j X Q Z I, V j, 0 (6) para quaisquer (5) Vi, I, P, Q, A, (7) A e D e oe Z é a impeâcia o trecho. Observa-se que as equações (3), (4), (6) e (7) são ão lieares e, como este artigo utiliza-se PLIM para resolver o moelo em questão, az-se ecessário liearizá-las. Para isso, primeiramee, substituem-se os termos respectivamee, pelas variáveis isso, os termos P,, Q, e I,, I, I,, V e V e ~ V j, V ~,. Além V são aproximaos por uções lieares por partes, coorme apreseao em [14]. IV. DESCRIÇÃO DO MODELO DE ALOCAÇÃO ÓTIMA DE E RT Os moelos e PLIM caracterizam-se por possuírem uma ução objetivo, a qual se eseja etermiar seu valor míimo (ou máximo), e um espaço e soluções, eomiao região viável, que é eiio por um cojuo e restrições. Como mecioao, o corole e reativos e os íveis e tesão é realizao miimizao as peras técicas, os gastos em ivestimeos e os custos e O&M. Logo, a ução objetivo eve cosierar essas três parcelas e as restrições o moelo poem ser orgaizaas a seguie maeira: - Fluxo e potêcia liearizao; - Restrições relativas à alocação os s; - Restrições relativas à alocação os RTs; - Restrições reerees à alocação cojua e s e RTs; e - Restrições reerees aos limites e tesão e corree. A seguir apresea-se uma escrição a ução objetivo e e caa grupo e restrições. A. A ução objetivo o moelo A ução objetivo o moelo é composta por três parcelas e é mostraa em (8): obj PtecGastos GastosRT, (8) em que Ptec, Gastos e GastosRT represeam as peras técicas e os gastos relativos aos s e RTs, respectivamee, urae o períoo e aálise. As peras técicas (Ptec) são calculaas a partir as peras técicas auais ( Ptec ), aas pela expressão (9): em que carga, ao e Ptecao h C R I, D A (9) h é o úmero e horas em um ao o patamar e e C é o custo a eergia o patamar e carga, R é a resistêcia o trecho e I é o quarao o luxo e corree o trecho. A partir esse valor calculam-se as peras totais para o horizoe e plaejameo () cosierao, coorme expressão (10): 1 Ptec Ptecao, (10) ao1 (1 tesc) em que t esc é a taxa e escoo. As parcelas Gastos e Gastos RT icorporam os ivestimeos em s (Iv e Iva) e em RTs (Ivr), respectivamee, os seus custos e O&M (OM, OMa e OMr) e e istalação (C ist e C RTist ). Amite-se que os ivestimeos ocorram o primeiro ao, assim como o custo e istalação, equao que os custos e O&M acoecem ao logo o horizoe e aálise. A parcela Gastos é aa pela expressão (11): em que: Gastos Iv Ist OM, (11) Iv Iv x Ivaa ya iv (1) C ac a Ist Cist x Cist ya iv (13) C ac a 1 OM _, 1(1 ) OM aual (14) ao ao tesc iv em que: OM _ aual OM.x OMaa. y a iv (15) C ac a A parcela Gastos RT é aa pela expressão : em que: Gastos RT IvRT IstRT OM RT, (16) THE 1 th LATIN-AMERICAN CONGRESS ON ELECTRICITY GENERATION AND TRANSMISSION - CLAGTEE Iv Ivr. RT z A Ist C. z RT A RTist (17) (18) 1 OM RT.. 1(1 ) OMr z (19) ao tesc A B. Restrições que represeam o luxo e potêcia liearizao As equações o luxo e potêcia, escritas pelas expressões (3) a (7), são restrições o moelo. Em outras palavras, a solução ecoraa eve satisazer essas equações. C. Restrições reerees à alocação e s Para etermiar a alocação e um automático, além a variável ya, que eota a alocação e um automático, utiliza-se uma variável auxiliar q i a,, que represea a alocação esse equipameo em um etermiao patamar e carga. Essas uas variáveis se relacioam a orma mostraa em (0): x a q a, iv, ac a e D. (0) Além isso, essa variável auxiliar q i a,, permite também moelar a restrição e istalar apeas s ixos a emaa leve ( 1), que equivale a restrigir a istalação e s automáticos a emaa leve. A escrição matemática essa restrição é aa pela equação (1): ac a qi, a, 0 iv e 1. (1) Também ão se permite a istalação e ois s a uma istâcia ierior a um etermiao valor pré-coigurável, eotao por Dist mi. Matematicamee, essa restrição é represeaa por (): x x y a y a 1 iv, jv C ac a () tal que Dist( j) Distmi, em que Dist ( j) represea a istâcia ere uas barras i e j. D. Restrições reerees à alocação e RTs As restrições reerees à alocação e RTs partem a moelagem e um RT. Como poe ser observao as equações o luxo e potêcia é sempre utilizao o quarao a magitue a tesão. Logo, a equação (1) poe ser reescrita a seguie orma:,, ~ Vi, 1r % r% V. (3) ~ Substituio-se as variáveis V e V, respectivamee, por ~ V e V j,, tem-se: ~ V t V, (4),,, em que t 1 r% r%., Essa expressão, que é ão liear, eve ser substituía por restrições lieares, ou seja, o termo t, eve ser represeao por uma expressão liear. Para isso, é ecessário eiir as seguies variáveis biárias: k tal que k, 1,,..., 1,. Essas variáveis evem satisazer à coição e apeas uma assumir o valor uitário para qualquer ou seja, evem ateer (5): k 1. (5) k Para represear os ierees valores e costae (6): k k k t 1 r% r%, t,, é criaa a (6) tal que k, 1,,..., 1,. Dessa orma, a equação (3) poe ser reescrita por meio as restrições (7) e (8): k ~ k V t, V (1, ) M (7) k ~ k V t V (1 ) M, (8),, em que M é um valor grae o suiciee para que as equações k (7) e (8) sejam válias quao 0. Além isso, é preciso que as variáveis biárias assumam o valor zero sempre que ão houver um RT istalao o trecho, ou seja, quao z = 0. Isso poe ser obtio por meio a expressão : k, z A e k, 1,...,, 1, 1,,..., 1,. (9) E. Restrições reerees à alocação cojua e s e RTs O moelo ão permite a istalação e um e e um RT THE 1 th LATIN-AMERICAN CONGRESS ON ELECTRICITY GENERATION AND TRANSMISSION - CLAGTEE em uma mesma barra e essa restrição é moelaa usao a equação (30). x y C ac a a z 1 jv e A F. Restrições reerees aos limites e tesão e corree (30) As magitues e tesão em caa barra são limitaas a um valor míimo ( ) e máximo ( ). Matematicamee, essas restrições são escritas a seguie orma (31): Vmi V Vmax iv. (31) Já a magitue e corree é limitaa à máxima corree amissível o trecho (I max ), expressa em (3): I Imax A. (3) Em resumo, o moelo proposto é escrito a seguie orma: Mi (8) Sujeito a: (3), (4), (6), (7), (0)-(), (5), (7)-(3) q a, {0,1} iv, ac a e D. (33) x {0,1} iv e C (34) y a {0,1} iv e ac a (35) z { 0,1} A (36) k, {0,1} A, D e k,..., 1, 1,...,. (37) V. RESULTADOS NUMÉRICOS Um os poos que compromete o tempo e processameo o moelo proposto são as liearizações as expressões que escrevem o luxo e potêcia, como poe ser observao as equações (3) a (7). Aia que seja eita a substituição e V por. I i V e e I por, V permaece a equação (7). I, a ão lieariae o prouto Como mecioao, algumas estratégias poem ser aotaas para liearizar o prouto V. I como aquela apreseaa em [14] e [15], a qual esse prouto é aproximao por uma ução liear por partes. Eretao, essa aboragem irouz um úmero sigiicativo e variáveis ieiras, que aumea epeeo o úmero e partes aotao, o que é custoso o poo e vista computacioal. Outra estratégia é ixar o valor e V. I V o prouto, elimiao, assim, essa ão lieariae. Eretao, é esperao que se irouza um erro maior se comparao com a aboragem a liearização por partes. Algus testes uméricos oram eão realizaos com o iuito e avaliar o erro irouzio com essa estratégia. Para tao, o termo V oi ixao em: 1. Vmax Vom. 3. Vmi Vmax V. me Os testes oram aplicaos a três sistemas e istribuição e eergia teóricos com 70, 0 e 400 barras, escritos em [14] e [15], cosierao ierees patamares e carga. Além isso, oram aotaas iversas capaciaes e s ixos e automáticos, que eiem os cojuos C {300,600,900 } e C a {300,600,900} (ambos em kvar). Os custos variam em ução a capaciae, seo os s automáticos mais caros que os ixos. Os RTs têm taxa e regulação e 10% e 3 taps e seu valor é em toro e vie vezes o e um ixo e 300 D D kvar. Os valores e P e Q, respectivamee, as parcelas e potêcias ativa e reativa a carga a barra i patamar e carga, são os mesmos apreseaos em [14] e [15]. Cosierou-se também que as barras istam uma as outras e 100 m e Dist mi = 500 m (Equação ). Iicialmee, oram eiios os equipameos a serem istalaos e os seus locais e istalação cosierao-se a. aproximação o prouto V I por me I V.. Uma vez ixaos os equipameos a ree oram comparaos os valores as graezas elétricas, V, com caa aproximação (, I, P, e e Q,, obtias ) com aqueles. calculaos aotao-se a aproximação o prouto V I por uma ução liear com 5 partes. Para caa ree e caa liearização oram avaliaos os seguies parâmetros: - maior erro relativo; - erro relativo méio; - esvio parão o erro relativo; e - meiaa o erro relativo. A. Rees e 70 ós Nas tabelas I a IV mostram-se os resultaos obtios para a ree e 70 ós cosieraa. TABELA I MÁXIMOS ERROS RELATIVOS REDE 70 NÓS Máximos erros relativos (%) V 1,3340 0,671 1,3474 I 5,0655,1044 4,5657 P, 0,910 0,0840 0,411 Q, 14,705 8,976 30,8737 THE 1 th LATIN-AMERICAN CONGRESS ON ELECTRICITY GENERATION AND TRANSMISSION - CLAGTEE TABELA II ERROS RELATIVOS MÉDIOS REDE 70 NÓS, Erros relativos méios (%) V 0,0780 0,048 0,1170 I 3,6895 1,4979 1,5677 P, 0,0444 0,0138 0,0444 Q, 0,4417 0,781 0,7857 TABELA V MÁXIMOS ERROS RELATIVOS REDE 0 NÓS Máximo erro relativo (%) V 0,007 0,003 0,036 I 7,4061 3,050 6,3483 P, 0,3041 0,066 0,058 Q, 3,4317 0,3919,964 TABELA III DESVIOS PADRÃO DOS ERROS RELATIVOS REDE 70 NÓS Desvios parão os erros relativos (%) V 0,3060 0,1617 0,3364 I 1,4110 0,7706 1,3178 P, 0,0603 0,0185 0,0697 Q, 1,757 0,9456,8356 TABELA IV MEDIANAS DOS ERROS RELATIVOS REDE 70 NÓS Meiaas os erros relativos (%) V 0,0011 0,0003 0,0013 I 3,9500,0416 1,4734 P, 0,0193 0,0060 0,0065 Q, 0,008 0,009 0,0076 Poe-se observar que, com exceção os máximos erros relativos para a variável Q,, toos os parâmetros calculaos apresearam valores ieriores a 10%. No caso especíico a variável Q,, tem-se erros relativos superiores, chegao a 30% quao se aota liearização. Eretao, esse erro ocorre em apeas um trecho, seo que para toos os emais esse valor ão ultrapassa os 10%. B. Rees e 0 ós Nas tabelas V a VIII os resultaos obtios são exibios para a ree e 0 ós cosieraa. É possível observar que os parâmetros aalisaos apreseam valores aceitáveis, seo toos ieriores a 8%. TABELA VI ERROS RELATIVOS MÉDIOS REDE 0 NÓS Erros relativos méios (%) V 0,014 0,0017 0,0098 I 3,9696 1,3345 3,4067 P, 0,089 0,0087 0,067 Q, 0,156 0,0418 0,133 TABELA VII DESVIOS PADRÃO DOS ERROS RELATIVOS REDE 0 NÓS Desvios parão os erros relativo (%) V 0,0053 0,0009 0,0079 I 1,660 0,8459 1,4961 P, 0,0496 0,011 0,0389 Q, 0,95 0,0587 0,304 TABELA VIII MEDIANAS DOS ERROS RELATIVOS REDE 0 NÓS Meiaa o erro relativo (%) V 0,0094 0,001 0,004 I 3,8588 1,4741 3,4506 P, 0,0081 0,007 0,0100 Q, 0,0447 0,0154 0,071 C. Rees e 400 ós Nas tabelas 9 a 1 são apreseaos os resultaos obtios para a ree e 400 ós cosieraa. THE 1 th LATIN-AMERICAN CONGRESS ON ELECTRICITY GENERATION AND TRANSMISSION - CLAGTEE TABELA IX MÁXIMOS ERROS RELATIVOS REDE 400 NÓS Máximos erros relativos (%) V 0,708 1,3439 0,6616 I 7,4537 3,094 6,3197 P, 0,6076 0,1599 0,375 Q, 19,685 3, ,3318 TABELA X ERROS RELATIVOS MÉDIOS REDE 400 NÓS Erros relativos méios (%) V 0,683 0,5081 0,504 I 3,6483 1,4683 3,708 P, 0,0500 0,016 0,0466 Q, 0,7664 0,1755 0,5748 TABELA XI DESVIOS PADRÃO DOS ERROS RELATIVOS REDE 400 NÓS Desvios parão os erros relativos (%) V 0,368 0,6370 0,3080 I 1,8836 1,017 1,69 P, 0,108 0,01 0,0665 Q,,477 0,5594 1,6683 TABELA XII MEDIANA
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