Travel

An approach to solving an ill-posed problem for a nonlinear differential equation.

Description
A reverse time problem is considered for a semilinear differential equation. We suggest an approach to construct approximate solving methods for the problem under study. The approach generalizes the scheme proposed by A.B. Bakushinskii for linear
Categories
Published
of 7
All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
Related Documents
Share
Transcript
  ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН Том 21 № 1 2015УДК 517.948 О РЕШЕНИИ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 1 Е.В.Табаринцева В работе рассмотрена задача с обратным временем для полулинейного дифференциально-операторногоуравнения. Предложен способ построения методов приближенного решения данной нелинейной некор-ректно поставленной задачи, обобщающий предложенную А.Б. Бакушинским схему построения методовприближенного решения линейных некорректно поставленных задач. Получены двусторонние оценки по-грешности рассмотренных методов через оценки погрешности соответствующих методов решения линей-ной задачи на стандартных классах корректности. Доказана оптимальность по порядку предложенныхпроцедур.Ключевые слова: дифференциальное уравнение, обратная задача, модуль непрерывности обратногооператора, метод приближенного решения, оценка погрешности.E.V.Tabarintseva. An approach to solving an ill-posed problem for a nonlinear differential equation.A reverse time problem is considered for a semilinear differential equation. We suggest an approach toconstruct approximate solving methods for the problem under study. The approach generalizes the schemeproposed by A.B. Bakushinskii for linear ill-posed problems. Two-sided error estimates for the proposed methodsare obtained via the error estimates for the corresponding linear problem on standard correctness classes. Orderoptimality is proved for the considered algorithms.Keywords: differential equation, inverse problem, modulus of continuity of the inverse operator, approximatemethod, error estimate. Введение В статье рассматривается задача с обратным временем для полулинейного дифференци-ально-операторного уравнения. Данная задача поставлена некорректно, поэтому основнымипри ее исследовании являются вопросы построения устойчивого приближенного решения иоценки погрешности приближенного решения. Для линейных некорректно поставленных за-дач в работах В.К.Иванова, В.Н.Страхова, их учеников и последователей (см., например,[1–4]) была создана теория и разработан аппарат для получения оценок погрешности методовприближенного решения на компактных множествах (классах корректности). В этой теорииестественным образом вводятся понятия оптимального и оптимального по порядку методаприближенного решения.Соответствующие понятия были введены и для нелинейных некорректно поставленныхзадач (см., например, [5;6]). В работе [7] была предложена общая схема построения регуля-ризующих алгоритмов для линейных некорректно поставленных задач. Различные подходы кприближенному решению нелинейных некорректно поставленных задач предложены и иссле-дованы в монографиях [8–10]. Однако практическое вычисление (или оценка) погрешности ме-тодов или модуля непрерывности обратного оператора было проведено только для конкретныхнекорректно поставленных задач. В [11] был введен класс полулинейных дифференциально-операторных уравнений с обратным временем, для которых удалось разработать технику по-лучения оценок модуля непрерывности нелинейного оператора через модуль непрерывностисоответствующего линейного оператора.Настоящая работа продолжает эти исследования. С использованием подхода, развитогов [7] для линейных некорректно поставленных задач, предложена схема построения методов 1 Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 12-01-00117).  232 Е.В.Табаринцева приближенного решения полулинейной обратной задачи. Получены двусторонние оценки по-грешности построенных приближенных решений на стандартных классах корректности. Уста-новлена оптимальность по порядку построенных процедур. 1. Задача с обратным временем для линейногодифференциально-операторного уравнения Приведем известные результаты для линейного дифференциально-операторного уравне-ния. Пусть  H    гильбертово пространство,  A   линейный неограниченный положительноопределенный самосопряженный оператор с областью определения  D ( A ) , плотной в  H  .Рассмотрим задачу вычисления элемента  ϕ τ   ∈ H   такого, что решение задачи Коши dvdt  = − Av ;  t ∈ ( τ  ; T  ) ,  (1.1) v ( τ  ) =  ϕ τ  ,  0  < t 0  ≤ τ < T, удовлетворяет условию  v ( T  ) =  χ .Элемент  χ ∈ H   нам не известен, а вместо него дано приближенное значение  χ δ  ∈ H   такое,что  χ − χ δ  < δ  . Требуется по исходным данным задачи определить приближенное решение  ϕ τ δ задачи с обратным временем и оценить его уклонение от точного решения.Рассмотрим семейство функций  Φ α ( µ ) , принимающих действительные значения при  µ >  0  ,кусочно-непрерывных на промежутке  µ  ∈  (0; ∞ ) ,  (0  < α < α 0 ) . Будем предполагать также,что функции  Φ α ( µ )  удовлетворяют следующим условиям:1)  sup {| Φ α ( e − λ ( T  − τ  ) ) | :  λ  ≥  0 } ≤  K  α ( τ  )  <  ∞ , где функция  K  α ( t )  удовлетворяет условию K  α ( τ  1  + τ  2 ) =  K  α ( τ  1 ) K  α ( τ  2 ) ;2)  lim α → 0 Φ α ( e − λ ( T  − τ  ) ) e − λ ( T  − τ  ) = 1  при каждом  λ ≥ 0 ;3)  sup {| Φ α ( e − λ ( T  − τ  ) ) e − λ ( T  − τ  ) | :  λ ≥ 0 ,  0  < α < α 0 } =  c < ∞ .Следуя работе [7], рассмотрим семейство операторов  R T  − τ α  , действующих в пространстве  H  по правилу R T  − τ α  = Φ α ( e − A ( T  − τ  ) ) .  (1.2)В качестве приближенного решения линейной задачи с обратным временем будем рассматри-вать элемент ϕ τ δ  =  R T  − τ α  χ δ  (1.3)при подходящем выборе зависимости  α  =  α ( δ  ) . 2. Задача с обратным временем для нелинейногодифференциально-операторного уравнения Рассмотрим задачу вычисления элемента  ϕ ∈ H   такого, что решение задачи Коши dudt  = − Au + f  ( t,u ( t ));  t ∈ ( t 0 ; T  ) ,  (2.1) u ( t 0 ) =  ϕ, ϕ ∈ H,  0  < t 0  < T, удовлетворяет условию  u ( T  ) =  χ . Здесь  f  : [0; T  ] × H   →  H    отображение, удовлетворяющееусловию Липшица по переменной  u  и условию Гельдера по переменной  t , т.е. существуютпостоянные  K >  0 ,  L >  0 ,  0  < γ <  1  такие, что  f  ( u 1 ,t 1 ) − f  ( u 2 ,t 2 )  H   ≤ L  u 1 − u 2  H  + K  | t 1 − t 2 | γ  при всех  t ∈ [0; T  ] ,  u 1 ,u 2  ∈ H  .  О решении некорректно поставленной задачи 233 Пусть  B  :  H   →  H    линейный непрерывный взаимно-однозначный оператор такой, чтомножество M   =  BS  (0 ,r ) = { ϕ ∈ H  :   B − 1 ϕ ≤ r } является классом корректности как для нелинейной обратной задачи, так и для соответству-ющей линейной задачи.Предположим, что при заданном  χ  ∈  H   существует точное решение  ϕ  ∈  H   поставленнойобратной задачи, принадлежащее множеству  M  .Элемент  χ ∈ H   нам не известен, а вместо него дано приближенное значение  χ δ  ∈ H   такое,что   χ − χ δ  ≤ δ  . Требуется по исходным данным задачи определить приближенное решение ϕ δ  задачи с обратным временем и оценить его уклонение от точного решения.Задача Коши (2.1) равносильна интегральному уравнению (см., например, [12]) u ( t ) =  e − A ( t − t 0 ) ϕ + t   t 0 e − A ( t − τ  ) f  ( τ,u ( τ  )) dτ.  (2.2)Рассмотрим величины: ω ( M,δ  ) = sup { ϕ 1 − ϕ 2  :  ϕ 1 ,ϕ 2  ∈ M,  χ 1 − χ 2 ≤ δ  }  модуль непрерывности для нелинейной обратной задачи, ˆ ω ( M,δ  ) = sup { ϕ 1 − ϕ 2  :  ϕ 1 ,ϕ 2  ∈ M,  e A ( T  − t 0 ) ( ϕ 1 − ϕ 2 ) ≤ δ  }  модуль непрерывности для линейной обратной задачи.Справедлива следующая лемма. Лемма 1  [11, теорема].  Существует   δ  0  >  0  такое, что для всех   δ < δ  0  выполняются неравенства  ˆ ω ( M,e − LT  δ  ) ≤ ω ( M,δ  ) ≤  ˆ ω ( M,e LTe LT  δ  ) . Пусть  R tα   семейство линейных непрерывных самосопряженных операторов, определен-ных формулой (1.2).Рассмотрим интегральное уравнение u α ( t ) =  R T  − tα  χ − T    t e A ( T  − τ  ) R T  − tα  f  ( τ,u α ( τ  )) dτ   (2.3)Выполняется следующее утверждение. Утверждение.  Для любого элемента   χ ∈ H   интегральное уравнение   (2 . 3)  имеет реше-ние в пространстве непрерывных функций   C  ([0; T  ]; H  ) . Д о к а з а т е л ь с т в о утверждения может быть получено стандартным методом с при-менением принципа сжимающих отображений.Обозначим через  u αδ  ( t )  решение интегрального уравнения u αδ  ( t ) =  R T  − tα  χ δ − T    t e A ( T  − τ  ) R T  − tα  f  ( τ,u αδ  ( τ  )) dτ.  (2.4)В качестве приближенного решения нелинейной задачи с обратным временем будем рассма-тривать элемент ϕ αδ  =  u αδ  ( t 0 ) ,  (2.5)где  u αδ ( t )   решение интегрального уравнения (2.4) при подходящем выборе зависимости  α  = α ( δ  ) .Докажем следующие неравенства, которые будут использоваться в дальнейшем.  234 Е.В.Табаринцева Лемма 2.  Пусть  u ( t )   решение интегрального уравнения   (2 . 2) ,  P  ( τ,t ) =  e A ( τ  − t ) G ( t ) ,где   G ( t )   положительно определенный самосопряженный оператор в  H   такой, что опера-тор   P  ( τ,t )  ограничен,   P  ( τ,t ) ≤ B ( τ,t );  здесь функция   B ( τ,t )  удовлетворяет условию  B ( τ  1 ,t ) B ( τ  2 ,t ) =  B ( τ  1  + τ  2 ,t ) ( t 0  ≤ t ≤ τ   ≤ T  ) , функция   v ( t )  удовлетворяет интегральному уравнению  v ( t ) =  P  ( T   − t,t ) u ( T  ) − T    t P  ( τ   − t,t ) f  ( τ,v ( τ  )) dτ.  (2.6) Тогда выполняются неравенства  e − LTe LT   P  ( T   − t,t ) u ( T  ) ≤ v ( t ) ≤ e LT   P  ( T   − t,t ) u ( T  )  ,  (2.7) e − LTe LT   G ( t ) u ( t ) − u ( t ) ≤ v ( t ) − u ( t ) ≤ e LT   G ( t ) u ( t ) − u ( t )  .  (2.8)Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем неравенства (2.7). Пусть функция  v ( t )  удовлетворяетравенству (2.6.) Оценим   v ( t )   сверху. Рассмотрим функцию  z ( t ) =  v ( t ) B ( T   − t,t ) . Из (2.6) выво-дим, что функция  z ( t )  удовлетворяет неравенству  z ( t ) ≤  P  ( T   − t,t ) u ( T  )  B ( T,t ) + L T    t  z ( τ  )  dτ.  (2.9)Из неравенства (2.9) в силу леммы Гронуолла следует  z ( t ) ≤ e LT   P  ( T   − t,t ) u ( T  )  B ( T   − t,t ) или  v ( t ) ≤ e LT   P  ( T   − t,t ) u ( T  )  .  (2.10)Оценим величину   v ( t )   снизу. Рассмотрим равенство B ( T   − t,t ) u ( T  ) =  v ( t ) + T    t P  ( τ   − t,t )( f  ( τ,v ( τ  ))) dτ.  (2.11)Из равенства (2.11) с учетом (2.10) вытекает неравенство  P  ( T   − t,t ) u ( T  )  B ( T   − t,t )  ≤ z ( t )  + Le LT T    t  P  ( τ   − t,t ) u ( T  )  B ( τ   − t,t )  dτ.  (2.12)Из неравенства (2.12) в силу леммы Гронуолла следует  P  ( T   − t,t ) u ( T  )  B ( T   − t,t )  ≤ e LTe LT   z ( t )  или   P  ( T   − t,t ) u ( T  ) ≤ e LTe LT   v ( t )  .  Неравенства (2.7) доказаны.Докажем неравенства (2.8). Оценим   v ( t ) − u ( t )   сверху. Так как u ( T  ) =  e − A ( T  − t ) u ( t ) + T    t e − A ( T  − τ  ) f  ( τ,u ( τ  )) dτ,  О решении некорректно поставленной задачи 235 то из (2.6) получаем равенство v ( t ) − u ( t ) =  G ( t ) u ( t ) − u ( t ) + T    t P  ( τ   − t,t )( f  ( τ,v ( τ  )) − f  ( τ,u ( τ  ))) dτ.  (2.13)Рассмотрим функцию  w ( t ) =  v ( t ) − u ( t ) B ( T   − t,t ) . Из (2.13) выводим, что функция  w ( t )  удовлетво-ряет неравенству  w ( t ) ≤  G ( t ) u ( t ) − u ( t )  B ( T   − t,t ) + L T    t  w ( τ  )  dτ.  (2.14)Из неравенства (2.14) в силу леммы Гронуолла следует  w ( t ) ≤ e LT   G ( t ) u ( t ) − u ( t )  B ( T   − t,t ) или  v ( t ) − u ( t ) ≤ e LT   G ( t ) u ( t ) − u ( t )  .  (2.15)Оценим величину   v ( t ) − u ( t )   снизу. Рассмотрим равенство G ( t ) u ( t ) − u ( t ) =  v ( t ) − u ( t ) + T    t P  ( τ   − t,t )( f  ( τ,v ( τ  )) − f  ( τ,u ( τ  ))) dτ.  (2.16)Из равенства (2.16) с учетом (2.15) получаем неравенство  G ( t ) u ( t ) − u ( t )  B ( T   − t,t )  ≤ w ( t )  + Le LT T    t  G ( τ  ) u ( τ  ) − u ( τ  )  B ( T   − τ,τ  )  dτ.  (2.17)Из неравенства (2.17) в силу леммы Гронуолла следует  G ( t ) u ( t ) − u ( t )  B ( T   − t,t )  ≤ e LTe LT   w ( t )  или   G ( t ) u ( t ) − u ( t ) ≤ e L ( T  ) e L ( T  )  v ( t ) − u ( t )  .  Неравенства (2.8) доказаны. 3. Оценка погрешности метода приближенного решения Обозначим  ϕ α =  u α ( t 0 ) , где  u α ( t )   решение уравнения (2.3),  ϕ αδ  =  u αδ ( t 0 ) , где  u αδ ( t )  решение уравнения (2.4).Рассмотрим величину ∆ M  ( α,δ  ) = sup   ϕ αδ  − ϕ  :  ϕ ∈ M,  χ − χ δ ≤ δ   , характеризующую точность построенного метода приближенного решения нелинейной зада-чи (2.1) на множестве  M  .Воспользуемся неравенством  ∆ M  ( α,δ  ) ≤ ∆ 1 ( α ) + ∆ 2 ( α,δ  ) ,  где ∆ 1 ( α ) = sup ϕ ∈ M   ϕ α − ϕ  ; ∆ 2 ( α,δ  ) = sup  χ − χ δ ≤ δ  ϕ αδ  − ϕ α  . Рассмотрим также величину ˆ∆ M  ( α,δ  ) = sup   R T  − t 0 α  ˆ χ δ − ϕ  :  ϕ ∈ M,  e − A ( T  − t 0 ) ϕ −  ˆ χ δ ≤ δ  
Search
Tags
Related Search
We Need Your Support
Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

Thanks to everyone for your continued support.

No, Thanks