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Análise Bayesiana de dados de sobrevivência com função de risco em forma de U

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Análise Bayesiana de dados de sobrevivência com função de risco em forma de U Vadirene de Fátima Barbosa Orientador: Prof. Dr. Jorge Alberto Achcar Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas
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Análise Bayesiana de dados de sobrevivência com função de risco em forma de U Vadirene de Fátima Barbosa Orientador: Prof. Dr. Jorge Alberto Achcar Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ÍCMC-USP. como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências - Área: Ciência de Computação e Matemática Computacional. VERSÃO REVISADA APÓS A DEFESA USP - São Carlos 0utubro/2003 Agradecimentos Acima de tudo, agradeço a Deus pela saúde que me permite dedicar ao trabalho. Ao Prof. Jorge Alberto Achcar, pela orientação objetiva, paciência e disponibilidade. Por compartilhar comigo toda a sua rica experiência, profissional e conduzir este trabalho com otiniismo. Aos professores Francisco Louzada Neto e Reiko Aoki pelas valiosa,s sugestões no exame de qualificação. As colega,s funcionárias da, secretaria, de põs-graduação, Laura, Elizabete e Ana, Paula as quais são sempre prestativas e amáveis comigo. Ao CNPq pelo apoio financeiro. Ao meu grande amor Gilberto, tanto pela cumplicidade emocional nos momentos difíceis, quanto pelos valiosos ensinamentos e discussões profissionais durante todo o meu período de mestrado. A minha, mãe Conceição e meus irmãos Vanderlei, Vanessa e David, por acreditarem em mim e sempre estarem a,o meu lado. As colegas Valéria. Cilene, Wruck, Juliano, Fabrizio, Andréa, Lucas, Vera e Sandra, pelo apoio durante os cursos e disciplinas. Enfim, gostaria de agradecer a todos que contribuíram para, a realização deste trabalho. Em especial aos amores de minha vida,, Gilberto, meus pais e meus irmãos Resumo Neste trabalho, c apresentada urna. análise Bayesiana de dados de eonfiabilidade ou dados médicos cuja população está sujeita a duas causas de falha e só é possível observar o mínimo (nitre os dois tempos de falha. listas falhas podem ser falha precoce e falha por envelhecimento e geralmente, nestas situações as funções de risco apresentam forma de U, exigindo uma análise mais complexa com uso dc modelos mais elaborados como Weibull-Exponenciada (Mudholkar, 1995), Gama. generalizada (Stacy, 1982), ou modelos de mistura de distribuições para,métricas. Na maioria, dos casos existe dependência entre os dois tempos de falha e o uso de um modelo que (incorpore esta dependência se faz necessária. Desta forma, propomos a utilização da distribuição bivariada de R.yu (1993) cine assume dependência, (nitre os tempos. Um dos objetivos principais deste trabalho está relacionado á análise Bayesiana de dados com observações censuradas, na presença ou não de eovariáveis sol) as suposições citadas. No contexto Bayesiano foram utilizadas técnicas de simulação via. Monte Carlo em Cadeias de Markov (MCMC). Abstract In tliis work, wc: develop a. Bayesian analysis for lifetime data where tlic population is subinitted to two causcs of failures and it is possible to observe onlv the minimum between these two lifetimes. Th esc; failures could be precoce or aging and generally, in these situations, the haza.nl functions have a U form (bathtub forni), and we need more general models like the exponentiated-yveibull (Mudholkar, 1995), generalized Ganinia (Stacy, 1982) or mixtures of paranietric distributions. In general, we ha/ve in these situations dependence between these two failures. In this ea.se, we propose the use of the bivariate distribution of llyu (1993) tliat assumes dependenee between the failures. We use MCMC (Markov Chain Monte Carlo) methods to obtain a, Bayesian analysis of these models in the presence or not of eovaria.t.es. Sumário 1 Introdução Preliminares Apresentação dos Capítulos 3 2 Modelos com Funções de Risco em Forma de U Família de Distribuições Weihull Expoiícnciada Família de distribuições IDB Distribuição Potência Exponencial Modelo Bivariado de R.yu Modelo de Ryu Modelo de Ryu para Tempo de Falha, Precoce e Falha, por Envelhecimento Modelo Generalizado de R.yu Modelo Generalizado de Rvu para, Tempo de Falha Precoce e Falha por Envelhecimento 14 3 Função tle Verossiinilhariça Dados Observados Completos e na Ausência de Covariável Modelo Weibull Exponenciada Modelo IDB Modelo Potência Exponencial Modelo de llyu Modelo Generalizado de llyu 3.2 Dados Observados Completos e na Presença, de Covariável Introdução de Covariável ao Modelo de llyu Modelo de llyu Modelo Generalizado de llyu Dados Censurados à Direita na Presença de Covariável Modelo de llyu Modelo Generalizado de llyu 22 4 Análise Bayesiana Dados Observados Completos e Ausência de Covariáveis Modelo Weibull exponenciada Modelo IDB Modelo Potência Exponencial 25 4.1.4 Modelo de H.vu Introdução de unia, Variável Artificial (ou Latente) Modelo Generalizado de Ryu Dados Observados Completamente na, Presença de Covariáveis Modelo de Ryu /2 Modelo Generalizado de Rvu Dados Censurados à. Direita na. Presença de Covariáveis Introdução de Variáveis Artificiais (ou Latentes) Modelo de Ryu Modelo Generalizado de llyu Método Bayesiano para, seleçâo de Modelos 37 5 Aplicações Exemplo 1 - Dados Observados Completos e na Ausência de Covariável Weibull Exponenciada Modelo IDB Modelo Potência Exponencial Modelo de Ryu Modelo Generalizado de Ryu Discriminação dos Modelos para os dados de Aarset 44 5.2 Exemplo 2 - l);ulos Observados Completamente com Covariável Conjunto de Dados Simulados Conjunto de Dados Reais Exemplo 3 - Dados Censurados à Direita com Covariável Modelo de Ryu Modelo de Ryu Generalizado 50 6 Conclusões gerais 53 Apêndice A:Dados Simulados 55 Apêndice B:Algoritino Metropolis-Hastings 57 Apêndice C: Critério de Convergência 59 Apêndice D: Programa Computacional 62 Referências Bibliográficas 69 Capítulo 1 Introdução 1.1 Preliminares Em análise de dados de sobrevivência é muito comum situações onde o tempo de vida associado à uma causa particular não ser observado, mas somente ser conhecido o tempo de vida mínimo entre todas as causas possíveis de falha, incluindo a. causa particular de interesse. Muitas vezes, a causa, particular de falha, não 6 indicada para, os tempos de sobrevivência, observados. Uni caso especial é dado por unidades ou componentes fabricados numa, linha de produção onde há, uma pequena proporção de componentes com algum defeito de fabricação que leva à falha, precoce do componente e unia grande proporção de componentes sem defeito de fabricação que falham por envelhecimento ou desgaste natural. Assim, há interesse em modelos que incorporam essas duas causas de falhas: falhas precoces e falhas por envelhecimento. Neste 1 caso, a. função de risco (ver por exemplo, Kalbfteisch e Prentice, 1980) pode ter unia, fornia de banheira, ou U, e os modelos paramétricos usuais como as distribuições de Weibull, Exponencial, Gania, entre outros, não são adequados para analisar os dados. A mesma situação é encontrada para dados médicos onde podemos ter dois ou mais Introdução.2 riscos competitivos que levam á. morte do paciente. Assim, o tempo observado é dado por T miii(ti, T2), onde Ti c o tempo de vida até a falha devido ã causa defeito de fabricação e T2 é o tempo de vida até a falha devido ao envelhecimento. Muitas distribuições são introduzidas para modelar esse tipo de dados tais como a família de; distribuições Gama generalizada proposta por Staey (1982), a família Potência- Exponeneia.1 formulada, por Smith & Bain (1975). Uma, revisão para, modelos com função de risco na fornia, de U é dada por Rajarshi & Rajarshi (1988). Uma ampla variedade de métodos de estimação e testes de hipóteses tais como o método dos momentos, mínimos quadrados pondera,dos e máxima verossimilhança foram discutidos para. esses modelos (ver por exemplo, Rajarshi & Rajarshi (1988), Hjortli (1980)). Mudholkar et ai (1995) apresenta uma. generalização da. família de distribuição Weibull chamada família, de distribuição Weibull expoiíenciada que além de incluir distribuições com funções de risco em forma, de IJ e unimodal também admite uma. ampla classe de distribuições com riscos monótonos computa,cionalmente conveniente para. análise de da,dos corri censuras. Modelos de múltiplos riscos Weibull-múltiplo são introduzidos por Berger & Sun (1998,1996) e Louzada-Neto (1999). Chari & Meeker (1997) assumem que T{ e T2 são independentes e Ti tem função distribuição pb\(t, 0\) e T2 tem função distribuição Fi(t, 02), isto é, F(í, 0) = P(T t) = 1 - (1 -/ / ',(t, 0i)) (1 - F2 (t, 02)): onde 0 = (0h 02). Na, prática,, em geral T, e T2 não são duas variáveis aleatórias independentes, uma vez que a causa de falha, envelhecimento (ou desgaste) pode; agir sob o tempo até a falha, precoce. Neste caso, considera-se uma distribuição de sobrevivência biva.ria.da, como por exemplo, a, distribuição bivariada, introduzida, por Ryu (1993) que é uma extensão do modelo de Marshall & Olkin (1967). Em geral, pode-se encontrar dificuldades para obter inferências clássicas para esse tipo de modelo especialmente com da,dos censurados. O uso de métodos Bayesianos para esse tipo de modelo pode ser de grande aplicabilidade, especialmente usando métodos MCMC (Monte Carlo em Cadeias de Markov). Entre; esses métodos de simulação, podese destacar o algoritmo Gibbs sampling (ver por exemplo, Ceifa,nd & Smith, 1990) e o Introdução.3 algoritmo Met.ropolis-Hast.ings (ver, por exemplo, Smith & Roberts, 1993). 1.2 Apresentação dos Capítulos Para obtenção de quantidades a posteriori de interesse, será considerado a introdução de variáveis latentes (ver por exemplo, Tanner & Wong, 1987) para simplificar as distribuições condicionais necessárias para o algoritmo Gibbs sampling. Considerando dados gerados e dados reais, é considerado o modelo de Ryu e outros modelos usados para riscos em fornia de U. Neste caso, serão usados critérios Bayesianos de discriminação de modelos. No Capítulo 2, sã,o introduzidos alguns modelos que admitem função de risco em fornia de U. Em especial, apresenta,-se o modelo Bi variado de Ryu(1993) subdividido em dois modelos: o primeiro, Modelo de Ryu o qual tem função de risco crescente e o segundo, Modelo generalizado o qual admite função de risco também em forma de U. No Capítulo 3, apresentasse as funções de verossimilhança. dos modelos abordados no Capítulo 1 e discutidos os procedimentos para análise clássica para dados sem censura. Ainda, no Capítulo 3, explicita-se as funções de verossimilhança para, o Modelo de R.yu e Modelo de Ryu Generalizado nos casos em que considera-se dados observados completamente com covariável e dados censurados à, direita com covariável No Capítulo 4, a,prescrita,-se uma análise bayesiana para, dados sem censuras para os modelos introduzidos no Capítulo 2. Apresentasse ainda uma, análise Bayesiana para, o Modelo de Ryu e R.yu Generalizado para dados observados completamente com presença de covariável e dados censurados á direita com presença de covariável. No Capítulo 5, são introduzidos três exemplos numéricos para exemplificar os procedimentos propostos. No primeiro exemplo, considera-se os modelos introduzidos no Capítulo 2, com ajuste dos modelos para, dados reais sem censura. No segundo exemplo, considera-se o Modelo de Ryu e Modelo Generalizado de Ryu com ajuste 1 dos modelos para dados sem censura e com covariável. No Exemplo 3, considera-se também estes dois Introdução.4 últimos modelos com ajuste para, dados censurados à direita e com covariável. geral. Finalmente, no capítulo 6 apresenta-se algumas conclusões do trabalho de modo Alguns objetivos mais importantes do nosso trabalho são: (i) Considerar modelos que admitem funções de risco em forma de U para dados de confiabilidadc. Eni especial, verificar a aplicabilidade do Modelo Bivariado de Ryu para populações as quais o tempo observado é o mínimo entre o tempo de falha, precoce e o tempo de falha por envelhecimento. (ii) Uso de métodos MCMC para uma análise Bayesiana, dos modelos propostos. (iii) Considerar métodos bayesianos para discriminar os modelos propostos. (iv) Aplicações de dados reais. Capítulo 2 Modelos com Funções de Risco em Forma de U Nesta, seção apresenta-se algumas das famílias de; distribuições com funções de Risco em forma, de U. 2.1 Família de Distribuições Weibull Exponenciada A distribuição Weibull Exponenciada com parâmetros o:, 0 e a para o tempo de vida T tem função de densidade dada, por m = - (7 1 exp a fl-i exp rx tt~ i 0 t oo, (2.1; ond(i a 0, 0 0 sao parâmetros de forma, e a 0 6 o parâmetro de escala. A função de sobrevivência de T denotada, por S(t) = P(T t) é dada por S(t) = 1-1 exp j (,t 0. (2.2) Modelos com Funções de 11 isco em Fomm de U.6 A função (lo risco de T, definida por h(t) = (2.2) é dada, por 6 obtida pelas expressões (2.1) e (2.3) O modelo Weibull Exponeneiada apresenta funções de risco da forma, de U, unimodal e monótona. Isto é, o risco tem forma., (i) monótona crescente se o 1 e a0 1, (ii) monótona decrecente se o 1 e oiq 1, (iii) fornia de banheira se n 1 e ao 1 e (iv) unimodal de a 1 e na Família de distribuições IDB A distribuição IDB (Increasing, Decreasing, Batlitub) j)roj)osta por Hjort(1980) com dois parâmetros de fornia, e uni de escala pode descrever dados de tempos de vida com taxa de falha crescente, decrescente, constante e fornia de U. A família considerada, 6 definida por sua função de sobrevivência 0 1! (2.4) onde 6 0. 0 0 e l:í 0. A correspondente função de densidade de probabilidade é dada por (1 I '/ I II (i + t 0. (2.5) Modelos com Funções de Risco em Forma, de U 7 A função de risco k(t) = é dada, por h(t) = ôt I. (2.6) De (2.6) temos alguns casos especiais da, distribuição IDB: (a) distribuição de Rayleigli (distribuição Weibull) se 0 = 0, (b) distribuição exponencial (distribuição Weibull) se ô = 0 = 0, (c) distribuição com risco decrescente se õ = 0, (d) distribuição corri risco crescente se 8 Ofi, (e) distribuição com risco na fornia, de U se 0 6 0(.i. 2.3 Distribuição Potência Exponencial Smith e Bain (1975,1976) apresentara,111 uma, família, de distribuição chamada. Potência, exponencial com dois parâmetros como uma distribuição alternativa, para, dados de tempos de vida com taxa, de falha, em fornia, de U. A função de densidade de probabilidade é dada por, m = pa-w- 1 exp jl - exp I (A)],í o, (2.7) onde a 0 e íj 0. A função distribuição acumulada é da,da, por F(í) = 1-expjl-exp ^ y 1. (2.8) De (2.7) e (2.8) a, função risco é dada, por Modelos com Funções de Risco em Forma, de U 8 h(t) = ^ ^ = exp ((V), t O, (2.9) onde a, função de risco tem fornia, de U se 0 3 Modelo Bivariado de Ryu llyu (1993), generaliza, o cenário físico considerado por Marshall & Olkin (1967) admitindo choques que produzem efeitos de fornia, acumulativa, aumentando o risco de falha. O modelo bivariado de llyu tem densidade marginal com taxa, de falha, crescente e a densidade conjunta indica, que um par de sistemas antigo tem menor probabilidade de sobrevivência, do que uni novo par, sendo que os choques se a,cumula,m com o passar do tempo. Ao contra,rio do modelo de Marshall & Olkin, o modelo de llyu 6 absolutamente contínuo Modelo de Ryu Neste caso, Ryu (1993), considera Ti e T2 os tempos de falha, dos sistemas 1 e 2, respectivamente, como sendo variáveis aleatórias dependentes. Sendo assim, a função densidade do modelo bivariado de Ryu é dada, por: Para U h, fai I A12-A12e- ' - I fr^^íc-*^-)- V P\ I P2 J ( o ((1, P-fo ( Í J + rio p-fo ' 1 12 Para, í, t2, Modelos com Funções de Risco em Forma, de U 9 n/.. 2 ( \ í'a,,-th(t-2-l l) I r-i,.-b\ 1.\- ih / \\ Hth t2) [Ai I -) V fi l -+ / (x, I AI2-AI2Í.'-^'*- I V fr + 2 ) (;,A:2, - ' ' - V ' (2.10) onde Fif. t2) = P(T, í,, 7, í2). Note que se A]2 = 0, então Tx e T2 são variáveis aleatórias independentes, onde Tt tem distribuição exponencial com parâmetro A,,i = 1,2. A função de sobrevivência conjunta é dada, por: Para t2 t,, P(T! tht2 t2) = exp -(A1, Ai2) t\ X212 I I ^ ^ j, Para t-x t2, P(Ti tut2 t2) = exp -(A2 I A.,)/,- A /. ^ I ^ ] (2.11) Note que quando í'j\ oo e /i2 oo, a. funçã.o de sobrevivência conjunta reduz-se â distribuição exponencial bivariada de Marshall e Olkin (1967): P (T, tu T2 t2) = exp {-(A, í, -X2t2- A] 2 max(íj, t2))}. A função de sobrevivência, para T, ê dada, por P(Ti t) = exp A, t Ai 21 I /V -' 'j, i = 1,2. (2.12) Modelos com Funções de Risco em Forma, de U 10 Figura 2.1: Função densidade (2.18): ( (% = 0,5; /it f oo ). A função densidade para T, é dada por //. ).A, I -V j Í 1 )] exp A.; í A 2 t A12{I (2.18) Observa--st 1 que st 1 /i, j oo, a distribuição reduz-se à distribuição exponencial com taxa de risco constante A,, I AJ2 (ver Figura 2.1). A função de risco é tia,da por h AD = A, f A12 (1 - e ),i=h 2- (2-14) Note que hj,{t) é crescente cm t, a, menos que j3t j oo Modelo de Ryu para Tempo de Falha Precoce e Falha por Envelhecimento Considerando uma situação em que os dados são tempos de falha de unidades de uma população para os quais não se tem informação sobre a causa, de falha, representa,-se então o tempo de falha, de cada unidade 1 por T = min{t\,t2). Isto 6, tem-se dois riscos competitivos para, falhas T = min(t\,t2), para, o qual (a) 7', representa, o tempo de falha precoce; Modelos com Funções de Risco em Forma, de U 20 (b) T2 representa, o tempo de falha, por envelhecimento. Considerando então T min(tx,t2) com uma distribuição de três parâmetros : = 02 = Ai + À2 I Ai2 ; 0:i = (3l 02, onde tíy ()s = Ai2 mede a, correlação entre as causas de falha. Nesta, parametrização, a. função densidade é escrita na. forma.: f(t) = (02-0i 03 ^ ' ) exp {0, -0 2t- 0, '},t 0. (2.15) A função de sobrevivência ê dada. por S{t,) = 1 {T t,) = exp {0j - 02 t - 0i e~' h '}. (2.16) A função de risco ê dada por h{t) = 02-0i0:ic- (hl. (2.17) E importante observar as seguintes características da função de risco: (a) lim,^/ (*) = 02; (b) lini/^o h ( 0 = 02 0i 0:s- Observar que 02 B\ 63 h{t) ()2 e que /?, (t) é uma, função crescente em t. Na Figura 2.2 temos casos específicos da, função de risco da distribuição de Ryu. Observar ainda que, (e) Se 0;s ê grande, h(t,) converge rápido para. 02\ assim, as unidades rapidamente mudam da, taxa de falha, 0 2 0L 0:i para, 0 2 ; (d) Se 0:i é pequeno, h (t) demora, para. mudar da taxa. de falha ()2 0, 0;i para 02. Modelos com Funções de Risco em Forma, de U 21 Figura 2.2: Função do risco da distribuição do Ryu ( 0\ = 0,022; 02 0,41 o ():i = 10; 0{ = 0,22; 02 = 0,41 o 0:i = 1 ) Modelo Generalizado de Ryu O modelo bivariado de Ryu pode ter a forma generaliza,da com função de sobrevivência, conjunta dada, por Para t2 tu P(T1 tl,T2 t2) = exp -A; U - A.../ -X2t2- I + 1, Para /. t2, P(T, h, T2 t2) = expj-a^i -\v2t2 - X2t2 - I - I j Note que,quando O] 1 e o2» 1, as expressões anteriores reduzeni-se à (2.11). por A função densidade conjunta para, (Ti, T2), fixando ci i = a2 = 1, (ver 2.10), é dada, (i) Para, t{ t2, f(ti,t2) =T\U,t2) [A2 I (n A12 a, fi2b)] x [A, I A,2-A 2«, I facim-b)] I I F(tht2) \l3-i A12 a, -tí} r(/?i +fob)] Modelos com Funções de Risco em Forma, de U 13 (ii) Para /: /.,. / (h,h)= ~F(tht2) [A, l a2 A]2 - c (f-h 0.2 I Pi b)} x [A2 + Ai2 - Ai2 a2 [ p2 c (a2-6)] 1 I T\tut.2) [fi2 A 2 a2 - P2 c (fí2 «2 I / )], onde F(tut2) = P(T, tu T2 t2), a, = e- m' -'«); a2 = c-/mti-te) ; 6 = e-thi*-(hh. c A função de sobrevivência para T ê dada por, P ( T t) = exp {a -\V2t- fe, T 1 - b2 t 2 - a c ^}. onde, (a,,ò 2,c) = (^,Á1,0,0,), sct = Ti; = 0,A2,/^2), e / /2: = - A, I 02), m-v mini J.![ ). Assim, as densidades para. 7\, T2 e T = min.(ti, T2) são dadas por, f(t) = Ix^ + b, ajf -' 1 Fb2a2t' - 1 -ace.-' 1 j exp a - A121 - fei t n ' - b2t n * -ae ct. (2.19) para todo t 0. Portanto, (i) f(tl) = { A12 i A, a, t ' 1 - A12«T* /j } exp - Ar2U - A, ^ - ~ }. (2.20) («) /(«*) = {A1si I A2«2r-' - A12^' 2 } exp - A.2Í2 - A.2tr - ^ e - ^ y ( //'/' I Se T = min(t\,t2), temos, (2.21) Modelos com Funções de Risco em Forma, de IJ 14 /(0 = {A,2 I A,o, r 1 1 I AarM^-A,^-^^)*} x Modelo Generalizado de Ryu para Tempo de Falha Precoce e Falha por Envelhecimento Seja T = rrún{t\, T2) o tempo
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