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ANÁLISE BAYESIANA NO ESTUDO DO TEMPO DE RETORNO DAS PRECIPITAÇÕES PLUVIAIS MÁXIMAS EM JABOTICABAL (SP) 1

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ANÁLISE BAYESIANA NO ESTUDO DO TEMPO DE RETORNO DAS PRECIPITAÇÕES PLUVIAIS MÁXIMAS EM JABOTICABAL (SP) Análse bayesana no estudo do tempo Bayesan analyss for estmatng the return perod of maxmum precptaton
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ANÁLISE BAYESIANA NO ESTUDO DO TEMPO DE RETORNO DAS PRECIPITAÇÕES PLUVIAIS MÁXIMAS EM JABOTICABAL (SP) Análse bayesana no estudo do tempo Bayesan analyss for estmatng the return perod of maxmum precptaton at Jabotcabal São Paulo state, Brazl Luz Alberto Beo 2, Máro Javer Ferrua Vvanco 3, Joel Augusto Munz 4 RESUMO Dados hstórcos de precptação máxma são utlzados para realzar prevsões de chuvas extremas, cuo conhecmento é de grande mportânca na elaboração de proetos agrícolas e de engenhara hdráulca. A dstrbução generalzada de valores extremos (GEV) tem sdo aplcada com freqüênca nesses tpos de estudos, porém, algumas dfculdades na obtenção de estmatvas confáves sobre alguma medda dos dados têm ocorrdo devdo ao fato de que, na maora das stuações, tem-se uma quantdade escassa de dados. Uma alternatva para obter melhoras na qualdade das estmatvas sera utlzar nformações dos especalstas de determnada área em estudo. Sendo assm, obetva-se neste trabalho analsar a aplcação da Inferênca Bayesana com uma dstrbução a pror baseada em quants extremos, que faclte a ncorporação dos conhecmentos fornecdos por especalstas, para obter as estmatvas de precptação máxma para os tempos de retorno de 0 e 20 anos e seus respectvos lmtes superores de 95%, para o período anual e para os meses da estação chuvosa em Jabotcabal (SP). A técnca Monte Carlo, va Cadeas de Markov (MCMC), fo empregada para nferênca a posteror de cada parâmetro. A metodologa Bayesana apresentou resultados mas acurados e precsos, tanto na estmação dos parâmetros da dstrbução GEV, como na obtenção dos valores de precptação máxma provável para a regão de Jabotcabal, apresentando-se como uma boa alternatva na ncorporação de conhecmentos a pror no estudo de dados extremos. Termos para ndexação: Inferênca bayesana, dstrbução a pror, conhecmento a pror, quants extremos, técnca Monte Carlo va Cadeas de Markov, precptação pluval máxma. ABSTRACT Hstorcal maxmum ranfall data are used to forecast extreme ranfall, whch s mportant to elaborate agrcultural and hydraulc engneerng proects. Generalzed Extreme Value Dstrbuton (GEV) has been appled n such type of studes. Snce those values are extracted from the upper (or lower) tal of the orgnal dstrbuton, a scarce amount of data s obtaned n most cases, whch may be a problem acqurng relable estmates about some measure of nterest. An alternatve to overcome ths potental problem would be the use of nformaton avalable from experts n the area. Therefore, ths paper ntended to analyze the applcaton of the Bayesan Inference usng a pror dstrbuton based on extreme quantles, whch facltates the ncorporaton of the nformaton suppled by the experts n order to determne the punctual and the 95% upper lmt estmates of the probable maxmum precptaton for return perods of 0 and 20 years, yearly and monthly n Jabotcabal, São Paulo State, Brazl. Markov Chan Monte Carlo (MCMC) methods were used to a posteror nference of each parameter. Bayesan nference yelded more sutable and accurate results n the estmaton of the parameters of the GEV dstrbuton as well as n the determnaton of the values of the probable maxmum precptaton estmates for Jabotcabal. It turned out as an nterestng way of ncorporatng pror knowledge to the study of extreme data. Index terms: Bayesan Inference, pror dstrbuton, pror knowledge, extreme quantles Markov Chan Monte Carlo method, Maxmum ranfall. (Recebdo em 27 de abrl de 2006 e aprovado em 26 de março de 2008) INTRODUÇÃO A chuva é um fenômeno natural de extrema mportânca para a sobrevvênca humana. Na agrcultura, por exemplo, está dretamente assocada desde a germnação das sementes até o momento de colheta de uma determnada cultura. Entretanto, quando ocorrem chuvas ntensas, que são aquelas que regstram um grande volume de água precptado, em um curto espaço de tempo (TUCCI, 200), seus efetos, geralmente, passam a ser danosos. Na agrcultura, podem causar erosões dos solos e alagamentos, podendo provocar a perda de plantações nteras, enquanto que, em outros casos, podem causar enchentes, deslzamentos, rompmentos de dques e Parte da tese do prmero autor apresentada à Unversdade Federal de Lavras Lavras MG. 2 Matemátco, Doutor em Estatístca e Expermentação Agropecuára Departamento de Cêncas Exatas/DCE Unversdade Federal de Alfenas/ UNIFAL Rua Gabrel Montero da Slva, 74 Centro Alfenas, MG 3 Estatístco, Doutor em Estatístca e Expermentação Agropecuára, Professor Ttular Departamento de Cêncas Exatas/DEX Unversdade Federal de Lavras/UFLA Cx. P Lavras, MG 4 Engenhero Agrônomo, Doutor em Estatístca e Expermentação Agropecuára, Professor Adunto Departamento de Cêncas Exatas/DEX Unversdade Federal de Lavras/UFLA Cx. P Lavras, MG Cênc. agrotec., Lavras, v. 33, n., p , an./fev., 2009 262 BEIJO, L. A. et al. represas, soterramentos entre outros, levando, em alguns casos, à perdas de vdas humanas. O fato dos proetos hdráulcos em geral serem concebdos consderando o custo mínmo, assocado a um rsco admssível de falha, requer a prevsão de grandezas hdrológcas de grande magntude, tas como máxmas vazões ou precptações, que podem vr a ocorrer em certa localdade. Assm, as séres de máxmos valores são empregadas para auste, segundo a le probablístca que melhor descreva o processo, possbltando extrapolações (VIEIRA et al., 99). O conhecmento da precptação máxma provável, que é defnda como a quantdade de precptação consderada como o lmte superor estatístco (físco) numa dada baca, para uma determnada duração, é de extrema mportânca para o dmensonamento adequado de trabalhos de conservação do solo, estradas, barragens e drenagem, entre outros. Mutas organzações vnculadas à segurança de barragens recomendam, explctamente, o estudo de precptações máxmas para o caso de grandes obras, vsto que, elas são proetadas para suportar o lmte máxmo conhecdo dos eventos meteorológcos da regão (TUCCI, 200). Jenknson (955) propôs que os três tpos de dstrbuções de valores extremos (Gumbel, de Fréchet e de Webull) fossem representados numa forma paramétrca únca, desgnada por dstrbução generalzada de valores extremos (GEV). A dstrbução GEV tem sdo utlzada com grande freqüênca em estudos de fenômenos ambentas, prncpalmente para soluconar problemas relaconados à áreas de Engenhara, entre os quas, o estudo da precptação pluval máxma. Desde 975, a Natural Envromental Research Councl (NERC) recomenda a dstrbução GEV, para a análse de freqüêncas de enchentes no Reno (MARTINS & STEDINGER, 2000). A partr dos valores extremos de amostras, város métodos podem ser utlzados para obtenção dos estmadores dos parâmetros dessa dstrbução, entre os quas, o mas aplcado tem sdo o método da máxma verossmlhança. Segundo Smth (985), os métodos baseados em verossmlhança são preferdos devdo à teora dos estmadores de máxma verossmlhança ser bem compreendda e as nferêncas serem faclmente modfcadas ao ncorporar modelos com estruturas mas complexas. Entretanto, as condções de regulardade, para estmação pelo método da máxma verossmlhança não são necessaramente satsfetas; quando 0, 5, os estmadores de máxma verossmlhança exstem, mas não satsfazem às condções de regulardades e quando, os estmadores de máxma verossmlhança não exstem. Segundo Coles & Dxon (999), um argumento que tem sdo usado contra os estmadores de máxma verossmlhança se refere às suas propredades, em pequenas amostras. E, como em análses de precptações máxmas, na maora dos casos, se dspõe de pequenas séres de dados, faz-se necessára a aplcação de uma metodologa que possblte a otmzação do uso dos dados dsponíves. De acordo com Paulno et al. (2003), uma das vantagens da Inferênca Bayesana está no fato de permtr a ncorporação de nformações passadas (a pror), melhorando, dessa forma, o processo de nferênca. Porém, a aplcação da Inferênca Bayesana em modelagem de valores extremos é muto recente. Conforme Coles & Powell (996), até o ano de 995, hava poucos trabalhos lgando os dos temas. Apenas na últma década, alguns autores têm sugerdo o procedmento Bayesano para ncorporar o conhecmento na estrutura dos modelos na nferênca de valores extremos e para reduzr as ncertezas da estmação dos parâmetros e de quants da dstrbução GEV. Coles & Tawn (996) utlzaram conhecmentos de profssonas que trabalham na área para construr suas nformações à pror, as quas ncorporam a dependênca entre os parâmetros assocados ao modelo extremo, podendo ncorporar o conhecmento baseado em quants com uma dstrbução Gama. Stephenson (2002) e Stephenson & Tawn (2004), sugerem um procedmento Bayesano para ncorporar o conhecmento prévo na estrutura dos teoremas de modelos na nferênca de valores extremos, reduzndo a ncerteza da estmação dos parâmetros. Sendo assm, obetva-se, neste trabalho, analsar a aplcação da Inferênca Bayesana, com uma dstrbução a pror baseada em quants extremos que faclte a ncorporação dos conhecmentos fornecdos por especalstas, para obter as estmatvas de precptação máxma para os tempos de retorno de 0 e 20 anos e seus respectvos lmtes superores de 95%, para o período anual e para os meses da estação chuvosa de Jabotcabal (SP). E também, comparar em relação à precsão e acuráca, os resultados dessa metodologa com os fornecdos pelo método da máxma verossmlhança. MATERIAL E MÉTODOS Os dados utlzados foram obtdos a partr dos regstros pluvográfcos fornecdos pelo Departamento de Cêncas Exatas da Faculdade de Cêncas Agráras e Veternára da UNESP, campus Jabotcabal, estado de São Cênc. agrotec., Lavras, v. 33, n., p , an./fev., 2009 Análse bayesana no estudo do tempo Paulo. A estação Agrometeorológca do Campus encontrase nas seguntes coordenadas geográfcas; lattude de 2º5 22 S, longtude 48º8 58 W e alttude de 595 m. O clma da regão é Cwa, de acordo com a classfcação clmátca de Köppen, com chuvas no verão e nverno relatvamente seco (VASCONCELLOS, 998). As observações referem-se às precptações pluvas dáras máxmas, expressas em altura de lâmna d água (mm), referentes a 46 anos de observação do período compreenddo entre anero de 956 a dezembro de 200. Os dados foram agrupados em períodos de um ano e mensal; utlzaram-se apenas os meses da estação chuvosa (de setembro a março), extrando-se a máxma precptação pluval dára observada de cada período, formaram-se os vetores de máxmos. Foram utlzadas as observações de 956 a 990 para calcular a precptação pluval dára máxma provável, para os tempos de retorno de 0 e 20 anos e extrau-se a maor observação de cada sére do período restante (99 a 200), para verfcar a acuráca das estmatvas pontuas e ntervalares. Com o ntuto de verfcar se as observações satsfazam à pressuposção de ndependênca, exgda na função de verossmlhança, realzou-se o teste para desvo de aleatoredade, sendo que, para a sua realzação, fo utlzado o pacote TSERIES do Sstema Computaconal Estatístco R. A função de densdade de probabldade da dstrbução GEV, é dada por, x x f ( x) exp () defnda em, x, para 0 e x, para 0, e quando 0, tem-se que essa corresponde à função de densdade de probabldade Gumbel, dada por: x f ( x) exp exp x (2) que é defnda em, x. Supondo-se que há ndependênca entre as observações, a função de verossmlhança será, n x n x L( x ) exp n (3) para, x ( n) e 0, x () e 0. Caso contráro, L( x,, ) não exste. Os estmadores de máxma verossmlhança de, e são obtdos pela solução do sstema de equações não lneares formado pelas dervadas de prmera ordem do logartmo da equação (3), em relação a cada parâmetro, gualadas a zero, sto é, pela solução de: l(,, ) n 0 ˆ w ˆ 0 ˆ Cênc. agrotec., Lavras, v. 33, n., p , an./fev., 2009 264 BEIJO, L. A. et al. l(,, ) n n 0 x ˆ w w 0 ˆ ˆ 2 (4) l(,, ) n ( x ˆ) ( x ˆ) 0 w ln( w ) 0 ˆ2 ˆ ˆw ˆw. em que, w ˆ x ˆ ˆ Vsto que o sstema de equações (4) não possu solução analítca, deve-se utlzar um método teratvo para obtenção de uma solução numérca. A precptação máxma provável para um determnado tempo de retorno T pode ser determnada pela segunte expressão, que corresponde ao quantl da dstrbução GEV. yt q p ( x p ) (5) em que, x ln( p) p Dados de valores extremos são normalmente escassos, prncpalmente em dados meteorológcos; logo, nformações de profssonas que atuam na área podem ser essencas para a complementação das nformações contdas nos dados. Portanto, é razoável esperar que um profssonal da área forneça nformações relevantes a pror sobre o comportamento extremo, uma vez que ele tem conhecmentos específcos sobre as característcas dos dados em estudo. Outro fato mportante está na possbldade do uso de conhecmento específco das característcas de eventos extremos em regões vznhas as quas se pretende estudar, que podem se caracterzar como mportantes nformações a pror. Adotando os quants como forma de ncorporar o conhecmento a pror, pode-se, a partr da expressão (5), expressar a nformação a pror em termos de ( qp, qp2, q p3), com p p2 p 3, conseqüentemente, qp qp2 q p3. Assumndo que, a pror, esses quants são ndependentes e admtndo-se como pror margnal a dstrbução de Gumbel com os parâmetros a (posção) e b (escala), tem-se: q p ~ G um bel ( a, b ), em que, a e b 0 Ao se trabalhar com valores extremos, q p, q p 2 e q p3 devem ser altos quants e, também, podem ser consderados valores extremos. Portanto, sua dstrbução deve corresponder a uma dstrbução de valores extremos, como é o caso da Gumbel. Assm, a dstrbução a pror para (,, )será dada por: 3 q p a q p a P( ) J ( ) exp exp b b b (6) Cênc. agrotec., Lavras, v. 33, n., p , an./fev., 2009 Análse bayesana no estudo do tempo em que, J ( ) é o Jacobano da transformação de ( qp, qp2, q p3) para (,, ), dado por: J ( ) ( ) ( x ) ln( ) 2 x x x, {,2,3} (7) e, x ln( p ), para =, 2, 3. Os parâmetros a e b da dstrbução de Gumbel têm suas estmatvas determnadas por meo das meddas de posção e escala na confança a pror. A déa é de obter-se nformações de profssonas que atuam na área e utlzar o conhecmento a respeto da medana e do quantl 90% para cada q p e, depos, obter-se estmatvas para os parâmetros da dstrbução de Gumbel, que correspondam a esses valores. Para a análse dos dados de precptação máxma de Jabotcabal, tomaram-se, como nformações a pror, certas característcas da análse de precptações máxmas de Lavras-MG, em estudo realzado por Beo et al. (2005), que, analsando as estatístcas descrtvas dos dados, afrmaram que as precptações máxmas ocorrdas em Lavras-MG e Jabotcabal-SP apresentam semelhanças. Dada a densdade a pror e a função de verossmlhança, pode-se então determnar a densdade a posteror dada por: P( x) 3 q a q a J ( ) exp exp b b b n x n x exp n (8) Calcular analtcamente a ntegral da equação (8) apresenta problemas, pos esta não tem uma forma fechada. Sendo empregada a técnca Monte Carlo va Cadeas de Markov (MCMC) fo para superar esta dfculdade. O algortmo utlzado fo de Metropols- Hastngs, apresentado por Hastngs (970), que está mplementado no pacote MCMCpack do Sstema Computaconal Estatístco R. Utlzando-se como dstrbução canddata para os parâmetros uma dstrbução Normal Multvarada. Realzou-se um processo com terações, sendo que foram descartadas as prmeras ( burn-n ), com o obetvo de elmnar nterferêncas dos chutes ncas, e para assegurar a ndependênca da amostra, consderou-se um espaçamento entre os pontos amostrados de tamanho 00 ( thnnng ), ou sea, obteve-se uma amostra de tamanho 4000 para cada parâmetro. Foram utlzados os pacotes EVDBAYES, MCMCpack e BOA (Bayesan Output Analyss) do Sstema Computaconal Estatístco R, conforme R Development Core Team (2004). A montoração da convergênca das cadeas será realzada por meo da análse gráfca, das meddas descrtvas e dos dagnóstcos de Geweke (992) e Raftery & Lews (992). RESULTADOS E DISCUSSÃO Pode-se verfcar na Fgura, que poucas das precptações máxmas que ocorreram entre 956 e 990 tveram valores superores a 00 mm. Cênc. agrotec., Lavras, v. 33, n., p , an./fev., 2009 266 BEIJO, L. A. et al. Fgura Representação gráfca da sére de precptações pluvas dáras máxmas (mm) no muncípo de Jabotcabal (SP), dos meses de setembro a março, e para o período anual entre os anos de 956 e 990. Cênc. agrotec., Lavras, v. 33, n., p , an./fev., 2009 Análse bayesana no estudo do tempo Adotando-se um nível de sgnfcânca de 5%, para o teste para desvo de aleatoredade das séres de dados, nota-se pelos p-valores apresentados na Tabela que não exstem evdêncas estatístcas, para reetar a hpótese de aleatoredade. A convergênca da cadea de cada parâmetro fo montorada por meo da vsualzação gráfca do traço, do hstograma e dos crtéros dsponíves no pacote BOA do programa R, não exstndo evdêncas contra a convergênca. Um dos crtéros de convergênca analsado fo o Crtéro de Geweke, cuos resultados são apresentados na Tabela 2. De acordo com Geweke (992), exstrão evdêncas contra a convergênca se o p-valor analsado for menor que um nível de sgnfcânca deseado. Consderando um nível de sgnfcânca de 5%, pode-se verfcar que, para todos os parâmetros nos dversos períodos estudados, não houve nenhuma evdênca contra a convergênca dos mesmos. Sendo confrmado pelo valor do fator de convergênca de Raftery e Lews (992), que atngu valores deseados (FD 5). Pode-se notar anda que os erros Monte Carlo apresentaram valores baxos, confrmando a boa qualdade das estmatvas dos parâmetros. Tabela Resultado do teste para desvo de aleatoredade (run test) das séres de dados estudados. Setembro Outubro Novembro Dezembro Janero Feverero Março Ano 0,23 0,603 0,609 0,326 0,234 0,0 0,202 0,228 Tabela 2 Estmatvas dos parâmetros da dstrbução GEV obtdas va método da máxma verossmlhança e Inferênca Bayesana, erro Monte Carlo, fator de convergênca de Raftery e Lews (FD) e p-valor do Crtéro de Geweke. Máxma Verossmlhança Bayesana Convergênca Período Parâmetro Estmatva Desvo Padrão Méda Posteror Desvo Padrão Erro MC FD Geweke p- valor 5,63 2,877 4,242 2,545 0,0436 0,9907 0,534 Setembro 3,979 2,207 4,52 2,93 0,0364,0320 0,438-0,04 0,92 0,28 0,5 0,0025,439 0,982 32,840 2,750 32,644 2,303 0,0358 0,9907 0,582 Outubro 4,80,997 5,947 2,005 0,0332,0320 0,84-0,090 0,43 0,232 0,097 0,005,009 0,833 35,57 2,892 40,777 2,098 0,0648,0263 0,255 Novembro 4,769 2,236 9,574 2,34 0,0693,368 0,98 0,24 0,52 0,207 0,2 0,004,0789 0,069 45,706 2,802 45,753 2,377 0,0359,0320 0,385 Dezembro 2,24 2,32 5,439 2,26 0,0373 0,9704 0,857 0,077 0,56 0,096 0,09 0,0023 0,9907 0,778 4,777 3,749 43,93 2,34 0,038,009 0,927 Janero 7,62 3,06 20,287 3,023 0,0505,009 0,72 0,834 0,27 0,078 0,02 0,0020,0320 0,576 4,929 3,24 40,750,897 0,0282 0,9907 0,63 Feverero 5,372 2,495 6,04 2,200 0,0326 0,966 0,373 0,64 0,84 0,387 0,053 0,0008,009 0,873 38,437 2,986 42,64 2,84 0,0576,0547 0,695 Março 5,782 2,34 9,432 2,294 0,0344,009 0,4-0,054 0,6 0,08 0,0 0,0042,207 0,94 66,775 2,377 64,379 2,5 0,030 0,9704 0,556 Ano,72 2,093 0,80 2,08 0,0332,0534 0,540 0,36 0,945 0,47 0,058 0,0009 0,9907 0,662 Cênc. agrotec., Lavras, v. 33, n., p , an./fev., 2009 268 BEIJO, L. A. et al. Analsando-se a Tabela 2, pôde-se verfcar que as estmatvas dos parâmetros e não dvergram muto entre as duas metodologas de nferênca, exceto para os meses de novembro e março, em que as estmatvas fornecdas pela metodologa Bayesana apresentaram valores mas elevados. Entretanto, para o parâmetro houve uma maor dvergênca entre as estmatvas, sendo que, em todos os períodos, com exceção do mês de anero, a metodologa Bayesana forneceu valores mas elevados. Um destaque deve ser dado aos meses de setembro, outubro e março, em que, as estmatvas de máxma verossmlhança apresentaram valores negatvos, enquanto que as bayesanas apresentaram valores postvos, sto pode nfluencar na obtenção de estmatvas de precptações máxmas. Os valores do desvo padrão para os parâmetros e foram baxos em relação à méda, enquanto que, para o parâmetro os valores do desvo padrão foram mas elevados, porém, no caso desse parâmetro, o método Bayesano forneceu estmatvas mas precsas, uma vez que apresentou valores do desvo padrão menores, chegando em alguns casos (feverero e ano) a ser mas de três vezes nferor. Embora utlzando-se uma sére de dados de ventos máxmos de 48 anos, Coles & Powell (996) também obtveram um valor elevado do desvo padrão em relação à méda a posteror do par
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