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Análise Bayesiana Para Modelos de Equações Estruturais

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  Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.22, n.1, p.113-124, 2004 113 ANÁLISE BAYESIANA PARA MODELOS DE EQUAÇÕES ESTRUTURAIS Jorge Alberto ACHCAR 1  RESUMO: Neste artigo introduzimos uma análise Bayesiana para modelos de equações estruturais usando métodos Monte Carlo em Cadeias de Markov (MCCM). Em especial, usamos o algoritmo de Metropolis-Hastings para gerar amostras da distribuição a posteriori  conjunta para os parâmetros do modelo. Ilustramos a metodologia com um conjunto de dados reais.  PALAVRAS-CHAVE: Modelos de equações estruturais; análise Bayesiana; métodos de Monte Carlo em cadeias de Markov. 1 Introdução Os modelos de equações estruturais (MEE) incluem análise de trajetórias e análise fatorial. Também temos classificados em modelos MEE os modelos econométricos de equações simultâneas (ver, por exemplo, Kenny,1979). A análise de trajetórias foi desenvolvida como um método para decompor correlações em diferentes componentes para a interpretação de efeitos (por exemplo, como a educação dos pais pode influenciar os rendimentos dos filhos depois de 40 anos). A análise de trajetórias é relacionada com regressão múltipla (ver, por exemplo, Blalock,1969; Duncan,1975; Maruyama,1998 ou Ullman,1996) usando modelos lineares padronizados,isto é, onde todas as variáveis tem média zero e variância um. A análise de trajetórias foi primeiramente desenvolvida pelo geneticista Sewall Wright (1921). As trajetórias nos modelos representam hipóteses dos pesquisadores. Os componentes básicos da análise de trajetórias são o diagrama de trajetórias, a primeira lei e a lei de traços. Como um caso especial, o conjunto de equações estruturais (1) pode ser sumarizado graficamente no diagrama da Figura 1.  X  3  = p 31  X  1  + p 32  X  2  + p 3 U  U,  X  4  = p 41  X  1  + p 42  X  2  + p 43  X  3  + p 4 V   V,   (1) onde U   e V   são distúrbios aleatórios (erros). No diagrama de trajetórias, setas mostram supostas relações causais.Uma seta unidirecional mostra relações de causas para efeitos. Uma seta curva bidirecional indica que as variáveis estão correlacionadas; neste caso não há suposição de relação causal. As 1 Departamento de Medicina Social, Faculdade de Medicina de Ribeirão Preto, Universidade de São Paulo - USP, CEP: 14049-900, Ribeirão Preto, SP. E-mail: achcar@fmrp.usp.br     Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.22, n.1, p.113-124, 2004 114 variáveis independentes são chamadas variáveis exógenas e as variáveis dependentes são chamadas variáveis endógenas. Um coeficiente de trajetórias indica o efeito direto de uma variável suposta como a causa em outra variável suposta como um efeito. FIGURA 1 - Um modelo de trajetórias. Algumas suposições são usualmente consideradas para uma análise de trajetórias: ã Todas as relações são lineares e aditivas. As suposições causais (o que causa o que) são mostradas no diagrama causal. ã As variáveis são medidas sem erros. ã Os resíduos (termos de erros) não são correlacionados com as variáveis no modelo e entre si. ã O fluxo causal é unidirecional. ã As variáveis são medidas numa escala contínua. 1.1 Primeira lei Dado o modelo estrutural padronizado, a correlação entre quaisquer duas variáveis pode ser determinada pela seguinte regra, chamada primeira lei de análise de trajetórias:  Z  X iYX YZ  ii  p  ρ  ρ    =   (2) onde  p i YX  é o parâmetro de trajetória ou parâmetro causal da variável  X  i  em  Y  ,  ρ   Z  X  i   é a correlação entre  X  i  e  Z  , e o conjunto de variáveis  X  i  inclui todas as causas da variável Y  . Como um caso especial, a correlação entre  X  1  e  X  3  para o modelo na Figura 1 é dada por  ρ  31  =  p 31  ρ  11  +  p 32  ρ  12  +  p 3 U   ρ  1 U  . Como  ρ  11 =1 e  ρ  1U =0, temos  ρ  31  =  p 31  +  p 32  ρ  12 . As correlações restantes na Figura 1 são dadas por:    ρ  32  = p 32  + p 31  ρ  12,    ρ  41  = p 41  + p 42  ρ  12  + p 43  ρ  13 ,    ρ  42  = p 42  + p 41  ρ  12  + p 43  ρ  23  ,  ρ  43   = p 43  + p 41  ρ  13   + p 42  ρ  23  ,  ρ  34  = p 31  ρ  14  + p 32  ρ  24  + p 3 U   ρ  U  4 .   (3)  Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.22, n.1, p.113-124, 2004 115 Observar que existem duas expressões para  ρ  34  pois cada uma das variáveis  X  3  ou  X  4  pode ser considerada como uma variável endógena. Observar que  ρ  UV    = 0, mas ρ U  4 ≠  0. 1.2 Lei de traços A lei de traços é uma regra não matemática simples: a correlação entre  X  i   e  X   j  é igual à soma do produto de todas as trajetórias obtidas de cada um dos possíveis traços entre i  e  j . O conjunto de traços inclui todas as rotas possíveis de  X  i  a  X   j  dado que: (a) a mesma variável não entra duas vezes e (b) uma variável não pode entrar a partir de uma seta à direita e de uma seta à esquerda simultaneamente. Observando a Figura 1, obtemos,  ρ  31  =  p 31  +  p 32  ρ  12 . Existem dois traços possíveis: primeiro, um caminho direto de  X  1  para  X  3 , e, segundo, um traço de  X  1  a  X  2 daí para  X  3 . Observar que as correlações entre variáveis puramente exógenas não são tratadas de forma diferente. Um traço não é permitido de  X  1  a  X  4  e daí para  X  3 , pois  X  4  entra no modelo por duas setas unidirecionais simultâneas da esquerda para a direita (ver Figura 1). As correlações restantes para a Figura 1 são:  ρ  32  = p 32  + p 31  ρ  12  ,  ρ  41  = p 41  + p 42  ρ  12  + p 43  p 31  + p 43  p 32  ρ  12    ,  ρ  42   = p 42  + p 31  p 43  ρ  12  + p 41  ρ  12   + p 43  p 32  ,  ρ  43  = p 43  + p 31  p 41  + p 31  p 42  ρ  12  + p 32  p 41  ρ  12  + p 32  p 42  ,  ρ  3 U   = p 3 U   ,  ρ  4 V   = p 4 V  .   (4) Das equações (4) relativas ao diagrama da Figura 1, encontramos interpretações simples e úteis para os efeitos diretos e indiretos de uma variável exógena em uma variável endógena. Como um caso especial, observar que o coeficiente de trajetórias  p 41  no diagrama de trajetórias da Figura 1 mede o efeito direto da variável  X  1  em  X  4  e o efeito indireto da variável  X  1  em  X  4  via as outras variáveis  X  2  e  X  3  é dado por  ρ  41 -p 41  = p 42  ρ  12 +p 43  p 31 +p 43  p 32  ρ  12 . Similarmente, encontramos as decomposições de efeitos diretos e indiretos para as outras correlações no diagrama de trajetórias da Figura 1. Neste artigo, exploramos o uso de métodos Bayesianos para obter inferências para os coeficientes de trajetórias. Considerando alguns casos especiais de diagramas de trajetórias encontramos sumários a posteriori  de interesse usando métodos Monte Carlo em Cadeias de Markov (MCCM) baseados no algoritmo de Metropolis-Hastings (ver, por exemplo, Chib e Greenberg, 1995; ou Roberts e Smith, 1993). O uso de métodos MCCM tem se tornado rotina para análise Bayesiana de modelos econométricos (ver por exemplo, Chib e Hamilton, 2000).    Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.22, n.1, p.113-124, 2004 116 2 Estimação dos coeficientes de trajetórias Vamos considerar o diagrama de trajetórias dado na Figura 2. FIGURA 2 - Um diagrama de trajetórias. Associado à Figura 2, temos a seguinte equação estrutural:  X  3  = p 31  X  1  + p 32  X  2  + cU (5) onde U   é o termo erro. Da primeira lei, temos,  ρ  31  = p 31  +  ρ  12  p 32    ρ  32  = p 32  +  ρ  12  p 31   (6) Das equações (6), encontramos os estimadores, 31 ˆ  p   = ( r  31 - r  12 r  32 )  / ( 1   - 212 r  )   32 ˆ  p= ( r  32  - r  12 r  31 )  / ( 1- 212 r  )   (7) onde  r  ij  é a correlação amostral entre as variáveis  X  i  e  X   j . Observar que todas variáveis têm média zero e variância um (variáveis padronizadas). Os estimadores (7) também são os Estimadores de Mínimos Quadrados (EMQ) usuais de  p 31  e  p 32 . Para obter um estimador para c 2  (variância do erro ε = cU  ), observar que como Var(  X  3 ) = 1, temos, 1 = Var(  X  3 )  = Var (  p 31  X  1  + p 32  X  2  + cU  ), isto é, 1 = 231  p Var(  X  1 )  + 232  p Var(  X  2 )  + 2  p 31    p 32 Cov(  X  1  ,X  2 )  + c 2 Var( U  ).   Assim, temos uma restrição para os parâmetros  p 31  ,  p 32  e c 2  dada por,
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