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Estimation de statistiques spectrales synchrones sur des signaux cyclostationnaires de moteur diesel

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  Estimation de Statistiques Spectrales Synchrones sur desSignaux Cyclostationnaires de Moteur Diesel Jérôme A NTONI 1 , Joannès D ANIÈRE 1 , François G UILLET 11 Laboratoire d’Analyse des Signaux et des Processus industriels20, Avenue de Paris, 42334 Roanne Cédex, France antoni@univ-st-etienne.fr Résumé  – Nous nous intéressons à l’estimation des moments spectraux conditionnels (MSC) de la distribution de Wigner-Ville (DWV) surdes signaux de machine alternative fortement transitoires. L’objectif est à la fois de caractériser les évènements d’un cycle machine par unesignature « angle-fréquence » et de réduire l’espace d’analyse à quelques séquences mono-dimensionnelles. Nous exploitons l’analogie entrela DWV et une densité de probabilité pour dériver directement les MSC à partir du signal. Nous étendons ensuite les résultats au cas des DWVd’ordre supérieur (bispectre et trispectre). Un des apports de ce papier est de proposer une procédure d’estimation consistante et sans effet debord basée sur la cyclostationnarité des signaux analysés. La procédure est finalement appliquée sur des signaux accélérométriques d’unmoteur diesel. Abstract  – This paper deals with the estimation of the conditional spectral moments (CSM) of the Wigner-Ville distribution (WVD) ontransient signals from reciprocating machines. The aim is both to caracterise such signals by an « angle-frequency » signature and to reduce thespace to a few 1D sequences. The analogy between the WVD and a probability density function is used to find closed-form solutions for theCSM. These results are then extended to higher-order WVD. One of the contribution of this paper is to propose a consistant estimationprocedure. Results are finally discussed on real accelerometric data from a diesel engine. 1.   Introduction Nous nous intéressons à l’estimation de descripteursstatistiques sur des signaux cyclostationnaires de machinealternative, afin de pouvoir les caractériser et par la suite,définir des stratégies de diagnostic. Notre objectif estd’extraire les signatures « angle-fréquence » de signauxfortement transitoires. Le calcul des premiers momentsspectraux conditionnels (MSC) de la distribution de Wigner-Ville (DWV) semble bien atteindre cet objectif.Nous rappelons d’abord la structure des signaux étudiés etintroduisons des estimateurs statistiquement consistants quiexploitent leur propriété de cyclostationnarité. Les formulespour le calcul des MSC directement à partir du signal sontensuite retrouvées simplement en faisant l’analogie avec lecalcul des probabilités. Pour parvenir à une estimation exactesans effets de bord, nous montrons que la cyclostationnaritédes signaux permet d’utiliser le dérivateur 2 π   jf   où −= , et  f est la fréquence réduite. Enfin, les statistiquessont appliquées à des mesures accélérométriques d’un moteurdiesel. 2.   Structure des Signaux 2.1   Modélisation L’analyse des signaux accélérométriques des moteursthermiques est délicate, car les méthodes aujourd’huilargement acceptées dans le domaine des machines tournantes(analyse spectrale, analyse cepstrale, analyses statistiques)sont difficilement transposables au domaine des machinesalternatives. Celles-ci présentent un nombre important decomposants mécaniques et la combinaison des mouvementsqui en résulte est complexe. Les vibrations générées sontcomposées à la fois de signaux harmoniques dus aux organesrotatifs et de signaux transitoires dus aux organes alternatifs(chocs, frottements, forces d’inertie, gradients de pression,etc).Sans perte de généralité, les signaux vibratoires d’unemachine alternative peuvent être considérés comme la sommed’une contribution déterministe périodique, d’unecontribution aléatoire cyclostationnaire (propriétésstatistiques périodiques) et d’une contribution aléatoirestationnaire au sens stricte.En appelant  x  p ,  x r   et n  ces contributions respectives et enprenant comme variable générique l’angle de rotation θ   ducycle machine, le signal vibratoire discret s’écrit  x[ θ  ]=x  p [ θ  ]+x r  [ θ  ]+n[ θ  ] . Afin de définir cette écriture demanière unique, nous proposons que  x[ θ  ]  satisfasse lespropriétés suivantes : 1. x  p [ θ  +N]=x  p [ θ  ] , où  N   est la période du cycle 2. x r  [ θ  ]  est centré et cyclostationnaire d’ordre ≥ 2 :  E{x r  [ θ  1 +N]x r  [ θ  2 +N]}=E{x r  [ θ  1 ]x r  [ θ  2 ], E{x r  [ θ  ]}=03. n[ θ  ]  est un bruit blanc centré gaussien :  E{n[ θ  ]}=0 ,  E{n[ θ  1 ]n[ θ  2 ]}= σ  n2 δ  [ θ  1 - θ  2 ]4. x r  [ θ  ]  et n [ θ  ]   sont indépendants 2.2   Estimateur synchrone Insistons sur le fait que les signaux considérés sont non-stationnaires par rapport à la variable θ  . Leur ergodicictén’est donc pas envisageable. La propriété de 459 Dix-septième colloque GRETSI, Vannes, 13-17 septembre 1999  cyclostationnarité permet de contourner cette difficulté. Eneffet, toute séquence {x[ θ  0 ], x[ θ  0 +1],..., x[ θ  0 +N-1]}  du signalvibratoire prise sur la durée d’un cycle peut être vue commeune réalisation particulière du processus stochastique  x[ θ  ], θ  = θ  0  ,..., θ  0 +N-1 . Par conséquent un estimateur de l’opérateurespérance mathématique est donné par la moyenned’ensemble d’une infinité de cycles : Proposition 1 :  Pour tout fonction  f   de  R d  →   R  telle que  E{f(x[ θ  ])}< ∞  , un estimateur consistant de  E{f(x[ θ  ])}  estdonné par ∑ ++  −=−∞→ K K k 1K  ])kN [ x( f )1K 2(lim  θ  3.   Moments Spectraux Conditionnels dela Distribution de Wigner-Ville 3.1   Motivations Nous cherchons à condenser l’information bi-dimensionnnelle d’une représentation « angle-fréquence » surun nombre fini de séquences mono-dimensionnelles. LesMSC de la DWV satisfont bien cet objectif pour deuxraisons :1. pour les signaux transitoires large-bandes, les premiersMSC suffisent pour résumer le contenu du spectre évolutif.2. ils ont une signification physique, le moment d’ordrezéro correspondant à l’énergie du signal, le moment d’ordreun à la fréquence moyenne instantanée, les moments centrésd’ordre supérieur à des mesures de largeur de bande duprocessus. 3.2   Estimation des MSC Initialement définie pour les signaux déterministes [1], laDWV est définie pour les signaux aléatoires comme latransformée de Fourier de la fonction d’autocovarianceinstantanée : W   x ( θ   ,f)=TF{E{x c* [ θ  - τ   /2]x c [ θ  + τ   /2]}}  où  x c [ θ  ] est le signal analytique préalablement centré. Les MSC de laDWV normalisée sont donnés par : ∫ =∫ ∫ =  210210 x210 x df  f ]} ,[{ TF  df ) f  ,(W  df  f ) f  ,(W  )(m  α α α   τ θ Φ θ θ θ  où Φ  [ θ   , τ  ]=R  x [ θ   , τ  ]/R  x [ θ   ,0] . La distribution est homogène à ladensité de probabilité de la variable  f   conditionné à lavariable θ  . La fonction d’autocovariance (semi-positive) esthomogène à la fonction caractéristique de la variable  f| θ  . Paranalogie avec le calcul des probabilités, nous en déduisonsque : Proposition 2   :  Le MSC d’ordre α   de la DWV normaliséeest généré par la dérivée α  ième  de la fonction d’autocovarianceinstantanée normalisée prise en zéro, soit : [ ]  0 |] ,[.) j2( 1m = ∂∂=  τ α α α α  τ τ θ Φ π θ  En posant  x c =a+ib  et e=E{|x c | 2  }  à la position θ   et enappliquant la proposition n ° 2, il vient (voir [3] et [5] pour unedérivation analogue de m 1  et m 2 ) : { }  e2 / b' aa' b E m 1  π  −= { }  e8  / b' ' ba' ' a' b' a E m  2222  π  −−+= { }  e32 / )' ' a' b' a' ' b(3abba E m  3)3()3( 3  π  −+−= e128  / )' ' b' ' a(3 )' bb' aa(4bbaa  E m  422)3()3()4()4( 4  π  +++−+= Nous retiendrons plutôt les versions centrées commedescripteurs statistiques :- la variance spectrale :  M  1 =m 2 -m 12 - l’asymétrie spectrale :  M  3 =m 3 -3m 1 m 2 +2m 12 - l’applatissement spectral :  M  4 =m 4 -4m 3 m 1 +6m 2 m 12 -3m 14 Le calcul direct et rapide de ces moments à partir du signalest possible par application de la proposition n ° 2 et de laproposition suivante que nous démontrons en annexe : Proposition 3  : Soient  x[ θ  ]  et  y[ θ  ]  deux séquencesdiscrètes conjointement cyclostationnaires à la période  N  . Sila dérivée  x’  de  x  existe, un estimateur efficace et sans effetsde bord de  E{x’[ θ  ]y[ θ  ]}  est donné par application de laproposition n ° 1 avec  x’[ θ  ]=TFD -1 {X[k]D[k]}  où  X[k]=TFD{x[ θ  ]}  est la transformée de fourier discrète de  x sur la durée  N   du cycle et  D[k]=2 π   jk/N, k=0,...,N-1 . 3.3   Extension aux MSC de WV-OS Des distributions de Wigner-Ville aux ordres supérieursont récemment été proposées pour caractériser à la fois lanon-stationnarité et la non-gaussianité de signaux aléatoirestransitoires. Aux ordres 3 et 4 (bispectre et trispectre de WV),elles sont définies par les expressions suivantes de manière àconserver les propriétés marginales sur un signal mono-composante modulé en fréquence [4], [6] :1.  ]} , ,[C { 2TF ] f  , f  ,[W  21 x x x21 x3 321 τ τ θ θ   = où Cx 1  x 2  x 3  est le cumulant d’ordre 3 sur  x 1 =x c* [ θ  - τ  1  /3- τ  2  /3] ,  x 2 =x c [ θ  +2 τ  1  /3- τ  2  /3] ,  x 3 =x c [ θ  +2 τ  2  /3- τ  1  /3] ,2. ]} , , ,[C { 3TF ] f  , f  , f  ,[W  321 x x x x321 x4 4321 τ τ τ θ θ   = où Cx 1  x 2  x 3  x 4  est le cumulant d’ordre 4 sur  x 1 =x c* [ θ  - τ  1  /4- τ  2  /4- τ  3  /4] ,  x 2 =x c [ θ  +3 τ  1  /4- τ  2  /4- τ  3  /4] ,  x 3 =x c [ θ  +3 τ  2  /4- τ  1  /4- τ  3  /4]  et  x 4 =x c* [ θ  +3 τ  3  /4- τ  1  /4- τ  2  /4] .Elles donnent respectivement lieu à des représentations triet quadri-dimensionnelles que nous cherchons à réduirecomme précedemment par le calcul de leur premier MSC. Lescumulants Cx 1  x 2  x 3   et  Cx 1  x 2  x 3  x 4  n’étant pas définis semi-positifs, les DWV correspondantes ne sont pas assimilables àdes densités de probabilités conjointes. Cependant, paranalogie avec ce qui précède, il est toujours possible dedéfinir des MSC aux ordres supérieurs par : ( )  0nx2 / n2 / n210 x210 inxni ,  |] ,[C  .][e) j2( df ] f  ,[W   f d  f ] f  ,[W  ][m =− ∂∂=∫ ∫ =  τ α α α α α  τ τ θ θ π θ θ θ  Cette définition appelle quelques remarques :1. Les moments d’ordre zéro du bispectre et du trispectrede WV donnent respectivement le skew et le kurtosissynchrones du signal.2. Les moments centrés perdent leur significationprobabiliste. En particulier, le moment d’ordre 2 n’est plusune variance (  M  2n>2 ∈   C  ).3. Les premiers moments à l’ordre 3 et 4 apportent uneinformation complémentaire à celle à l’ordre 2 et permettentde discriminer des vibrations modulées aléatoirement enamplitude. Pour un signal multi-composante  x r  [ θ  ]= Σ  i  A i [ θ  ]cos(2 πφ  i [ θ  ]) , les  A i [ θ  ]  étant des processus 460 Dix-septième colloque GRETSI, Vannes, 13-17 septembre 1999  aléatoires indépandants entre eux et cyclostationnaires jusqu’àl’ordre 4, il vient : )2 } A{  E  /()2 /  } A{  E (m  i2n2ii2n' i2i21  ∑ +∑ +=  σ σ φ  23i2n2ii2 j3i30  )2 } A{  E  /(e } A{  E m  i ∑ +∑=  σ  πφ  23i2n2ii2 j' i3i31  )2 } A{  E  /(e } A{  E 3 / 2m  i ∑ +∑=  σ φ   πφ  2i2n2ii22i4i40  )2 } A{  E  /() } A{  E 3 } A{  E (m  ∑ +∑ −=  σ  2i2n2i' ii22i4i41  )2 } A{  E  /() } A{  E 3 } A{  E (m  ∑ +∑ −=  σ φ  En particulier si les  A i [ θ  ]  sont des processus gaussiens, lesstatistiques m 03 , m 13 , m 04 , et m 14  sont nulles. 4.   Application aux Signaux Moteur Un ensemble de mesures ont été effectuées sur un moteurdiesel atmosphérique à quatre cylindres. Les signaux ont étééchantillonnés en angulaire sur 128 cycles, à 1500 tr/min, à512 points/tr et avec une fréquence de coupure à 6 kHz. Lacomposante périodique  x  p  est estimée par moyennagesynchrone de  x . Les résidus par rapport à  x  p  fournissent leprocessus  x r  +n , sur lequel sont ensuite estimés les MSC.La figure n ° 1 présente l’estimation de  x  p , la figure n ° 2 cellede m 1 . La détection et la localisation des évènements au coursdu cycle moteur peut se faire très précisement sur lafréquence instantanée, alors que difficile sur le signal brut. Lafigure n ° 3 présente la variance spectrale  M  2 . Cette statistiqueest une mesure de la largeur de bande à la position θ , parconséquent les phénomènes transitoires y sont plus marqués.Les MSC supérieurs permettent de discriminer certainsévènements particuliers par rapport au reste du signal(asymétrie négative des combustions en fig. 4).Les premiers MSC du bispectre et du trispectre de WVsont plus difficile à lire, mais font ressortir le début destransitoires de combustion, qui sont de type non-gaussiens.Globalement, les phénomènes suivants ont pu être identifiés :T AB . 1 : diagramme cinématique du cycle moteur PositionÉvènementCylindre -55°+k  π  Avance ouverture échappement  k-1-25°+k  π  Début injection  k-1-8°+k  π  Avance ouverture admission  k -5°+k  π  Début combustion  k-1+8°+k  π  Basculement piston  k-1+13°+k  π  Retard fermeture échappement  k +45°+k  π  Retard fermeture piston  k+2+75°+k  π  Basculement piston  k+2 5.   Conclusion L’étude a confirmé que les moments spectraux sont desdescripteurs appropriés des signaux transitoires et large-bandes des machines alternatives. Après avoir exploitél’analogie entre la DWV et une densité de probabilité pourdériver simplement les MSC à partir du signal, une procédured’estimation est proposée qui utilise la cyclostationnarité dessignaux étudiés. Nous démontrons pour cela que le calcul dela dérivée d’un signal cyclostationnaire par la TFD est uneprocédure statistiquement sans effets de bord. Les résultatssont ensuite étendus aux DWV d’ordre 3 et 4. L’estimationdes statistiques a été appliquée sur des signaux de moteurdiesel. A l’ordre 2, les moments spectraux se sont avérés êtredes outils de détection et de caractérisation précis desévènements transitoires. A l’ordre 3 et 4, ils permettentd’extraire les transitoires de type non-gaussiens du reste dusignal.   -100 0 100 200 300 400 500-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.2 F IG . 1 : Moyenne synchrone. L'axe horizontal est graduésur un cycle moteur (0 °  correspond au PMH du 1 er  cylindre). -100 0 100 200 300 400 50000.050.10.150.20.25 F IG . 2 : Fréquence instantanée (en fréquence réduite) etépure des principaux événements dans le cycle machine. -1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 000 .0 0 50 .0 10 .0 1 50 .0 20 .0 2 50 .0 30 .0 3 50 .0 40 .0 4 5 F IG . 3 : Variance spectrale 461 Dix-septième colloque GRETSI, Vannes, 13-17 septembre 1999  -100 0 100 200 300 400 500-20246810x 10 -3 F IG . 4 : Asymétrie spectrale. -1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0-0 .0 2-0 .0 100 .0 10 .0 20 .0 30 .0 4 F IG . 5 : Im{m 31,1 } -1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0-0 .4-0 .200 .20 .40 .6 F IG . 6 : Im{m 41,1 } 6.   Annexes 6.1   Démonstration de la proposition 3 Soit  x[ θ  ]  et  y[ θ  ]  deux séquences discrettes conjointementcyclostationnaires à la période  N  , c’est à dire telles que  E{x[ θ  1 +kN]y[ θ  2 +lN]}= E{x[ θ  1 ]y[ θ  2 ]} , (k,l) ∈  IN  2 . Soit h[ θ  ] le filtre dérivateur numérique dont la TFD est  H[k]=2 π   jk/N  , k=0,...,N-1 . Il se comporte comme le dérivateur exacte dansle seul cas où on le convolue avec une séquence périodiquede période  N/n, n ∈  IN  * .  Puisque par hypothèse  E{x[ θ  1 ]y[ θ  2 ]} est périodique de période  N :]}[ y][ x{  E ][h]}[ y][ x{  E  211211  θ θ θ θ θ θ   ∗=∂∂ or, ]}[ y][ x{  E ]}[ y][ x{  E  21' 211  θ θ θ θ θ   =∂∂  si ladérivée  x ’  de  x  existe. Par conséquent  E{x ’ [ θ  1 ]y[ θ  2 ]} =h[ θ  1 ] ✳  E{x[ θ  1 ])y[ θ  2 ]}=E{(h[ θ  1 ] ✳  x[ θ  1 ])y[ θ  2 ]} . Le reste de ladémonstration suit en posant θ  1 = θ  2   et en appliquant laproposition n ° 1. 6.2   Formules pour l’estimation des MSC dubispectre et du trispectre de WV En posant  x c =a+ib  et en utilisant la formule du paragraphe3.2, il vient : 2323 0  e /  }) jba)( jba{( E m  +−= 2331  je3 / )}a' bb' a)(b ja{( E m  π  +−−= 22224 0  e /  })ba{( E m  += 21142314123124132411313412341121123441  je2 / )C C  C C C C C C C C C C C (m π  −−−−−−= avec 24133412 22 C C C C )}ba{( E e  ====+=  }) jba{( E C  },) jba{( E C   223214  +=−= 124112  C )}a' ba' a( j2 / )b' ba' a{( E C   =+−++= 113134  C 2 /  }b' ba' a{  E C   =−−= 2 / )}a' bb' a( j)b' ba' a{( E C  123  ++−= 2 / )} jba)('  jb' a{( E C  114  +−+−−= )}a' bb' a)(ba{( jE C   2211234  +−+= Pour le bispectre de WV, les propriétés de symétrie fontque les moments m α   ,i3  (i=1,2)  sont identiques quel que soit lechoix de la variable de dérivation τ  i . Pour le trispectre deWV, les moments m α   ,i4  (i=1,2,3)  sont identiques pour τ  i = τ  1  et τ  i = τ  2  seulement. Ils sont dérivés ici pour τ  i = τ  1 . Références [1]   P. Flandrin, Temps-Fréquence , Editions Hermès, 1993[2]   M. A. Polleti The Development of Instantaneous Bandwidth via Local Signal Expansion , SignalProcessing 31 (1993) pp273-281[3]   G. D. Zivanovic On the Instantaneous Frequency of Cyclostationary Random Signal , IEEE Trans. SignalProcessing, Vol. 39, No. 7, July 1991, pp1604-1610[4]   A. Swami Third-Order Wigner Distributions : Definitions and Properties , Proc. IEEE ICASSP-91,pp3081-3084[5]   S. L. Hahn, Stochastic Analytic Signals and the Relation Between Instantaneous Frequency and Spectral Moments Using the Wigner-Ville Distribution , Bulletinof the Polish Academy of Sciences, Vol. 43, No. 4,1995, pp525-535[6]   J. R. Fonollosa, C. L. Nikias, Wigner Higher Order  Moment Spectra : Definition, Properties, Computationand Application to Transient Signal Analysis , IEEETrans. Signal Processing, Vol. 41, No. 1, January 1993,pp245-266[7]   E. Barnes, The calculation of instantaneous frequencyand instantaneous bandwidth , Geophysics, Vol. 57, No.11, November 1992, pp.1520-1524 462 Dix-septième colloque GRETSI, Vannes, 13-17 septembre 1999
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