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FÍSICA PRÉ-VESTIBULAR LIVRO DO PROFESSOR IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais.
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FÍSICA PRÉ-VESTIBULAR LIVRO DO PROFESSOR IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. I9 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. Curitiba : IESDE Brasil S.A., 008. [Livro do Professor] 73 p. ISBN: Pré-vestibular.. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título. CDD Disciplinas Língua Portuguesa Literatura Matemática Física Química Biologia História Geografia Produção Autores Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima Bezerra Fábio D Ávila Danton Pedro dos Santos Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba Costa Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. Saquette Edson Costa P. da Cruz Fernanda Barbosa Fernando Pimentel Hélio Apostolo Rogério Fernandes Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa Silva Duarte A. R. Vieira Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer Projeto e Desenvolvimento Pedagógico Tópicos de ondulatória: classificação, princípios e fenômenos Este é o tópico de introdução ao estudo da Física ondulatória em que serão apresentadas as ondas e os seus principais elementos. Sendo um módulo básico, recomenda-se muito cuidado nos conceitos e definições. Conceito de onda O conceito de onda está vinculado à perturbação produzida em um meio qualquer; produzida essa onda, ela vai propagar energia e quantidade de movimento ao longo do meio. para assegurar a veracidade dessa afirmação: tomemos um balão de vidro transparente que contém em seu interior uma sineta (S); na tampa (A) colocamos um registro (R) e um tubo (B) ligado a uma máquina pneumática, isto é, uma máquina que pode extrair o ar de dentro do balão. S A Tipos de ondas EM_V_FIS_016 Como no tópico inicial do estudo da óptica mostramos que a onda luminosa pode se propagar no vácuo, exige-se, então, a classificação das ondas em dois grupos: 1.º) as ondas que necessitam de um meio material para se propa gar são as ondas mecânicas ou elásticas; o melhor exemplo para esse tipo de onda é a onda sonora. O som se propaga em meios sólidos, líquidos ou gasosos, mas não se propaga no vácuo. Podemos fazer uma experiência bastante simples Conforme fazemos funcionar a máquina pneumática, vamos diminuindo a quantidade de ar dentro do balão e verificamos que o som da sineta sacudida torna-se cada vez menos perceptível; porém, se invertermos o processo e colocarmos gases de diferentes massas específicas dentro do balão, notamos que, para a mesma quantidade de gás inserida, os mais densos permitem que se ouça melhor o tilintar produzido pela sineta. 1 .º) as ondas que não necessitam de um meio material para se propagar são as ondas eletromagnéticas; o melhor exemplo para esse tipo de onda é a luz; observe que as ondas eletromagnéticas podem se propagar também em meios materiais. Vamos, então, gerar uma onda em uma corda esticada e fixa em uma de suas extremidades; inicialmente vamos suspender, com uma das mãos, a extremidade livre da corda: Em seguida vamos abaixá-la: ondas bidimensionais: apresentam dois graus de liberdade; por exemplo, ondas formadas na superfície de um lago, ao arremessarmos uma pedra nele. ondas tridimensionais: são aquelas que apresentam os três graus de liberdade; por exemplo, ondas sonoras emitidas por uma caixa de som. Tipos de pulsos Os pulsos também podem ser classificados por: pulsos fortes ou pulsos fracos: como mostrado nas figuras abaixo. Notamos que, produzida a perturbação, houve o aparecimento de um pulso e a sua propagação ao longo da corda. Se tivéssemos uma mola, também fixa por uma de suas extremidades e produzíssemos uma compressão na outra extremidade, soltando-a em seguida, notaríamos que também haveria a propagação de um pulso ao longo da mola. A 1 A pulso forte pulso fraco A 1 A pulsos longos ou pulsos curtos: como mostrado nas figuras abaixo. T 1 T pulso longo pulso curto Elementos das ondas No caso da corda, percebemos que seus pontos oscilam e voltam para a posição de equilíbrio (cord; essa oscilação ocorre perpendicularmente ao movimento do pulso ao longo da corda e por isso chamamos essa onda de transversal; no segundo caso, a oscilação dos pontos da mola ocorre na mesma direção de propagação do pulso ao longo da mola e por isso chamamos essa onda de longitudinal. Podemos, portanto, observar que em uma onda existem basicamente dois tipos de movimento: um oscilatório (MHS) e outro retilíneo, e que num movimento ondulatório ocorre transmissão de energia e de quantidade de movimento, mas não há transporte de matéria por intermédio do meio. Podemos classificar as ondas em função dos graus de liberdade do seu movimento de propagação: ondas unidimensionais: só apresentam um grau de liberdade; por exemplo, ondas se propagando em uma corda delgada. Vamos considerar os principais elementos das ondas: período: como o movimento dos pontos é repetitivo, valem as considerações já feitas sobre o período (T) e a frequência (f), inclusive 1 que T = ; as suas unidades, no SI, serão f o segundo (s) e o hertz (Hz); a velocidade angular ( ) será chamada de pulsação do movimento ondulatório e será dada por: = f; comprimento de onda: como a onda tem uma velocidade retilínea de propagação, chamamos comprimento de onda ( ) a distância percorrida pela onda no intervalo de tempo numericamente igual ao período. elongação: como os pontos do meio vão se afastando da posição de equilíbrio, chamamos elongação a distância entre um ponto e a posição de equilíbrio; chamamos amplitude à elongação máxima. EM_V_FIS_016 velocidade de propagação da onda (v): é uma característica do meio; verifica-se, experimentalmente que, em um mesmo meio, todas as ondas de mesmo tipo se propagam com a mesma velocidade; para facilidade do nosso estudo vamos considerar um meio teórico, um modelo físico, tal que a velocidade de propagação possa ser considerada constante, e vamos chamar esse meio de não-dispersivo. A representação geométrica será, geralmente, a de uma onda transversal, mas tudo que demonstrarmos vale também para as ondas longitudinais. pulsos iguais nas duas cordas, verificamos a situações mostradas nas figuras abaixo: Podemos notar pelo desenho que o comprimento de onda representa a distância entre duas cristas sucessivas ou dois vales sucessivos. Os pontos A e C representam pontos onde está havendo repetição das mesmas condições físicas e, pela própria definição do período, podemos dizer que o tempo gasto entre A e C é o período, o que é válido também para os pontos B e D. Admitida uma velocidade constante para a onda (meio não-dispersivo) podemos aplicar a equação de movimento uniforme ( S = v t)e teremos: = v. T, ou substituindo T por f vem: v =. f Podemos escrever para a corda fina v f = f e f para a corda grossa, v g = g f; dividindo-se, membro a membro, essas duas equações e lembrando que as frequências são iguais, teremos v f = f ; como o v g g desenho nos mostra que f g, significa que f 1 e g como essa fração é igual a v f, concluímos que v f v g v g é maior que 1, ou seja: v f v g..º) Nesta outra experiência, as duas cordas são exatamente iguais, mas suportarão pesos distintos. Sendo produzidos pulsos iguais nas duas cordas, verificamos a situações mostradas nas figuras abaixo: EM_V_FIS_016 chamada equação fundamental da ondulatória. Vamos, no laboratório, fixar em uma parede uma extremidade de uma corda e, passando por uma roldana, colocar na outra extremidade um peso para manter a corda esticada; as duas cordas serão, sempre, de mesmo comprimento entre a parede e a roldana; para um mesmo comprimento e mesmo material podemos definir, para as cordas, uma massa específica linear ( ) como sendo a razão entre a massa e o comprimento (uma corda mais grossa, por ter maior massa no mesmo comprimento, terá maior massa específica linear). 1.º) Experiência: vamos pegar uma corda fina e outra grossa de mesmo comprimento que suportarão pesos iguais. Sendo produzidos 3 Podemos escrever para a primeira corda v 1 = 1 f e para a.ª corda, v = f; dividindo-se, membro a membro, essas duas equações e lembrando que as frequências são iguais, teremos v 1 = 1 ; como o v desenho nos mostra que 1 , significa que 1 e como essa fração é igual a v 1 v, concluímos que v 1 é maior que 1, ou seja: v v 1 v. Dessas duas experiências podemos constatar que, para a mesma frequência, a velocidade de propagação da onda na corda varia com a espessura e com a força tensora na corda; demonstrações mais complexas nos levariam à v = F. Se fizermos experiência análoga com ondas bidimensionais, como ondas produzidas em um tanque de água com diferentes profundidades, veremos que a velocidade será maior na região mais profunda e menor na região mais rasa, consequentemente, o comprimento de onda é maior na região mais profunda e menor na mais rasa. 1 Neste novo esquema, continuamos com os trechos pontilhados que mostram onde estariam os pontos da corda, se não estivessem sendo puxados pelos pulsos; mas nota-se, agora, um trecho em elevação em que os pontos da corda foram levantados por ambos os pulsos; nesse trecho a amplitude (a maior elongação) vale a soma das amplitudes dos pulsos. Notamos agora que a região da corda em negrito, sofrendo a ação dos dois pulsos, apresenta a amplitude a + b; continuando o movimento dos pulsos. 1 Superposição de ondas Quando temos dois movimentos ondulatórios se propagando na mesma corda, podem ocorrer encontros entre eles; é o estudo das superposições de ondas. Vamos considerar, apenas para efeito visual, que em uma mesma corda propagam-se dois pulsos teóricos, de amplitudes a e b (a , como os da figura abaixo: Como sempre, a região em destaque representa a soma das amplitudes dos pulsos; vamos ver agora o que acontece após a passagem de um pulso pelo outro. Do módulo anterior já sabemos que, independente de qualquer fator, eles terão sempre a mesma velocidade em módulo; como eles viajam com sentidos opostos, após algum tempo eles se encontrarão. Vamos observar, pelos diagramas a seguir, o que acontece quando eles se encontram e passam um pelo outro; o trecho pontilhado mostra a posição de equilíbrio da corda e os pontos da corda que ocupavam essa posição foram puxados para cima pela passagem dos pulsos. Após a passagem mútua, cada pulso segue o seu movimento, mantendo a mesma velocidade e a mesma amplitude, isto é, mantendo as suas características físicas. Podemos apreciar este fenômeno em outra simulação. 4 EM_V_FIS_016 Uma das infinitas possibilidades na superposição é: Observamos, mais uma vez, que no instante da superposição acontece a soma algébrica das amplitudes, após a passagem dos pulsos um pelo outro. Extremidade livre Extremidade livre Mantêm-se todas as características físicas, exceto o sentido da velocidade. Veremos no tópico seguinte a reflexão para meios bidimensionais. E constatamos que, realmente, após a superposição os pulsos não mudam suas características físicas. Reflexão de ondas Para facilitar o nosso estudo, vamos considerar apenas a reflexão dos pulsos em ondas unidimensionais; podemos admitir duas hipóteses: reflexão em uma extremidade fixa da corda. Princípio de Huygens O Princípio de Huygens pode ser assim enunciado: Cada ponto de um meio elástico, onde se propaga um movimento ondulatório, constitui sede secundária de vibração, o que significa que cada ponto de uma frente de onda, em cada instante, serve de fonte secundária de novas ondas elementares e independentes umas das outras e, considerando-se um intervalo de tempo Dt, a nova frente de onda representa a envolvente das ondas elementares emitidas por esses pontos. Vamos observar, através de um esquema, para uma frente de onda plana: Após a reflexão, o pulso apresenta inversão de fase. EM_V_FIS_016 Ocorre uma mudança de fase e o sentido da velocidade; mantêm-se as demais características físicas. reflexão em uma extremidade livre da corda: 5 Para uma frente de onda circular, temos o seguinte esquema: Para o próximo intervalo de tempo: Notamos que o ponto P sofre, inicialmente, um movimento para cima, se afastando da posição de equilíbrio (cord, e depois um movimento para baixo, se aproximando da posição de equilíbrio. Podemos notar dois movimentos distintos: o da propagação da onda (nos nossos esquemas, na horizontal) e o movimento dos pontos do meio, representado por um ponto genérico P (nos nossos esquemas, na vertical) ou para qualquer ponto do meio. Vamos estudar novamente a propagação de um pulso em uma corda, como foi visto no tópico anterior: O ponto P está em repouso em uma corda onde se propaga um pulso com velocidade v. Após um intervalo de tempo, o pulso atinge o ponto P. Após mais um intervalo de tempo veremos: Para mais um intervalo de tempo: Pelo desenho, notamos que os pontos da vertente anterior sofrem movimento tendendo a se afastar da posição de equilíbrio e os pontos pertencentes à vertente posterior se aproximam da posição de equilíbrio. Vamos calcular essa velocidade dos pontos do meio (velocidade transvers. Consideraremos, para facilitar o nosso estudo, pulsos teóricos de forma triangular: consideremos um pulso de amplitude a e largura d 1 + d (para este desenho d 1 = d ) e chamemos v 1 a velocidade dos pontos da corda na vertente anterior, v a velocidade dos pontos da corda na vertente posterior e v a velocidade de propagação do pulso. Após outro intervalo de tempo veremos: 6 D t 1 é o intervalo de tempo necessário para o pulso percorrer a distância d 1, e como a sua EM_V_FIS_016 velocidade é constante (meio não dispersivo), fazendo D S = v D t, teremos d 1 = v D t 1 ; repetindo o raciocínio para d, temos: d = v Dt e d 1 = d D t 1 = Dt Como um ponto da corda subirá até uma distância igual à amplitude, podendo-se escrever a = v 1 Dt 1, e descerá a mesma distância, isto é, a = v Dt, igualando essas duas expressões teremos v 1 Dt 1 = v Dt e, para esse caso, Dt 1 = Dt v 1 = v consideremos agora um pulso de amplitude a e largura d 1 + d (para este desenho d 1 d ) e vamos manter as representações anteriores. Agora, d 1 d Dt 1 Dt ; como no caso anterior, a = v 1 Dt 1 e a = v Dt ou v 1 Dt 1 = v Dt. Nesse caso, vertente. Nota-se, então, porque dissemos que o pulso triangular é teórico: não é possível um ponto, tendo velocidade para cima, instantaneamente ter uma velocidade para baixo, por isso os pulsos reais são sempre curvilíneos. Refração de ondas Define-se a refração de uma onda como a mudança da velocidade de propagação ao passar de um meio para outro. Consideremos, separadamente, a refração de uma onda unidimensional e a de uma onda bidimensional. Refração de onda unidimensional Considerem-se duas cordas de diferentes massas específicas lineares (massa/unidade de comprimento), unidas como mostram as figuras a seguir e submetidas à mesma força de tensão. Na energia de transmissão (W transmissão ) em cordas, são parâmetros relevantes a amplitude ( do pulso e a massa específica linear (µ ) de maneira que: W transmissão a. Vamos produzir um pulso que viajará de uma corda mais fina para uma mais grossa, construídas de um mesmo material. Dt 1 Dt v 1 v consideremos agora um pulso de amplitude a e largura d 1 + d (para este desenho d 1 d ) e vamos manter as representações anteriores. Agora, d 1 d Dt 1 Dt ; como no caso anterior, a = v 1 Dt 1 e a = v Dt ou v 1 Dt 1 = v Dt. Nesse caso, Quando esse pulso chega à separação das duas cordas, transmite para a segunda corda uma perturbação e, como a massa específica linear dessa segunda corda é maior que a da primeira, uma parte da energia incidente se transmite e outra parte se reflete. O intervalo de propagação dos pulsos será sempre o mesmo e, portanto, a amplitude do pulso transmitido para a segunda corda e a amplitude do pulso que é refletido são ambas menores que a amplitude do pulso incidente. Além disso, o ponto de ligação das cordas se comporta, para a primeira corda, como se fosse um ponto fixo, ocasionando, para o pulso refletido, inversão de fase. EM_V_FIS_016 Dt 1 Dt v 1 v Conclusão: quanto mais inclinada a vertente, maior é a velocidade dos pontos da corda nessa 7 Agora, será produzido um pulso que viajará da corda mais grossa para a mais fina, feitas de um mesmo material. Repete-se uma situação semelhante à da figura anterior, mas como a massa específica linear da primeira corda é maior que a da segunda, o ponto de ligação das cordas se comporta, para a primeira corda, como se fosse um ponto móvel, não ocasionando, para o pulso refletido, inversão de fase. A onda se propaga com velocidade maior na região mais profunda que na parte rasa. Isso acontece porque as partículas de água na parte funda descrevem órbitas praticamente circulares e, à medida que passam para partes mais rasas, passam a descrever órbitas elípticas como podemos ver na simulação abaixo. Outra vez a amplitude do pulso transmitido para a segunda corda e a amplitude do pulso que é refletido são ambas menores que a amplitude do pulso incidente. Podemos, então, concluir que os comprimentos de onda são diretamente proporcionais às velocidades de propagação. Como v = l f e a frequência é constante porque o número de frentes de onda que chegam será sempre igual ao número de frentes de ondas que saem, pode-se dizer que, tendo a onda menor velocidade na parte mais rasa, haverá nessa região menor comprimento de onda. Vamos fazer agora uma incidência oblíqua da frente de onda na linha de separação das regiões funda e rasa. Refração de onda bidimensional Considerem-se, agora, as figuras a seguir, que representam um trem de ondas gerado por uma placa que vibra acionada por um motor, se propagando de uma região de águas profundas para uma região de águas rasas, sendo as frentes de onda paralelas à linha de separação das duas partes. As distâncias AC e BD são percorridas num mesmo intervalo de tempo Dt, a primeira com velocidade v 1 e a segunda com velocidade v. Como são movimentos uniformes, podemos escrever: AC = v 1 Dt e BD = v Dt 8 Visto de cima, podemos representar, por linhas, as cristas de onda e a linha grossa que separa a região profunda da região rasa. Como sena = AC e senb = DC BC BC tem-se: sena senb = AC v = 1 Dt ou simplificando DC v Dt sena senb = v 1 v ; e como a = i e b = r (ângulos de lados perpendiculares entre si), temos: sen i sen r = v 1 v. EM_V_FIS_016 Lembrando-se da definição de índice de refração relativo, temos: sen i sen r = v 1 v = n 1 n = l 1 l Relação entre índice de refração e l Construindo um gráfico n x l, teremos as curvas abaixo: Luz branca Difração de ondas Definimos a difração de uma onda como a mudança da sua direção de propagação ao passar por um orifício, fenda ou obstáculo de pequenas dimensões; vamos observar os esquemas abaixo, que mostram uma onda senoidal se propagando num tanque de água. Todas as radiações, no vácuo, apresentam n = 1. Nos meios materiais, nota-se que cada radiação tem o seu próprio índice de refração, como pode ser visto na tabela a seguir, que mostra os diferentes índices de refração de um vidro para as sete radiações clássicas. radiação l (Å) n vermelho de a ,414 alaranjado de a ,50 amarelo de a ,590 verde de a ,60 azul de a ,680 anil de a ,701 violeta de a ,73 Marcamos as cristas das ondas com pontos cheios e com pontos vazados, os vales; vamos, agora, observar esse fenômeno de cima: as linhas cheias representam as cristas e as linhas pontilhadas representam os vales. EM_V_FIS_016 Como pode-se notar, as radiações de menor comprimento de onda apresentam maior índice de refração; isso significa que, ao passar do ar 1) para o vidro, a radiação vermelha sofre um desvio menor que a radiação violeta. Possivelmente todos já viram esse efeito num prisma: quando incidimos luz branca sobre um prisma de vidro, em função dos diferentes índices de refração para as radiações que compõem a luz branca, elas são separadas em ordem decrescente de seus comprimentos de onda. Se essas ondas incidirem
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