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  Particle Physics 1 Lecture notes for the first year master course onthe electroweak part of the Standard ModelNikhef - autumn 2017 Wouter Hulsbergen, Marcel Merk, Ivo van Vulpen  Contents Preliminaries iIntroduction 1 i.1 Quantum fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1i.2 The Yukawa interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4i.3 Feynman diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7i.4 The Standard Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9i.5 Units in particle physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12i.6 Four-vector notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1 Wave Equations and Anti-Particles 17 1.1 Particle-wave duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 The Schr¨odinger equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3 The Klein-Gordon equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4 Interpretation of negative energy solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.1 Dirac’s interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.2 Pauli-Weisskopf interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.3 Feynman-St¨uckelberg interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 Perturbation Theory and Fermi’s Golden Rule 31 2.1 Decay and scattering observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Non-relativistic scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3 Relativistic scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.1 Normalisation of the Wave Function . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.2 Density of states and phase space factor . . . . . . . . . . . . . . 402.3.3 The Flux Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3.4 Golden rules for cross-section and decay . . . . . . . . . . . . . . 43Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3 The Electromagnetic Field 47 3.1 The Maxwell Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Gauge transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3 The photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50i  ii  CONTENTS  3.4 Electrodynamics in quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.5 The Aharanov-Bohm E ff  ect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4 Electromagnetic Scattering of Spinless Particles 59 4.1 Electromagnetic current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2 Coulomb scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3 Spinless  π − K   Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.4 Form factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.5 Particles and Anti-Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5 The Dirac Equation 71 5.1 Spin, spinors and the gyromagnetic ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2 The Dirac equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.3 Covariant form of the Dirac equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.4 Dirac algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.5 Adjoint spinors and current density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.6 Bilinear covariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.7 Solutions to the Dirac Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.7.1 Plane waves solutions with  p  = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.7.2 Plane wave solutions for  p 6 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.8 Antiparticle spinors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.9 Normalization of the wave function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.10 The completeness relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.11 Helicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.12 Charge current and anti-particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.13 The charge conjugation operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6 Spin-1/2 Electrodynamics 93 6.1 Feynman rules for fermion scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.2 Electron-muon scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.3 Crossing: the process e − e + → µ  − µ  + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.4 Summary of QED Feynman rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 7 The Weak Interaction 107 7.1 Lifetimes and couplings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.2 The 4-point interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.3 Parity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.4 Covariance of the wave equations under parity . . . . . . . . . . . . . . . 1137.5 The  V   − A  interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.6 The propagator of the weak interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.7 Muon decay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117  CONTENTS   iii7.8 Quark mixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 8 Local Gauge Invariance 127 8.1 Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278.2 The principle of least action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288.3 Lagrangian density for fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298.4 Global phase invariance and Noether’s theorem . . . . . . . . . . . . . . 1318.5 Local phase invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.6 Application to the Dirac Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1338.7 Yang-Mills theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.8 Historical interlude 1: isospin, QCD and weak isospin . . . . . . . . . . . 1388.9 Historical interlude 2: the origin of the name “gauge theory” . . . . . . . 139Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 9 Electroweak Theory 143 9.1 SU(2) symmetry for left-handed douplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1449.2 The Charged Current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1469.3 The Neutral Current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1489.4 Couplings for  Z   → ff   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519.5 The mass of the  W   and  Z   bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 10 The Process  e − e + → µ  − µ  + 157 10.1 Helicity conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15710.2 The cross section of e − e + → µ  − µ  + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15810.2.1 Photon contribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15910.2.2  Z  0 contribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16210.2.3 Correcting for the finite width of the  Z  0 . . . . . . . . . . . . . . 16310.2.4 Total unpolarized cross-section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16410.3 Near the resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16510.4 The forward-backward asymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16710.5 The  Z  0 decay width and the number of light neutrinos . . . . . . . . . . 168Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 11 Symmetry breaking 173 11.1 Problems in the Electroweak Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17311.2 A few basics on Lagrangians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17511.3 Simple example of symmetry breaking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17611.3.1  µ 2 >  0 : Free particle with additional interactions . . . . . . . . . 17611.3.2  µ 2 <  0 : Introducing a particle with imaginary mass ? . . . . . . . 17711.4 Breaking a global symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17811.4.1  µ 2 >  0  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17811.4.2  µ 2 <  0  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17911.5 Breaking a local gauge invariant symmetry: the Higgs mechanism . . . . 180

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Sep 22, 2019
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