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  Universidade Federal de Goi´asInstituto de Matem´atica e Estat´ıstica Lista 1 1 - ´Algebra Linear - 2019.2 Quest˜ao 1. Sejam : A  =  2 1 01 2 1  , B  =  0 0 26 4 2  , e  C   =  3 2 00 1 0  matrizes em  M  2 × 3 ( R ) 2 . Calcule 3( A − 12 B ) + C  . Quest˜ao 2. Determine e matriz  X   ∈ M  2 × 3 ( R ) tal que12( X   + A ) = 3( X   + ( B − A )) − C  , sendo  A ,  B e  C   as matrizes da Quest˜ao 1. Quest˜ao 3. Dadas as matrizes reais 1 × 3,  A  = [1 0 0], B  = [0 1 0] e  C   = [0 0 1], determine as matrizes X  ,  Y   e  Z   de  M  1 × 3 ( R ) tais que:  2 X   −  Y   +  Z   =  AX   −  2 Y   +  Z   =  B 3 X   +  Y   −  Z   =  C . Quest˜ao 4. Dadas as matrizes  A  e  B  abaixo, determine osprodutos  AB  e  BA : A  =  2 11 00 1  , B  =  1 0 10 1 1  . Quest˜ao 5. Para cada  α ∈ R , consideramos a matriz: T  α  =  cos α  − sin α sin α  cos α  . (a)  Mostre que  T  α T  β  =  T  α + β ; (b)  Calcule  T  − α . Quest˜ao 6. Uma matriz quadrada  A  se diz  sim´etrica   se A T  =  A  e  anti-sim´etrica   se  A T  = − A . (a)  Mostre que a soma de duas matrizessim´etricas tamb´em ´e sim´etrica, e que omesmo vale para matrizesanti-sim´etricas. (b)  O produto de duas matrizes sim´etricasde ordem  n  ´e uma matriz sim´etrica? 1 Lista elaborada pela profa. Ana Paula Chaves - IME. 2 Matrizes com entradas em  R .  Quest˜ao 7. Determine todas as matrizes que comutam coma matriz A  =  1 10 0  , ou seja, todas as matrizes  X   ∈ M  2 × 2 ( R ) taisque  AX   =  XA . Quest˜ao 8. Dada a matriz, A  =  2 11 1  , encontre uma matriz  X   ∈ M  2 × 2 ( R ), tal que AX   =  I  2  =  1 00 1  . Quest˜ao 9. Suponha que temos um sistema de duasequa¸c˜oes em duas vari´aveis. (a)  O que vocˆe pode dizer sobre o conjuntosolu¸c˜ao deste sistema? (b)  Dˆe uma interpreta¸c˜ao geom´etrica para asua resposta do item  (a) . Quest˜ao 10. Indique se as matrizes abaixo est˜ao na suaforma escalonada reduzida ou n˜ao. (a)  1 0 30 1  − 2  ; (b)  1 1 30 0 1  ; (c)  1 0 1  − 10 1 0  − 20 0 1  − 3  ; Quest˜ao 11. Nos itens abaixo, determine quando cadasistema de equa¸c˜oes lineares  (i)  tem uma ´unicasolu¸c˜ao,  (ii)  tem infinitas solu¸c˜oes, ou  (ii)  n˜aopossui solu¸c˜ao. Quando existirem, exiba oconjunto solu¸c˜ao. (a)  2 x  + 4 y  + 6 z   = 223 x  + 8 y  + 5 z   = 27 − x  +  y  + 2 z   = 2; (b)  −  x 2  +  x 3  = 24 x 1  −  3 x 2  + 2 x 3  = 163 x 1  + 2 x 2  +  x 3  = 11; (c)  2 a  +  b  −  2 z   = 4 a  + 3 b  −  z   =  − 33 a  + 4 b  −  z   = 7; (d)  x 1  −  x 2  + 3 x 3  = 14 x 1  +  x 2  +  x 3  = 6 − 2 x 1  −  x 2  +  x 3  =  − 4 .
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