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Econometria I-Modelo de RegressãoRegress˜Regressão M ´ ultipla 2018.3 1. Faça os exercícios do Wooldridge, capítulo 3. Estudo dirigido 2. (a) Quais são as propriedades algébricas do MQO em uma regressão múltipla? (b) Em um modelo de regressão
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  Econometria I - Modelo de Regress˜ao M´ultipla 2018.3 1. Fa¸ca os exerc´ıcios do Wooldridge, cap´ıtulo 3. Estudo dirigido 2. (a) Quais s˜ao as propriedades alg´ebricas do MQO em uma regress˜ao m´ultipla? (b) Em um modelo de regress˜ao m´ultipla, o que o  R 2 representa?(c) Se eu estiver em d´uvida entre dois modelos, com mesma vari´avel dependente, eu devo sempre preferiro modelo com maior  R 2 ?(d)  R 2 baixo ´e necessariamente ruim? Justifique.(e) Por que o  R 2 nunca diminui quando inclu´ımos uma nova vari´avel no modelo?(f) Explique o procedimento de estima¸c˜ao em dois est´agios (Frisch-Waugh). Considere uma regress˜ao simples de y em  x 1  e outra regress˜ao de y em  x 1 ,x 2 . Em quais condi¸c˜oes a estimativa do coeficienteda vari´avel  x 1  ser˜ao iguais nos dois modelos?(g) Quais s˜ao as hip´oteses para ausˆencia de vi´es, em um modelo de regress˜ao m´ultipla? (h) O que ´e omiss˜ao de vari´aveis relevantes?(i) O que ´e inclus˜ao de vari´aveis irrelevantes?(j) O que ´e multicolinearidade?(k) Como podemos analisar o sinal do vi´es dos estimadores se n˜ao conhecemos o verdadeiro parˆametro?(l) Enuncie o Teorema de Gauss-Markov e explique, em termos simples, o que ele representa. Obten¸c˜ao dos estimadores 3. Para as matrizes X, a seguir, obtenha a matriz X’X e observe seus elementos. Em particular, qual ´e oelemento da primeira linha, primeira coluna? E como s˜ao os elementos da diagonal?(a)   1  x 11 1  x 21  (b) ⎛⎜⎝ 1  x 11 1  x 21 1  x 31 ⎞⎟⎠ (c) ⎛⎜⎜⎜⎝ 1  x 11 1  x 21 1  x 31 1  x 41 ⎞⎟⎟⎟⎠ (d)   1  x 11  x 12 1  x 21  x 22  (e) ⎛⎜⎝ 1  x 11  x 12 1  x 21  x 22 1  x 31  x 32 ⎞⎟⎠  Econometria I Modelo de Regress˜ao M´ultipla - P´agina 2 de 3 2018.3 4. Considere os seguintes dados:y  x 1  x 2 1 1 23 2 18 3 -3Com base nesses dados, estime os coeficientes das seguintes regress˜oes:(a)  y i  =  α 0  + α 1 x i 1  + u i 1 (b)  y i  =  λ 0  + λ 2 x i 2  + u i 2 (c)  y i  =  β  0  + β  1 x i 1  + β  2 x i 2  + u i 5. Estime o seguinte modelo usando abordagem matricial, apresente a regress˜ao estimada e interprete oscoeficientes do modelo: y i  =  β  0  + β  1 x i 1  + β  2 x i 2  + ε i em que  y ,  x 1  e  x 2  est˜ao dados na tabela a seguir:indiv´ıduo y  x 1  x 2 1 4 -10 22 1 0 -33 2 50 44 4 10 0 Deriva¸c˜oes 6. Suponha que o modelo verdeiro seja  y i  =  β  0  +  β  1 x i 1  +  β  2 x i 2  +  u i , mas o modelo estimado tenha sidoˆ y i  =  ˆ α 0  +  ˆ α 1 x i 1 . Derive o vi´es de vari´avel omitida e discuta os sinais do vi´es em cada cen´ario poss´ıvel.7. Suponha que o modelo verdeiro seja  y i  =  β  0  +  β  1 x i 1  +  u i , mas o modelo estimado tenha sido ˆ y i  = ˆ α 0 + ˆ α 1 x i 1 + ˆ α 1 x i 2 . A inclus˜ao da vari´avel irrelevante afeta o vi´es dos estimadores? Discuta, apresentandoas hip´oteses. Propriedades estat´ısticas 8. (anpec 2005) Determinada popula¸c˜ao segue o modelo  y  =  2 + 4 x − 5 z  + u , em que  u   ´e o termo de erroaleat´orio e  E  ( u  x,z ) =  E  ( u ) =  0. Um pesquisador, usando uma amostra com n indiv´ıduos, estimouos parˆametros desse modelo em uma regress˜ao que omitiu a vari´avel  z  . Ou seja, estimou o modeloˆ y  =  ˆ α 0  +  ˆ α 1 x . Suponha que, para a amostra desse pesquisador: ∑ i ( z i  −  ¯ z )( x i  −  ¯ x )∑ i ( x i  −  ¯ x ) 2  =  0 , 7¯ x  =  1 n n  i = 1 x i  e ¯ z  =  1 n n  i = 1 z i Obtenha  E  (  ˆ α 1  x ) .  Econometria I Modelo de Regress˜ao M´ultipla - P´agina 3 de 3 2018.3 Verdadeiro ou falso 9. A respeito do modelo de regress˜ao m´ultipla: y i  =  β  0  + β  1 x i 1  + β  2 x i 2  + e i , i  =  1 ,...,n em que  e i  tem m´edia zero e variˆancia  σ 2 , s˜ao corretas as afirmativas.(a) (anpec 2010) Suponha que  β  0 ,β  1 ,β  2  sejam estimados por MQO. Denote por ˆ y i  o valor previsto daregress˜ao para a i-´esima observa¸c˜ao. Ent˜ao,  ∑ ni = 1  ˆ y i  = ∑ ni = 1 y i .(b) (anpec 2010) Suponha exogeneidade estrita das explicativas. O modelo ´e estimado em dois est´agios:primeiro, uma regress˜ao de y em  x 1 , salvando-se o res´ıduos ( e 1 ); segundo, uma regress˜ao de  e 1  em x 2 . A estimativa do coeficiente angular da segunda regress˜ao ser´a igual `a estimativa de  β  2  naregress˜ao m´ultipla.(c) (anpec 2005) A omiss˜ao da vari´avel explicativa relevante,  x 2 , para explicar a vari´avel dependente, y , torna os estimadores dos coeficientes  β  0  e  β  1 , enviesadas se, e somente se, a vari´avel omitida  x 2 for correlacionada com a vari´avel inclu´ıda,  x 1 .(d) (anpec 2010) Se  β  2  =  0 e incluirmos  x 2  na regress˜ao, o estimador de MQO de  β  1  ser´a enviesado.(e) Seja c uma constante diferente de zero. Defina ˜ y i  =  cy i , ˜ x i 1  =  cx i 1 , ˜ x i 2  =  cx i 2 . Os estimadores dem´ınimos quadrados ordin´arios em uma regress˜ao de ˜ y i  contra ˜ x i 1  e ˜ x i 2  coincidem com os estimadoresde MQO em uma regress˜ao de  y i  contra  x i 1  e  x i 2 .10. A respeito do modelo de regress˜ao m´ultipla: y  =  β  0  + β  1 x 1  + β  2 x 2  + β  3 x 3  + e cujos parˆametros tenham sido estimados pelo m´etodo dos M´ınimos Quadrados Ordin´arios, com umaamostra aleat´oria, julgue as afirmativas:(a) (anpec 2008) Se  E  ( u  x 1 ,x 2 ,x 3 ) =  0 e o modelo n˜ao ´e perfeitamente colinear, ent˜ao, os estimadoress˜ao n˜ao enviesados.(b) (anpec 2008) Se  R 2 =  1, ent˜ao,  y  ´e uma combina¸c˜ao linear de  x 1 ,x 2 ,x 3 .(c) Se o modelo satisfaz as hip´oteses do teorema de Gauss-Markov, ent˜ao, ˆ β  1  ´e o estimador linear n˜aoenviesado de  β  1  com menor variˆancia poss´ıvel.(d) Se omitirmos  x 3  da regress˜ao, os estimadores de  β  0 ,β  1 ,β  2  podem ser enviesados.11. Considere o modelo de regress˜ao linear m´ultipla para dados de corte transversal: y i  =  β  0  + β  1 x i 1  + β  2 x i 2  + ⋅ ⋅ ⋅ + β  k x ik  + u i , i  =  1 ,...,n Julgue verdadeiro ou falso:(a) (anpec 2004) Para que os estimadores de m´ınimos quadrados sejam lineares n˜ao tendenciosos demenor variˆancia (BLUE) ´e necess´ario que os erros sejam homoced´asticos. (b) (anpec 2004) A hip´otese que  V ar ( u i  x i 1 ,x i 2 ,...,x ik ) =  σ 2 , i  =  1 ,...,n , ´e necess´aria para que osestimadores de m´ınimos quadrados sejam n˜ao tendenciosos.(c) (anpec 2004, adaptado) Se  Cov ( x i 1 ,x i 3 ) ≠  0,  i  =  1 ,...,n , os estimadores de MQO para a regress˜ao y i  =  β  0  + β  1 x i 1  + β  2 x i 2  + β  4 x i 4  + ⋅ ⋅ ⋅ + β  k x ik  + u i , i  =  1 ,...,n  n˜ao ser˜ao enviesados.(d) Uma hip´otese necess´aria para que as estimativas dos parˆametros sejam n˜ao enviesadas ´e a variˆancia do erro n˜ao ser constante.(e) (anpec 2006) Se  E  ( u ) ≠  0, os estimadores de todos os parˆametros, com exce¸c˜ao do intercepto, ser˜ao enviesados.(f) (anpec 2005) A presen¸ca de colinearidade imperfeita entre as vari´aveis explicativas gera estimadoresenviesados.(g) (anpec 2007) Heterocedasticidade ocorre quando o erro aleat´orio em um modelo de regress˜ao ´ecorrelacionado com uma das vari´aveis explicativas(h) Na presen¸ca de heterocedasticidade, estimadores de MQO s˜ao ineficientes.(i) (anpec 2007) Na presen¸ca de heterocedasticidade, estimadores de MQO s˜ao n˜ao enviesados.
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