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Apostila planejamento

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  • 1. Capitulo 1- Introdução Praticamente em todas as áreas do conhecimentos o uso da estatística emespecial das técnicas de planejamento de experimentos são imprecendiveis para astomadas de decisão visando a avaliação de novos procedimentos ou a otimização deprocessos e produtos. Segundo Montegomery(2001), um experimento planejado é um teste, ou série detestes, no qual são feitas mudanças propositais nas variáveis de entrada de um processo,de modo a podermos observar e identificar mudanças correspondentes na resposta desaída. Figura 1.1: Modelo geral de um processo O processo, como mostra a Figura 1, pode ser visualizado como umacombinação de máquinas, métodos e pessoas, que transforma um material de entradaem um produto de saída. Este produto de saída pode ter uma ou mais características daqualidade observáveis ou respostas. Algumas das variáveis do processo x1 , x 2 ,  , x psão controláveis, enquanto outras, z1 , z 2 ,  , z q são não-controláveis(embora possamser controláveis para efeito de teste). Algumas vezes, esses fatores não-controláveis sãochamados fatores de ruído. Os objetivos do experimento podem incluir 1. Determinação de quais variáveis são mais influentes na resposta y . 2. Determinação do valor a ser atribuído aos x ’s influentes de modo que y esteja perto da exigência nominal. 3. Determinação do valor a ser atribuído aos x ’s influentes de modo que a variabilidade em y seja pequena. 4. Determinação do valor a ser atribuído aos x ’s influentes de modo que os efeitos das variáveis não-controláveis sejam minimizados. Assim, métodos de planejamento experimental podem ser usados tanto nodesenvolvimento do processo quanto na solução de problemas do processo, paramelhorar o seu desempenho ou obter um processo que seja robusto ou não-sensível afontes externas de variabilidade. 1
  • 2. Aplicação dos Planejamentos Experimentais na Industria são fundamentais paradesenvolvimento de novos produtos e para o controle de processos. Nesta área é comumaparecer problemas em que se precisa estudar várias propriedades ao mesmo tempo eestas, por sua vez, são afetadas por um grande número de fatores experimentais. È papelde técnicas de planejamento de experimentos, auxiliar na fabricação de produtos commelhores características, na diminuição do seu tempo de desenvolvimento, aumentar aprodutividade de processos e minimizar a sensibilidade a fatores externos (NETO et al.,2001). A análise de dados para os modelos de planejamento de experimentos ficapraticamente inviabilizada sem o uso de softwares específicos. Neste material éapresentado as possíbilidades de análise de dados para modelos de planejamento pelosoftware R. O software R, que é uma linguagem e ambiente para computação estatística egráfica de domínio público (VENABLES e SMITH, 2001), atualmente muito difundidonos grandes centros, contudo pouco conhecido em Goiás. Este software pode ser umaótima alternativa para o trabalho com Análise de Experimentos, pois, tem apresentadoigual ou superior eficiência para análise de dados, além de haver material disponível nainternet e listas de discussão que servem como guia de suporte e aprendizagem. Nesta apostila serão apresentados um resumo dos principais modelos deplanejamento de experimentos, dentre os quais destacamos: Planejamentocompletamente aleatorizado com único fator, Planejamento completamente aleatorizadocom blocos, Planejamento Fatoriais e Planejamentos Hierarquicos e para cada modeloapresentou-se a sequencia de comandos em R para a análise estatística dos modelos, quegeram os resultados finais como o Quadro da ANOVA, as Comparações Multiplas e aAnálise de Resíduos. 2
  • 3. Capítulo 2- Elementos Básicos da Experimenta-ção Segundo Werkema & Aguiar (1996), para se realizar de forma eficiente umexperimento, deve-se ser utilizada uma abordagem científica para o planejamento.Esta abordagem é identificada por meio do termo planejamento estatístico deexperimentos, que se refere ao procedimento de planejar um experimento de forma queos dados apropriados sejam coletados em tempo e custo mínimos. A análise destesdados por meio de técnicas estatísticas resultará em conclusões confiáveis. Portanto existem dois aspectos fundamentais em qualquer estudo experimental:o planejamento do experimento e a análise estatística dos dados. Estes dois aspectosdevem ser bem avaliados, já que a técnica de análise depende diretamente doplanejamento utilizado. Um dos grande problemas dos estudos experimentais é a coleta de dados. Se osdados forem coletados de forma inadequada, não há técnica estatística de análise dedados que concerte o problema e todo o experimento fica comprometido.2.1 Princípios Básicos Para que seja possível planejar de modo adequado a coleta de dados, princípiosbásicos do planejamento de experimentos como a réplica, a aleatorização e a formaçãode blocos devem ser entendidos.2.1.1- Réplicas As réplicas são repetições do experimento feitas sob as mesmas condiçõesexperimentais. O termo “sob as mesmas condições experimentais” se refere ao fato deque os demais fatores que possam influenciar a variável resposta de interesse sejamcontrolados de modo a não sofrerem variações de uma experimentação para outra. Em um experimento, a realização de réplicas é importante pelos seguintesmotivos: • As réplicas permitem a obtenção de uma estimativa da variabilidade devida ao erro experimental. A partir desta estimativa é possível avaliar se a variabilidade presente nos dados é devida somente ao erro experimental ou se existe influência das diferentes condições avaliadas pelo pesquisador. Se estas condições forem influentes, o responsável pela pesquisa poderá determinar qual é a condição mais favoravel para conduzir o experimento. • Por meio da escolha adequada do número de réplicas é possível detectar, com precisão desejada, quaisquer efeitos produzidos pelas diferentes condições experimentais que sejam considerados significantes do ponto de vista prático.2.1.2- Aleatorização A expressão aleatorização se refere ao fato de que tanto a alocação do materialexperimental às diversas condições de experimentação, quanto a ordem segundo a qualos ensaios individuais do experimento serão realizados, são determinados ao acaso. Aaleatorização torna possível a plicação dos métodos estatísticos para a análise dos 3
  • 4. dados. A maioria dos modelos subjacentes e estes métodos estatísticos exigem que oscomponentes do erro experimental sejam variáveis aleatórias independentes e aaleatorização geralmente torna válida esta exigência. A aleatorização permite ainda que os efeitos de fatores não-controlados, queafetam a variável resposta e que podem estar presentes durante a realização doexperimento, sejam balanceados entre todas as possíveis medidas. Este balanceamentoevita possíveis confundimentos na avaliação dos resultados devido à atuação destesfatores.2.1.3- Formação de Blocos Em muitas situações experimentais é necessário planejar o experimento deforma que a variabilidade resultante de fatores externos conhecidos, sobre os quais nãoexiste interesse, possa ser sistematicamente controlada e avaliada. Se estes fatores externos não forem controlados, mesmo usando a aleatorização,o erro experimental irá refletir tanto o erro aleatório inerente ao experimento, quanto avariabilidade existente em função desses fatores. Nesta situação, deve-se formar blocos para os varios fatores externos deinfluência, e realizar repetições completas do experimento em cada bloco, dessa formaem cada bloco poderão ser observadas as diferenças existentes devido ao fator deinteresse, minimizando assim o efeito dos fatores pertubadores no resultado final doexperimento. Aqui cada bloco corresponde a um corpo de prova. Note que o objetivoprincipal do experimento não é medir o efeito destes fatores pertubadores, mas simavaliar com maior eficiência os efeitos dos fatores de interesse. Assim de forma genérica podemos definir que blocos são conjuntoshomogêneos de unidades experimentais.2.1.4- Terminologia BásicaNa terminologia básica para um planejamento de experimentos, destaca-se: • Unidade experimental: É a unidade básica para a qual será feita a medida da resposta. • Fatores: São as variáveis cuja influência sobre a variável resposta está sendo estudada no experimento. • Niveis de um Fator: Os diferentes modos de presença de um fator no estudo considerado são denominados níveis do fator. • Tratamento: As combinações específicas dos níveis de diferentes fatores são denominadas tratamentos. Quando há apenas um fator, os níveis deste fator correspondem aos tratamentos. • Ensaio: Cada realização do experimento em uma determinada condição de interesse(tratamento) é denominada ensaio, isto é, um ensaio corresponde a aplicação de um tratamento a uma unidade experimental. • Variável Resposta: O resultado de interesse registrado após a realização de um ensaio é denominado variável resposta. 4
  • 5. Vamos considerar um exemplo apresentado em Werkema & Aguiar (1996) para ilustrarmelhor os princípios básicos do planejamento de experimentos:Exemplo 2.1- Suponha que um engenheiro esteja interessado em estudar o efeitoproduzido por três diferentes banhos(meios) de têmpera: têmpera em água, em óleo eem solução aqüosa de cloreto de sódio (água salgada) na dureza de um determinado tipode aço. Aqui o propósito era determinar qual banho de têmpera produziria a durezamáxima do aço. Com este objetivo ele decidiu submeter um determinado número deamostras da liga, que denominaremos corpos de prova, a cada meio de têmpera e aseguir mediu a dureza da liga.Vamos ilustrar a aplicação dos princípios do planejamento neste problema.Réplica: Neste caso uma réplica do experimento completo consiste em medir a durezade um corpo de prova submetido à têmpera em água, de um segundo corpo de provasubmetido à têmpera em óleo e de um terceiro temperado em solução de cloreto desódio.Isto é, realizar uma réplica do experimento completo significa coletar umaobservação da variável resposta em cada condição experimental considerada no estudo.Portanto, se seis corpos de prova são temperados em cada banho (água, óleo e águasalgada), sendo feita a seguir a medida da dureza de cada um destes corpos de prova,dizemos que foram realizadas seis réplicas do experimento(sendo realizados dessaforma 6x3=18 ensaios).Aleatorização: Neste experimento a aleatorização deve-se fazer presente peladistribuição ao acaso dos corpos de prova entre os banhos de têmpera. Esteprocedimento atenua por exemplo situações onde a espessura dos corpos de prova sãoligeiramente diferentes, assim de todas as amostras com espessura maior foramsubmetidas a um mesmo banho de têmpera este provavelmente estará em situaçãovantajosa e os resultados do experimento estarão tendenciosos.Blocos: Supor que os corpos de prova são provenientes de corridas diferentes ( oumatérias primas diferentes), se planejarmos um experimento onde estes corpos de provasejam distribuídos ao acaso entre os diferentes banhos de têmpera, as diferenças entre oscorpos de prova irão acrescentar uma variabilidade adicional às medidas de dureza, oque poderá mascarar os efeitos devidos ao fator de interesse (banho de têmpera). Paraeliminar do erro experimental a variabilidade devida ao fato de os corpos de provaterem sido produzidos em corridas diferentes, deve-se realizar o experimento daseguinte maneira: cada corpo de prova será dividido em três partes iguais, sendo cadaparte submetida a um diferente banho de têmpera. Deste modo, dentro de cada ternoformado pelas três partes de um mesmo corpo de prova, a influência devida àscaracterísticas particulares de cada corpo de prova deverá ocorrer de formaaproximadamente igual para cada um dos banhos de têmpera.Dentro da terminologia básica temos que:Unidade Experimental: Corpo de prova do aço utilizado no estudo.Fatores: Banhos de têmpera. 5
  • 6. Níveis do Fator: água, água salgada e óleoEnsaio: Cada ensaio consiste em tratar um corpo de prova em um determinado banhode têmpera.Variável Resposta: É a dureza do corpo de prova medida após a realização da têmpera.2.1.5- Roteiro para a Realização de um Bom Experimento. Para usar a abordagem estatística no planejamento e na análise de umexperimento é necessário que as pessoas envolvidas na experimentação tenham,antecipadamente, uma idéia clara do que será estudado e da forma como os dados serãocoletados. Também é recomendado que se tenha uma idéia qualitativa de como os dadosserão analisados. Um roteiro para a realização de um bom experimento é apresentado aseguir: 1. Reconhecimento e relato do problema. Na prática, geralmente é difícil perceber que existe um problema que exige experimentos planejados formais, de maneira que não pode ser fácil obter-se um relato claro de problema que é aceito por todos. No entanto é de primordial importância desenvolver todas as idéias do problema e definir de forma clara os objetivos específicos do experimento. 2. Escolha dos fatores e dos níveis. Devem ser escolhidos os fatores que devem variar, os intervalos sobre os quais esses fatores variarão e os níveis específicos nos quais cada rodada será feita. Exige-se conhecimento do processo para fazer isso, esse conhecimento em geral é uma combinação de experiência prática e conhecimento teórico. É importante a investigação de todos os fatores que possam ser importantes e evitar ser excessivamente influenciado pela experiência passada. 3. Escolha da variável resposta: Na escolha da variável resposta, o experimentador deve ter certeza de que aquela variável realmente fornece informação útil sobre o processo em estudo e a capacidade de medida dessa variável. Se a capacidade do medidor é baixa, então apenas grandes efeitos dos fatores serão detectados pelo experimento, ou será necessário muitas réplicas. 4. Escolha do planejamento experimental. A escolha do planejamento envolve consideração sobre o tamanho da amostra(número de replicações), seleção de uma ordem adequada de rodadas para as tentativas experimentais, ou se a formação de blocos ou outras restrições de aleatorização estão envolvidas. 5. Realização do experimento. Quanto da realização do experimento, é de vital importância monitorar o processo, para garantir que tudo esteja sendo feito de acordo com o planejamento. Erros no procedimento experimental nessa etapa, em geral comprometem a validade do experimento. 6. Análise dos dados. Métodos estatísticos devem ser usados para analisar os dados, de modo que os resultados e conclusões sejam objetivos e não de opinião. Se o experimento foi planejado corretamente o método estatístico para análise não será um problema. A análise de resíduos e a verificação da validade do modelo são importantes e devem ser feitas. 7. Conclusões e recomendações. Uma vez analisados os dados, o experimento deve acarretar conclusões práticas sobre os resultados e recomendar um curso de ação. Deve-se auxiliar de métodos gráficos, particularmente na apresentação dos resultados para outras pessoas. Seqüências de acompanhamento e testes de 6
  • 7. confirmação devem ser também realizados para validar as conclusões do experimento.2.2 – Exercícios do Capítulo 1. Planeje um experimento para comparar quatro drogas no alívio de cefaléias, supondo que você dispõe de um conjunto de pacientes similares. 2. Planeje um experimento para comparar três fórmulas de adubação no crescimento de Pinus, supondo que você dispõe de um terreno heterogêneo que deve ser dividido em cinco blocos e que em cada bloco podem ser alocadas nove parcelas. 3. Planeje um experimento para comparar dois testes de inteligência tomando cada criança como um bloco. 4. Planeje um experimento para comparar o desempenho(tempo de realização da tarefa) de três máquinas empacotadeiras, dispondo de 5 operadores. 7
  • 8. Capítulo 3 - Planejamento Completamente Alea-torizado com Único Fator. Para a comparação de dois tratamentos( duas populações) vindos de populaçõesnormais, utiliza-se em o teste t-student, desde que as suposições sejam válidas. Paracomparação de mais de dois tratamentos não é muito recomendado sua utilização, vistoque serão necessárias várias comparações, o que acaretará um aumento no erro tipo I.Essa situação é ilutrada em Montegomery (2001). O problema para a comparação de k tratamentos por meio de ensaiosrealizados em ordem aleatória é descrito abaixo. Consideremos que existem k diferentes níveis (tratamentos de um único fator)que queremos comparar. A resposta para cada um dos k tratamentos é uma variávelaleatória. A ilustração da disposição dos dados é ilustrado na Tabela abaixo:Tabela 3.1: Esquema da disposição de dados para Experimento Aleatorizado com Fator Único. Tratamento Observações Totais Médias 1 y11 y12  y1n y1. y1. 2 y 21 y 22  y2n y 2. y 2.        k y k1 y k 2  y kn yk. yk. y .. y.. Aqui y ij representa a j ª - ésima observação feita sob o i ª-ésimo tratamento.Neste caso estamos considerando a situação em que há um número igual deobservações, n , em cada tratamento.3.1 – Modelo Estatístico Cada observação y ij na Tabela 3.1, pode ser descrita pelo seguinte modeloestatístico linear, y ij = µ + τ i + ε ij , (3.1)com i =1,2,..., k e j =1,2,..., n .Aqui,y ij : é uma v.a. denotando a (ij)ª obeservação;µ : é a média geral, comum a todos os tratamentos; 8
  • 9. τ i : é o efeito do i-ésimo tratamento;εij : é a componente do erro aleatório.Supondo que ε ij ~ N (0; σ ) , ou seja, os erros são independentes e normalmente 2distribuidos com média zero e variância σ 2 . Dessa forma, cada tratamento pode serpensado como uma população normal com média µ i = µ + τ i e variância σ 2 , ou seja, y ij ~ N ( µi ; σ 2 ) .Assim, vamos apresentar o procedimento para testar a igualdade das k médiaspopulacionais. Esse modelo de análise de variância é chamado de efeitos fixos. Osefeitos dos tratamentos τi são definidos, em geral, como desvios da média geral µ , demodo que ∑i =1τ i = 0 kRepresentando, y i . , o total das observações sob o i-ésimo tratamento e por y i . amédia das observações sob o i-ésimo tratamento, analogamente, y.. o total geral e y.. amédia geral, n y i.y i. = ∑ y ij y i. = , i =1,2,..., k . i =1 n k n y..y.. = ∑∑ y ij y.. = , N = kn “ Número total de observações” i =1 j =1 NEstamos interessados em testar a igualdade das médias µ , µ2 ,..., µk dos k 1tratamentos. Pela equação 3.1, este procedimento é equivalente a testar as hipóteses: H o : τ1 = τ 2 = ... = τ k = 0 (3.2) H 1 : τ i ≠ 0 para pelo menos um i.Dessa forma se H o é verdadeira, cada observação consiste de uma média geral µmais uma realização da componente do erro aleatório εij . Assim se H o é verdadeira amudança dos níveis do fator (tratamentos) não tem qualquer efeito sobre a respostamédia. A análise de variância particiona a variabilidade total na amostra de dados emduas partes então o teste proposto em (3.2) é baseado na comparação de duasestimativas independentes da variância populacional.A variabilidade total dos dados é dada a partir da soma de quadrados totais SQT = ∑∑ ( y ij − y.. ) k n 2 (3.3) i =1 j =1Mas pode-se particionar SQT de forma que: 9
  • 10. ∑∑ ( y − y.. ) = n∑ ( y i. − y.. ) 2 + ∑∑ ( y ij − y i. ) k n k k n 2 2 ij i =1 j =1 i =1 i =1 j =1 (3.4)Demonstração: Ver Montogomery 2001.A relação em (3.4), mostra que a variabilidade total nos dados, medida pela soma dequadrados total, pode ser particionada em uma soma de quadrados das diferenças entreas médias dos tratamentos e a média geral, e na soma de quadrados das diferenças entreas observações dentro de cada tratamento e a média do respectivo tratamento.Diferenças entre médias de tratamentos observadas e a média geral quantificamdiferenças entre tratamentos, enquanto diferenças das observações dentro de umtratamento e a média do tratamento podem ser devidas apenas a um erro aleatório.Dessa forma, reescrevemos (3.4) como SQT = SQTrat + SQE , onde:SQT = ∑∑ ( y ij − y.. ) : k n 2 Soma dos quadrados total. i =1 j =1 kSQTrat = n∑ ( y i. − y.. ) : Soma dos quadrad
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