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1. Probabilidade e Estatística II Prof Marcos Cruz – 2011-I 2. Motivação para Aplicação em Engenharia de Controle <ul><li>Estimação de estados a…
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  • 1. Probabilidade e Estatística II Prof Marcos Cruz – 2011-I
  • 2. Motivação para Aplicação em Engenharia de Controle <ul><li>Estimação de estados a partir de medidas; </li></ul><ul><li>Medidas incertas – sujeitas a ruído; </li></ul><ul><li>Distúrbios  Perturbações na forma de ruído; </li></ul><ul><li>Processos Estocásticos; </li></ul>
  • 3. Motivação para Aplicação em Engenharia de Controle <ul><li>Estimação de estados a partir de medidas; </li></ul><ul><ul><li>o que são ‘ estados ’? Em uma modelagem de sistemas chamada de ‘ espaço de estados ’ adotada em uma área de conhecimento da Engenharia de Controle chamada de ‘ controle moderno ’, ‘ estado ’ – falando muito livremente – é uma variável que representa armazenamento de energia; </li></ul></ul>
  • 4. Motivação para Aplicação em Engenharia de Controle <ul><li>Estimação de estados a partir de medidas; </li></ul><ul><ul><li>o que são ‘ estados ’? Formalmente, pode ser definido (OGATA): “o estado de um sistema é uma coleção de um número mínimo de variáveis em um sistema x1(t),x2(t),...,xn(t), representada pelo vetor , cujo valor (em t = t0) juntamente com a entrada u(t) dada por t  t0 é suficiente para determinar o comportamento do sistema para todo o tempo futuro t  t0.” </li></ul></ul>
  • 5. Motivação para Aplicação em Engenharia de Controle <ul><li>Estimação de estados a partir de medidas; </li></ul><ul><ul><li>Por que ‘estimação’ e não ‘cálculo’? Porque o processo não é determinístico, não dá para calcular com segurança. O processo é estocástico porque as medidas são incertas, sujeitas a ruídos que mascaram as leituras. Estes ‘ruídos’ são gaussianos, ou têm distribuição normal, que será vista mais a frente nesta cadeira; </li></ul></ul>
  • 6. Motivação para Aplicação em Engenharia de Controle <ul><li>Processos Estocásticos; </li></ul><ul><li>o tratamento realístico desses processos (sistemas físicos, econômicos, biológicos, etc.), requer a incorporação explicita de incertezas; </li></ul><ul><li>Essas incertezas podem ser resultantes de, por exemplo,flutuações (p.ex., atmosféricas, variações na bolsa de valores), demanda aleatória, ruídos em sistemas de comunicações, falhas durante operação, etc. </li></ul>
  • 7. Exemplo <ul><li>Detecção de Radar; </li></ul><ul><li>Para a figura ao lado, se tem um alvo presente (1 no eixo x), o mais provável é retornar de 6 a 14 ecos (pings); </li></ul>
  • 8. Exemplo <ul><li>Detecção de Radar; </li></ul><ul><li>Para a figura ao lado, se não tem um alvo presente (0 no eixo x), o mais provável é retornar de 9 ecos (pings) para baixo; </li></ul>
  • 9. Exemplo <ul><li>Detecção de Radar; </li></ul><ul><li>Em um modelo determinístico, retornariam tantos pings quanto os emitidos se alvo presente e retornariam zero se alvo ausente; </li></ul>
  • 10. Exemplo <ul><li>Um sistema de radar tem a seguinte função de distribuição de probabilidades condicionais: </li></ul><ul><li>p nada = 10 -2 [04 07 11 12 17 16 13 09 06 04 01 00 00] </li></ul><ul><li>p algo = 10 -2 [00 00 02 06 08 10 15 15 15 13 09 05 02] </li></ul><ul><li>X1: evento ‘alvo não visível’; X2: evento ‘alvo visível’ </li></ul><ul><li>Yi: evento ‘radar retorna i pings’ </li></ul>
  • 11. Exemplo <ul><li>Probabilidades condicionais: P(Yi  X1) = p i nada e P(Yi  X2) = p i algo </li></ul><ul><li>Defina uma regra de classificação de evento (‘alvo presente’ ou ‘alvo ausente’) e calcule a probabilidade de erro associada; </li></ul><ul><li>Se a regra for: até 7 pings detectados (inclusive) aceita X1, caso contrário, aceita X2 , qual a probabilidade de erro associada à regra? </li></ul><ul><li>Dados: p* = 10 -2 [1 ping 2 pings .... 13 pings] P(X1) a priori é 0,6 e P(X2) a priori é 0,4. </li></ul>
  • 12. Exemplo - Solução <ul><li>Se a regra é: ‘até 7 pings – inclusive – aceita que alvo não visível; </li></ul><ul><li>Erro acontece se: </li></ul><ul><ul><li>mais de 7 pings e alvo não visível </li></ul></ul><ul><ul><li>+ </li></ul></ul><ul><ul><li>até 7 pings inclusive e alvo visível </li></ul></ul>
  • 13. Exemplo - Solução <ul><li>Erro acontece se: </li></ul><ul><ul><li>mais de 7 pings e alvo não visível </li></ul></ul><ul><ul><li>+ </li></ul></ul><ul><ul><li>até 7 pings inclusive e alvo visível </li></ul></ul><ul><li> [p nada de 8 pings em diante] x 0,6 </li></ul><ul><li>+ </li></ul><ul><li> [p algo de 1 a 7 pings] x 0,4 </li></ul>
  • 14. Exemplo - Solução <ul><li> [p nada de 8 pings em diante] x 0,6 significa </li></ul><ul><li>qual é a probabilidade (conceito de probabilidade condicional) de se receber mais de 8 pings (  ) dado que efetivamente não tem um alvo visível (0,6); </li></ul>
  • 15. Exemplo - Solução <ul><li> [p algo de 1 a 7 pings] x 0,4 significa </li></ul><ul><li>qual é a probabilidade (conceito de probabilidade condicional) de se receber até 7 pings (  ) dado que efetivamente não tem um alvo visível (0,4); </li></ul>
  • 16. Exemplo - Solução <ul><li> [p nada de 8 pings em diante] x 0,6 </li></ul><ul><li>p nada = 10 -2 [04 07 11 12 17 16 13 09 06 04 01 00 00 ] </li></ul><ul><li>09+06+04+01 = 0,20 x 0,6 = 0,12 </li></ul><ul><li> [p algo de 1 a 7 pings] x 0,4 </li></ul><ul><li>p algo = 10 -2 [ 00 00 02 06 08 10 15 15 15 13 09 05 02] </li></ul><ul><li>02+06+08+10+15 = 041 x 0,4 = 0,164 </li></ul><ul><li>0,120 + 0,164 = 0,284 </li></ul>
  • 17. Exercício <ul><li>Exemplo de estimação; </li></ul><ul><li>Dois dados: </li></ul><ul><ul><li>Evento A: soma maior que 5; </li></ul></ul><ul><ul><li>Evento B: o primeiro é maior que 3; </li></ul></ul><ul><li>Medindo B (uma quantidade aleatória), obtemos informação sobre A (outra quantidade aleatória); </li></ul><ul><li>Qual a P(A lB)? </li></ul>
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