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  Solutionbank C2 Edexcel Modular Mathematics for AS and A-Level Differentiation Exercise A, Question 1 Question: Find the values of  x   for which f(  x  ) is an increasing function, given that f(  x  ) equals: (a) 3  x  2 +8  x  +2 (b) 4  x  −3  x  2  (c) 5−8  x  −2  x  2  (d) 2  x  3 −15  x  2 +36  x   (e) 3+3  x  −3  x  2 +  x  3  (f) 5  x  3 +12  x   (g)  x  4 +2  x  2  (h)  x  4 −8  x  3   Solution: (a) f(  x  )=3  x  2 +8  x  +2 f   ′ (  x  )=6  x  +8 f   ′ (  x  )>0 ⇒  6  x  +8>0 So  x  > i.e.  x  > (b) f(  x  )=4  x  −3  x  2  f   ′ (  x  )=4−6  x   f   ′ (  x  )>0 ⇒  4−6  x  >0 So 4>6  x   i.e. 6  x  <4  x  <  x  < (c) f(  x  )=5−8  x  −2  x  2  f   ′ (  x  )=−8−4  x   f   ′ (  x  )>0 ⇒  −8−4  x  >0 So −8>4  x   (add 4  x   to both sides) i.e. 4  x  <−8  x  <−2 (d) f(  x  )=2  x  3 −15  x  2 +36  x   f   ′ (  x  )=6  x  2 −30  x  +36 −86−434623 Page 1 of 2Heinemann Solutionbank: Core Maths 2 C23/10/2013file://C:\Users\Buba\kaz\ouba\C2_9_A_1.html  © Pearson Education Ltd 2008 f   ′ (  x  )>0 ⇒  6  x  2 −30  x  +36>0 So 6(  x  2 −5  x  +6)>0 i.e. 6(  x  −2)(  x  −3)>0 By considering the 3 regions Then  x  <2 or  x  >3 (e) f(  x  )=3+3  x  −3  x  2 +  x  3  f   ′ (  x  )=3−6  x  +3  x  2  f   ′ (  x  )>0 ⇒  3−6  x  +3  x  2 >0 So 3(  x  2 −2  x  +1)>0 i.e. 3(  x  −1) 2 >0 So  x  ∈ ℝ   ,  x   ≠ 1 (f) f(  x  )=5  x  3 +12  x   f   ′ (  x  )=15  x  2 +12 f   ′ (  x  )>0 ⇒  15  x  2 +12>0 This is true for all real values of  x  . So  x  ∈ ℝ    (g) f(  x  )=  x  4 +2  x  2  f   ′ (  x  )=4  x  3 +4  x   f   ′ (  x  )>0 ⇒  4  x  3 +4  x  >0 So 4  x  (  x  2 +1)>0 As  x  2 +1>0 for all  x  ,  x  >0 (h) f(  x  )=  x  4 −8  x  3  f   ′ (  x  )=4  x  3 −24  x  2  f   ′ (  x  )>0 ⇒  4  x  3 −24  x  2 >0 So 4  x  2 (  x  −6)>0 As  x  2 >0 for all  x  ,  x  −6>0 So  x  >6  x   < 22 <  x   < 3  x   > 36(  x   – 2)(  x   – 3)+ve–ve+vePage 2 of 2Heinemann Solutionbank: Core Maths 2 C23/10/2013file://C:\Users\Buba\kaz\ouba\C2_9_A_1.html  Solutionbank C2 Edexcel Modular Mathematics for AS and A-Level Differentiation Exercise A, Question 2 Question: Find the values of  x   for which f(  x  ) is a decreasing function, given that f(  x  ) equals: (a)  x  2 −9  x   (b) 5  x  −  x  2  (c) 4−2  x  −  x  2  (d) 2  x  3 −3  x  2 −12  x   (e) 1−27  x  +  x  3  (f)  x  + (g)  x    +9  x  − (h)  x  2 (  x  +3) 25  x  1212 Solution: (a) f(  x  )=  x  2 −9  x   f   ′ (  x  )=2  x  −9 f   ′ (  x  )<0 ⇒  2  x  −9<0 So 2  x  <9 i.e.  x  <4.5 (b) f(  x  )=5  x  −  x  2  f   ′ (  x  )=5−2  x   f   ′ (  x  )<0 ⇒  5−2  x  <0 So 5<2  x   i.e. 2  x  >5  x  >2.5 (c) f(  x  )=4−2  x  −  x  2  f   ′ (  x  )=−2−2  x   f   ′ (  x  )<0 ⇒  −2−2  x  <0 So −2<2  x   i.e. 2  x  >−2  x  >−1 (d) f(  x  )=2  x  3 −3  x  2 −12  x   f   ′ (  x  )=6  x  2 −6  x  −12 f   ′ (  x  )<0 ⇒  6  x  2 −6  x  −12<0 So 6(  x  2 −  x  −2)<0 i.e. 6(  x  −2)(  x  +1)<0 By considering the 3 regions  x  <−1, −1<  x  <2,  x  >2 determine −1<  x  <2 Page 1 of 2Heinemann Solutionbank: Core Maths 2 C23/10/2013file://C:\Users\Buba\kaz\ouba\C2_9_A_2.html  © Pearson Education Ltd 2008 (e) f(  x  )=1−27  x  +  x  3  f   ′ (  x  )=−27+3  x  2  f   ′ (  x  )<0 ⇒  −27+3  x  2 <0 So 3  x  2 <27 i.e.  x  2 <9 −3<  x  <3 (f) f  x   =  x  + f   ′    x   =1− f   ′    x   <0 ⇒  1− <0 So 1< Multiply both sides by  x  2 :   x  2 <25 −5<  x  <5 (g) f  x   =  x    +9  x  − f   ′    x   =  x  − −9×  x  − f   ′    x   <0 ⇒    x  − −  x  − <0 So  x  −9 <0  x  >0 or the function is not defined So 0<  x  <9 (h) f(  x  )=  x  3 +3  x  2  f   ′ (  x  )=3  x  2 +6  x   f   ′ (  x  )<0 ⇒  3  x  2 +6  x  <0 So 3  x  (  x  +2)<0 Consider the regions  x  <−2, −2<  x  <0 and  x  >0 to give −2<  x  <0            25  x             25  x  2            25  x  2 25  x  2            1212            12 12 12 32            12 12 92 32  x  − 32 2                  Page 2 of 2Heinemann Solutionbank: Core Maths 2 C23/10/2013file://C:\Users\Buba\kaz\ouba\C2_9_A_2.html

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