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Cálculo Fracionário e o Sistema de Lotka-Volterra

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Cálculo Fracionário e o Sistema de Lotka-Volterra Rubens F. Camargo Departamento de Matemática - Imecc - Unicamp 8-97, Campinas, SP Edmundo C. Oliveira, Francisco A. M. Gomes,
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Cálculo Fracionário e o Sistema de Lotka-Volterra Rubens F. Camargo Departamento de Matemática - Imecc - Unicamp 8-97, Campinas, SP Edmundo C. Oliveira, Francisco A. M. Gomes, Departamento de Matemática Aplicada - Imecc - Unicamp 8-97, Campinas, SP Resumo Este artigo propõe uma generalização para o sistema de Lotka-Volterra utilizando derivadas de ordem não inteira. O principal objetivo desta generalização é refinar a descrição do fenômeno de maneira análoga à que foi feita em recentes trabalhos envolvendo fenômenos de viscoelasticidade de fluidos, como por exemplo o sangue humano. O modelo clássico que descreve as interações entre presa e predador, o conhecido sistema de Lotka-Volterra, com duas derivadas de ordem inteira, é discutido e, usando uma técnica de linearização, uma solução é obtida nos termos dos parâmetros constantes. Além disso, uma solução para o assim chamado sistema de Lotka-Volterra fracionário, que é um sistema de duas equações diferenciais fracionárias não lineares, com derivadas de ordem menor que um, é obtida nos termos da função de Mittag-Leffler, através do uso da metodologia da transformada de Laplace associada com a técnica de linearização. Introdução O desenvolvimento do cálculo fracionário é praticamente tão antigo quanto o do cálculo usual, com derivadas de ordem inteira. Contudo, ele também pode ser considerado uma teoria nova, uma vez que, somente se tornou objeto de congressos específicos nos últimos trinta anos. Provavelmente, devido à série de definições não equivalentes para a derivada de ordem fracionária e a uma interpretação geométrica não evidente, a teoria não tem sido utilizada em grande escala. De acordo com a definição de Riemann-Liouville, a derivada fracionária de uma função, é a derivada de ordem inteira da integral fracionária da função de tal forma que a lei dos expoentes faça sentido [9, ]. Embora esta seja a definição mais conhecida e utilizada, ela possui dois grandes inconvenientes. O primeiro é que a derivada de uma constante não é nula e, desta forma, não pode ser interpretada com sendo uma taxa de variação. A segunda é que a transformada de Laplace desta derivada depende de condições que não possuem interpretação física (até o momento). Com o intuito de evitar estes problemas, Caputo [6] desenvolveu outra definição para a derivada fracionária, obtida através da definição de Riemann-Liouville, trocando a ordem da derivada de ordem inteira com a da derivada de ordem fracionária. Esta mudança, aparentemente sutil, traz consigo a solução para os dois inconvenientes advindos da definição de Riemann-Liouville, isto é, utilizando a definição de Caputo a derivada de uma constante é nula e a transformada de Laplace da mesma depende de condições que são fisicamente interpretáveis. Por estas razões, a definição de Caputo parece ser mais apropriada para o estudo de equações diferenciais de ordem fracionária. Nos últimos anos, o interesse no estudo do cálculo fracionário tem aumentado consideravelmente, uma vez que a teoria permite um refinamento na descrição de fenômenos envolvendo mecânica dos fluidos, redes elétricas, probabilidade e biomatemática [7, 9]. Pode-se citar, como exemplo, o artigo [], no qual é desenvolvida uma generalização para um sistema de viscoelasticidade utilizando derivadas fracionárias, e os livros [, ]. Por outro lado, o sistema de Lotka-Volterra é composto por um par de equações diferenciais que descrevem a dinâmica predador-presa em seu caso mais simples (uma única população de cada tipo). Este sistema foi desenvolvido independentemente por Alfred Lotka e Vito Volterra por volta de 9, e é caracterizado por oscilações em ambas as populações, sendo que o ápice da população de predadores ocorre logo após o ápice da população de presas. Este modelo apresenta severas restrições []: ) a população de presas cresce exponencialmente na ausência de predadores; ) a população de predadores morre de fome na ausência da presa (ao invés de buscar novas espécies de presa); ) predadores podem consumir uma quantidade indefinida de presas e ) não há complexidade ambiental (em outras palavras, ambas as populações se movem aleatoriamente em um meio homogêneo). Neste trabalho, uma generalização para o modelo de Lotka-Volterra é proposta, utilizando derivadas de ordem não inteira no sentido de Caputo. O objetivo desta generalização é compensar as simplificações anteriormente citadas. O artigo está disposto da seguinte maneira. Na Seção a função de Mittag-Leffler de dois parâmetros é introduzida como uma possível generalização para a função exponencial; na Seção apresentamos a derivada fracionária segundo Caputo; na Seção o conceito de equação diferencial fracionária é apresentado e discutido; na Seção recordamos o modelo de Lotka-Volterra; na Seção 5 apresentamos e resolvemos a generalização do sistema predador-presa, bem como apresentamos um exemplo numérico. Finalmente, na Seção 6 apresentamos nossas conclusções. Função de Mittag-Leffler de dois parâmetros A função de Mittag-Leffler de dois parâmetros é definida através da seguinte série: E α,β (x) = k= x k Γ(kα + β), () com α e β positivos. Quando β = temos a definição da função de Mittag-Leffler dependendo de um parâmetro, isto é E α (x) = E α, (x). Note que, para α = β =, podemos escrever E, (x) = exp (x). Como neste trabalho nosso objetivo é resolver equações diferenciais fracionárias, estamos interessados apenas na transformada de Laplace das funções de Mittag-Leffler. Para maiores detalhes e relações envolvendo esta importante função consulte [7, 8]. A fim de calcular a transformada de Laplace das funções de Mittag-Leffler, calculamos inicialmente a transformada de (s α ±a) utilizando uma expansão em torno s = ± e a técnica da divisão longa [5], de onde podemos escrever L [E α ( at α )] = s [ s α s α ± a ] = sα s α ± a, na qual a/s α . Para a respectiva transformada inversa temos [ ] s L α s α = E α ( at α ) ± a com α . De maneira análoga, para a função de Mittag-Leffler com dois parâmetros podemos escrever [ ] L t β E α,β ( at α ) = sα β s α ± a e para a transformada inversa [ ] s L α β s α = t β E α,β ( at α ), ± a para a/s α . Derivadas Fracionárias Apesar de existirem várias definições não equivalentes para a derivada fracionária, possível razão pela qual a teoria não tem sido utilizada em larga escala, inúmeros importantes resultados e generalizações foram obtidos graças ao cálculo fracionário. Por considerar que a definição da derivada fracionária segundo Caputo é a mais adequada quando estamos estudando uma equação diferencial de ordem fracionária, esta é a única das definições não equivalentes Utilizamos também o seguinte resultado [, ]:» t α L =» L = tα Γ(α) s α s α Γ(α), na qual denota o par de transformadas de Laplace. que apresentamos aqui. Outras definições e uma análise mais detalhada de cada uma delas pode ser encontrada em []. Segundo Caputo, a derivada fracionária, de ordem α pode ser definida da seguinte maneira (ver [6]) ad α t f(t) = t f (n) (ξ) Γ(n α) a (t ξ) α+ ndξ, com n α n. Para α = n, com n =,,,..., temos a definição usual da derivada. Deste ponto em diante vamos considerar que o limite inferior a é nulo, ou seja, vamos desconsiderar as denominadas integrais de memória [, 6]. A fórmula para a transformada de Laplace da derivada fracionária de Caputo de ordem α é dada por e st [D α t f(t)] = sα F(s) n s α k f (k) (), k= na qual F(s) é a transformada de Laplace de f(t). Note que a transformada de Laplace da derivada fracionária segundo Caputo depende de condições dadas em termos de derivadas de ordem inteira, que são fisicamente interpretáveis, o mesmo não ocorrendo com a definição mais conhecida (Riemann-Liouville). Além disso, ao contrário do que ocorre com a derivada segundo Riemann-Liouville, segundo Caputo, a derivada fracionária de uma constante é nula []. Estas são as principais justificativas para a utilização da formulação de Caputo neste trabalho. Equações Diferenciais Fracionárias O modelo numérico que implementamos, associado ao sistema fracionário de Lotka-Volterra, discutido na Seção 5, é baseado na linearização do sistema que conduz a equações diferenciais Na referência [] é utilizada a notação C a D α t f(t) para designar a derivada no sentido de Caputo. Neste trabalho omitimos a letra C uma vez que a definição de Caputo será a única considerada aqui, além disso, omitimos a letra a, que neste trabalho será sempre zero. fracionárias do tipo: d α αx(t) = Ax(t) + f(t), () na qual A é uma constante e f(t) é uma função contínua. O objetivo desta seção é discutir a equação acima no caso em que temos a condição inicial x() = x. Para resolver a equação (), utilizamos a metodologia da transformada de Laplace, i.e., multiplicamos ambos os lados da equação por exp( st) e tomamos a integral de zero a infinito. Utilizando este procedimento, associado ao resultado da equação () com n =, α (,], obtemos s α F(s) s α x() = AF(s) + e sξ f(ξ)dξ na qual F(s) é a transformada de Laplace de x(t). Utilizando a condição inicial, podemos escrever F(s) = x s α s α A + s α e sξ f(ξ)dξ. A () Note que conduzimos o problema inicial em outro problema cuja solução é dada pela equação anterior. Para obter a solução para o problema de partida, procedemos com a inversão. Para tanto, multiplicamos a equação () por exp(st) e utilizamos um contorno do tipo Bromwich no plano complexo [], logo L [F(s)] onde [ = L x s α ] s α A [ + L s α A + ] e sξ f(ξ)dξ L [F(s)] x(t) = e st F(s)ds πi Γ e Γ é um contorno do tipo Bromwich. Utilizando a técnica da divisão longa [5] e o teorema de convolução associado à transformada de Laplace inversa [], podemos escrever x(t) = x E α (At α ) + + t (t ξ) α E α,α [A(t ξ) α ]f(ξ)dξ, na qual E α,α (x) é a função de Mittag-Leffler definida na Seção. Sistema de Lotka-Volterra Sejam a, b, c e d constantes positivas. Sendo x = x(t) e = (t), temos que o modelo proposto por Lotka-Volterra para descrever o sistema presa-predador é dado por dx = x(a b) d = (c xd). () Este é um sistema quase linear que apresenta dois pontos críticos, P(,) e Q(c/d,a/b). O primeiro é um ponto de sela e não será analisado aqui. Neste artigo, nossas análises se baseiam no ponto Q, visto que ele representa o equilíbrio da coexistência entre presa e predador. Nosso objetivo é verificar a estabilidade deste ponto. Introduzindo as mudanças de variável u = x c/d e v = a/b, transladamos o ponto crítico Q para o ponto R(,), associado ao sistema nas variáveis u e v. du dv = b (vc + uvd) d = d (ua + uvb). b É um resultado bastante conhecido que o sistema linearizado correspondente, isto é, sem os termos que envolvem o produto uv, tem elipses centradas no ponto crítico como trajetórias, as assim chamadas trajetórias linearizadas. Para encontrar diretamente as trajetórias a partir do sistema nas variáveis x e, basta dividir a segunda equação do sistema () pela primeira, de onde podemos escrever d dx = c xd x a b Resolvendo a equação separável acima obtemos f(x,) cln x xd + aln b = K, na qual K é uma constante de integração. As trajetórias definidas pelo sistema são as curvas de nível da função f(x,). O ponto R não deve ser confundido com o ponto P, associado ao sistema nas variáveis x e. Para maiores detalhes veja []. 5 Sistema de Lotka-Volterra Fracionário Discutimos agora a solução do sistema predador-presa generalizado, D α t x α tαx = ax bx (5) D β t β t β = c + dx com x = x(t), = (t), α,β, a, b, c e d constantes positivas e as derivadas fracionárias tomadas no sentido de Caputo [6]. Neste sistema não linear x(t) e (t) denotam, respectivamente, o número de indivíduos da população de presas e de predadores em um determinado instante t. A dimensão efetiva D do sistema anterior é definida como a soma das ordens das equações, i.e., D = α + β. Como já mencionamos anteriormente, este tipo de generalização de sistemas dinâmicos via derivadas fracionárias tem várias aplicações, como, por exemplo, a modelagem de fenômenos relacionados à viscoelasticidade de fluidos como o sangue humano []. Utilizando um procedimento análogo ao da Seção anterior, introduzimos as seguintes variáveis x(t) = u(t) + c d e (t) = v(t) + a b. Utilizando a definição de Caputo para a derivada fracionária, podemos escrever para o correspondente sistema linearizado associado D α t u(t) = bc d v(t) D β t v(t) = ad b u(t). (6) Para resolver este sistema fracionário linearizado, consideramos a transformada de Laplace nas duas equações duferenciais, logo e F(s) = u() s α+β s α+β + ac v() bc d s β s α+β + ac (7) s α s α+β ad G(s) = v() s α+β + u() + ac b s α+β + ac (8) onde u() e v() são as populações iniciais de presas e predadores, respectivamente, bem como introduzimos a notação para as transformadas de Laplace F(s) = L[u(t)] and G(s) = L[v(t)]. Introduzindo u() = u e v() = v e calculando as transformadas de Laplace inversas, conforme Seção, podemos escrever para a solução e u(t) = u E α+β ( act α+β ) (9) v bc d tα E α+β,α+ ( act α+β ) v(t) = v E α+β ( act α+β ) + () u ad b tβ E α+β,β+ ( act α+β ) onde E µ (x) e E µ,ν (x) são as funções de Mittag- Leffler com um e dois parâmetros, respectivamente, conforme apresentadas na Seção. 5. Exemplos Numéricos A fim de ilustrar o resultado anteriormente obtido, apresentamos exemplos numéricos considerando um sistema presa-predador na forma (5), com a =, b = /, c = e d = /. Além disso, consideramos as seguintes condições iniciais, x() = e () = 5. A Figura mostra as curvas obtidas utilizando as equações () e () para resolver o sistema linearizado. Cada curva corresponde a uma combinação particular de valores dos parâmetros α e β, que definem as derivadas fracionárias de x(t) e (t), respectivamente. Estas curvas mostram como α e β interferem na convergência do ponto crítico Q(, /). Para α = β =, a curva é uma elipse centrada em Q. Conforme reduzimos α+β, a convergência para Q é acelerada. Note que foram obtidas curvas similares para os pares (α =.9, β =.9) e (α =, β =.8), bem como para (α =.8, β =.8) e (α =, β =.6). Os resultados obtidos fixando-se β = e variando α são bastante similares aos obtidos ao fixar α = e variar beta, razão pela qual não foram aqui incluídos. - (a) α =, β =. - (b) α =.9, β =.9. - (c) α =.8, β =.8. - (d) α =.6, β =.6. - (e) α =, β =.9. - (f) α =, β =.8. - (g) α =, β =.6. - (h) α =, β =.. Figura : Curvas obtidas para diferentes valores de α e β. Eixos em escala de :. 6 Conclusões Referências Em um recente trabalho, Grigorenko- Grigorenko [] introduziram uma generalização para o sistema dinâmico de Lorentz utilizando derivadas fracionárias no sentido de Caputo. Em um outro recente trabalho, Kumar e Agrawal [5] propuseram um modelo numérico para a solução de uma equação diferencial fracionária de ordem maior que um, reduzindo a equação em uma equação integral do tipo Volterra, também utilizando derivadas no sentido de Caputo. Outro modelo baseado no modelo presa-predador de Adams é discutido por Diethelm, Ford e Freed em [8]. Destacamos três artigos nos quais são desenvolvidos algoritmos numéricos para obter a solução de equações diferenciais fracionárias, um deles associado à endolinfa [9] e outros dois associados a sistemas dinâmicos [5, 6]. Outro artigo envolvendo a decomposição de Adomian pode ser encontrado em []. No presente artigo, foi proposta uma modelagem de sistemas dinâmicos utilizando derivadas fracionárias, isto é, apresentamos o sistema de Lotka-Volterra fracionário, objetivando refinar o modelo presa-predador clássico. Resolvemos o problema através da metodologia da transformada de Laplace associada à técnica de linearização e obtivemos uma solução analítica em termos das funções de Mittag-Leffler e sem calcular as assim chamadas integrais de memória. Além disso, como uma aplicação, apresentamos um exemplo numérico. Em futuras publicações serão discutidas soluções para este tipo de sistema dinâmico utilizando a metodologia das funções de Green [] e a aplicação de métodos numéricos diretamente ao problema não linear []. Agradecimentos Gostaríamos de agradecer ao professor F. Mainardi por ter nos fornecido as referências [7, 8]. E. Capelas de Oliveira e R. Figueiredo Camargo também são gratos, respectivamente, à FAPESP (6/575-6) e ao CNPq, por fornecerem suporte financeiro. [] A. S. Ackleh, D. F. Marshall and H. E. Heatherl, Extinction in a Generalized Lotka- Volterra Predador-Pre Model, J. Appl. Math. Stoch. Anal.,, 87-97, (). [] R. L. Bagle and P. J. Torvik, A Theoretical Basis for the Application of Fractional Calculus to Viscoelasticit, J. Rheol., 7, -, (98). [] E. Capelas de Oliveira, The Green s Function and the Lotka-Volterra Sstem, (7). [] E. Capelas de Oliveira and W. A. Rodrigues Jr., Funções Analíticas com Aplicações, Editora Livraria da Física, São Paulo, (5). [5] E. 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Submetido à Publicação (7). [] R. Gorenflo and F. Mainardi, Fractional Calculus: Integral and Differential Equations of Fractional Order, CISM Lecture Notes, -76, (). [] I. Grigorenko and E. Grigorenko, Chaotic Dnamics of the Fractional Lorentz Sstem, Phs. Rev. Lett., 9 () and Erratum, Phs. Rev. Lett., 96, 999 (6). [] A. A. Kilbas, H. M. Srivastava and J. J. Trujillo, Theor and Applications of Fractional Differential Equations, North- Holland Mathematics Studies, Vol., Edited b Jan van Mill, (6). [5] P. Kumar and O. P. Agrawal, Numerical Scheme for the Solution of Fractional Differential Equations of Order Greater Than One, J. Comput. Nonlinear Dnamics,, 78-85, (6). Method, Trans. of the ASME, 7, 9-95, (5). [] S. G. Samko, A. A. Kilbas and O. I. Marichev, Fractional Integral and Derivatives, Theor and Applications, Gordon and Breach, Amsterdam, (99). [] G. B. Thurston, Viscoelasticit of Human Blood, Biophs. J.,, 5-7, (97). [5] C. Trinks and P. 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