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calculo iv lista de exercicios _______________________________

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    Aluno _______________________________ Representação computacional da molécula DNA (ácido desoxirribonucléico). Esta estrutura contém todas as instruções herdadas necessárias para o desenvolvimento de um organismo vivo. Em 1953 James Watson e Francis Crick mostraram que a estrutura desta molécula é de duas hélices circulares   paralelas interligadas.   1 1. Determine uma representação  paramétrica  da reta que passa pelo ponto   0 ,2 ,1 A   , na direção do vetor v5i2j5k        . 2. Determine uma parametrização da reta representada pela interseção dos planos:  4 x y4 z  y5 x2 . 3. Encontrar uma equação vetorial para as seguintes curvas: a) 4 z  ,4 y x 22    .  b) 32  x z  , x2 y     . c)   2 z  ,10 y1 x2 22    . d)  x y e z  ,e x     . e) 03 y5 x2 y x 22  . 4. Determine uma equação vetorial da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados: a)            0 , 1 , P t  sen2 , t cost r  o   .  b)            34 , 3 , 1 , P t 4 , t  sen2 , t cos2t r  o    . c)             23o rttitj, P4, 8    . d)       0 , t 2t 3 ,  , eet r  ot 3t 3     . 5. Determine o(s) ponto(s) em que a curva           22 rtt1it1j3tk        intercepta o plano de equação 07  z  y2 x3   . 6. Determine o comprimento de arco das seguintes curvas: a)             rt3costi4costj5sentk,0t2      .  b)            t 0 , t 5 ,t 3 sen , t 3cost r   . c)                rtcostilncostjsentk,0t4       . d)        t t, f t r     , onde    f:a,b    tem derivada contínua. e)   3t 1 ,t  y ,t  x 23    .   2 7. Enrola-se um pedaço de arame em forma de uma hélice circular         , bt t  sen , at cosat r      com cm3  de raio e cm20  de altura. Determine o comprimento do arame se ele contém 6   voltas completas. 8. Reparametrizar as curvas abaixo pelo comprimento de arco: a)         , t t  sen , t cost     , (hélice).  b)         t12ti38tj4tk        , (reta). c)        1 , t  sen4 , t cos4t     , (circunferência). d)      0t e2 ,  , ee1t  t t t    ,  . 9. Verifique se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco: a)   0 , t 7 6 t  , 7 t t r         .  b)     0 , t  , t 2 , t 1t 2t r     . c)                cbt  , ct  sen , act cosat r   , onde 222 bac   . 10. Responda: a)  Ache os vetores unitários T   (tangente), N   (normal), B   (binormal) à curva parametrizada por         , bt t  sen , at cosat r      (hélice). b)  Determine o vetor tangente unitário ao gráfico de         rttcost, tsent, t      no ponto   2 , 2 , 0 P    . 11. Determine a equação do  plano osculador   às curvas abaixo nos pontos indicados: a)     32  , t t, t t  f     , em 1t    .  b)       , t 1 , e1et  g  t t    , em   0 ,0 ,2 . 12. Responda: a)  Encontre a curvatura da parábola        2 rtt, t,t    . Em que ponto a curvatura é máxima? b)  Encontre a curvatura da função  xy12,x0   , no ponto    P3,4 . c)  Determine a curvatura da hélice         rtacost, asent, bt   .   3 13. Mostre que a curvatura da circunferência            2 , 0 , t t  sen , r t cosr t  f    é constante e igual a   0r  ,r t k  1      . 14. Responda: a)  Dê exemplo, caso exista , de uma curva parametrizada no espaço, tal que sua curvatura é nula  e representa um movimento circular. b)  Considere a curva            2 , 0 , t t  sen3 , t cos2t r   . i) Esboce o gráfico desta curva; ii) Determine a curvatura *  dela nos extremos dos eixos maior e menor. * Veja o gráfico da função curvatura ao lado   15. Determine a abscissa do ponto em que a exponencial  x e y    tem curvatura máxima? Use um software matemático para traçar o gráfico da função curvatura e confirmar a sua resposta. 16. Mostre  que a reta tangente  à hélice circular de equação         , t t  , sent cost r     , num ponto 0 t   qualquer, faz ângulo constante com o eixo OZ  . Qual o valor deste ângulo? Sugestão:  A fórmula do ângulo   entre dois vetores vu    e  é dada por :   vuvucos        4 Respostas  1.  x15t  y22t,t  z5t       . 2.  xt  y4t,t  z243t      , existem outras. 3. a)            2 ,0t  ,4 , t  sen2 , t cos2t r     .  b)      32  , t t 2t, t r     . c)             2 ,0t  ,2 , t  sen10 , t cos51t r     . d)       0t  , , et lnt, t r  t      . e)       41541rt1cost, sent 222           . Circunferência de centro   1, 52   e raio 412 . 4. a)     qti2tj   .  b)        4qt1t3i3tj4tk 3            . c)       qt44ti812tj      . d)          qt13ti13tj3t2k       . 5.     3 , 2 , 0 6  , 5 , 3 e  6. a) .c.u10    b) .c.u34     c) .u.c2+1ln  d)     b2a 1f't dt       e)   .u.c1313858527  1   . 7. 25814 2   8. a)       2 s , 2 s sen , 2 scos sh    . c)        1 , 4 s sen4 , 4 scos4 sh    .  b)       84 s4 , 84 s83 , 84 s21 sh    . d)         33 s2 , 33 s , 33 s1 sh  . 9. a) sim. b) não. c) sim.
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