Entertainment & Media

de ponto para ponto. Por exemplo, consideremos o seguinte gráfico: (x 2, y 2 ) (x 4, y 4 ) x

Description
.3. Derivadas.3.1. Definição e Interpretação Geométrica Anteriormente já mostrámos como o coeficiente angular de uma recta - declive de uma recta - indica a taa à qual a recta sobe ou desce. para uma recta,
Published
of 32
All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
Related Documents
Share
Transcript
.3. Derivadas.3.1. Definição e Interpretação Geométrica Anteriormente já mostrámos como o coeficiente angular de uma recta - declive de uma recta - indica a taa à qual a recta sobe ou desce. para uma recta, esta taa é a mesma em todos os seus pontos. Para outros gráficos que não rectas, a taa à qual o gráfico sobe ou desce pode variar de ponto para ponto. Por eemplo, consideremos o seguinte gráfico: y ( 3, y 3 ) (, y ) ( 4, y 4 ) ( 1, y 1 ) Podemos observar que a parábola sobe mais rapidamente no ponto ( 1, y 1 ) do que no ponto (, y ). No vértice ( 3, y 3 ) o gráfico deia de subir ou descer, e no ponto ( 4, y 4 ), o gráfico está a descer. Para determinar a taa à qual um gráfico sobe ou desce num determinado ponto, podemos calcular o coeficiente angular da tangente no ponto. Em termos simples, a tangente ao gráfico duma função f num ponto P (, y) é a recta que melhor aproima o gráfico naquele ponto conforme podemos ver pelo gráfico anterior. 1 Assim, o problema da determinação da inclinação de um gráfico num ponto reduz-se ao de achar o coeficiente angular da tangente naquele ponto. Um método para obtermos aproimações de tangentes consiste em fazer uso da recta secante pelo ponto de tangência e por um segundo ponto do gráfico conforme se mostra na figura seguinte: y ( +, f( + )) f( + ) f() (, f()) Se (, f()) é ponto de tangência e (+, f(+ )) é um segundo ponto do gráfico de f, então o coeficiente angular da secante que passa por estes pontos é m sec = f( + ) f() = y onde é a variação de e y é a variação de y. Se aproimarmos cada vez mais o segundo ponto do ponto de tangência, obtemos melhores aproimações do coeficiente angular da tangente como podemos verificar pelos gráficos seguintes: (1) y y y ( +, f( + )) ( +, f( + )) (, f()) y (, f()) y (, f()) Utilizando o processo do limite, podemos determinar o coeficiente angular eacto da tangente em (, f()). Definição 1 A derivada de f no ponto é dada por f f( + ) f() () = lim 0 = lim h 0 f( + h) f() h desde que o limite eista. Uma função é diferenciável em se a sua derivada eiste em. O processo de cálculo de derivadas é chamado diferenciação. () Nota: Eistem várias notações para representar a derivada de uma função. As mais frequentes são: f () = dy d () = y () = d d [f()] f linha de derivada de y y linha de derivada de f() em ordem a em ordem a 3 Eemplo 1. Calcule a derivada de f() = 3. Temos f () = lim h 0 f( + h) f() h [ 3 ( + h) ( + h) ] (3 ) = lim h 0 h = lim h 0 3 ( + h + h ) h 3 + h = lim h h + 3h h 3 + h = lim h 0 6h + 3h h h = lim h 0 h (6 + 3h ) h = lim h 0 (6 + 3h ) = 6 Pelo que a derivada de f() é f () = 6. Eercício 1. Determine a derivada de y em ordem a t para a função y = t. Nota: Não se esqueça que a derivada de uma função dá uma fórmula para determinar o coeficiente angular da tangente em qualquer ponto do gráfico da função. 4 .3.. Continuidade e Derivabilidade Nem toda a função é diferenciável. os gráficos seguintes mostram algumas situações usuais em que uma função não é diferenciável nalgum ponto - tangentes verticais, descontinuidades e alterações bruscas. Os gráficos seguintes mostram funções que são diferenciáveis para todos os valores de ecepto em = 0. y y y = 1/3 y = y y y = y = / Os gráficos anteriores mostram que a continuidade não é uma condição suficientemente forte para garantir a diferenciabilidade. Todas as funções representadas são contínuas em (0, 0) ecepto uma, mas nenhuma é diferenciável na origem. Por outro lado, se uma função é diferenciável num ponto então ela é contínua nesse ponto. 5 Teorema 1 Se uma função é diferenciável em = c, então é contínua nesse ponto. Corolário: Se uma função não é contínua em = c, então não é diferenciável nesse ponto Regras de Derivação Até agora calculámos derivadas utilizando a noção de limite. Um outro processo para calcularmos derivadas é usar regras que nos permitem calcular derivadas sem usar limites directamente: Regras de Derivação Sejam u, v f.r.v.r, c IR e n Z (c) = 0 (c u) = c u (u ± v) = u ± v (u v) = u v + v u ( u v ) = u v v u v ( n u ) = u n n u n 1 (u n ) = n u n 1 u (u v ) = v u v 1 u + (ln v) u v v (ln u) = u u (log a u) = u (ln a) u (e u ) = e u u (a u ) = (ln a) a u u 6 Eemplo. Aplicando as regras da derivação temos: a)(7) = 0 b)( 3 ) = 3 c)(3 ) = 3 ( ) = 3 = 6 d) [ (3) ] = (3) 3 = 18 e) ( 1 ) = ( ) = 3 1 = 3 f) ( ) 1 = = ( ) = 4 3 g) [ ( + 1) 3 ] = ( + 1 ) 3 + ( + 1) ( 3 ) = = 1 3 ( ) + ( + 1) 3 3 = 3 + ( + 1) = = = = Eercício. Calcule o valor das seguintes derivadas: a) ( ) 6 5 b) c) log 10 ( + 6) d) ln 1 + e 1 e 7 Derivadas de Ordem Superior A derivada de f, segunda derivada de f, representa-se por f d d [f ()] = f () A derivada de f, terceira derivada de f, representa-se por f d d [f ()] = f () Continuando este processo, obtemos as derivadas de ordem superior, a derivada f costuma designar-se primeira derivada de f. Eemplo 3. Função Original f() = 4 3 f () = 48 3 a Derivada 1 a Derivada f () = f iv () = 48 4 a Derivada a Derivada f () = 4 6 f v () = 0 5 a Derivada Notação para Derivadas de Ordem Superior 1 a Derivada y f dy d d d [f()] D (y) a Derivada y f d y d n. a Derivada y (n) f (n) d n y d n d d [f()] d n d n[f()] D (y) D n(y) Eercício 3. Calcule f (vi) () sendo f (iv) () = ln 9 8 .3.4. Teoremas da Derivada da Função Composta e da Função Inversa Teorema Se y = f(u) é uma função derivável na variável u, e u = g() é uma função derivável na variável, então y = f(g()) é uma função derivável na variável e tem-se ou equivalentemente dy d = dy du du d (3) d d [f(g()] = f (g()) g () (4) Eemplo 4. y = f(g()) u = g() y = f(u) a) y = u = + 1 y = 1 u b) y = u = y = u Eemplo 5. Para a função y = u 3 com u = + 1 temos dy d = [3u ] u= +1 ( + 1) = 3( + 1) () = 6( + 1) 9 Eercício 4. Uma indústria está a aumentar a sua produção de um artigo à razão de 00 unidades por semana. A função procura semanal admite como modelo a equação p = onde p é o preço unitário e é o número de unidades produzidas numa semana. Calcule a taa de variação da receita relativamente ao tempo, quando a produção semanal é de 000 unidades. Teorema 3 Seja f uma função diferenciável num intervalo I. Se f tem inversa f 1, então f 1 é diferenciável em qualquer para o qual f (f 1 ()) 0 e nesse caso (f 1 ) () = 1 f (f 1 ()), f ((f 1 )()) 0 (5) Eemplo 6. Calcule a derivada da função f() = 3 utilizando o teorema da derivada da função inversa. Determine (f 1 ) (a) sendo f() = 3 4 e a = 6. Resolução: y = 3 = log 3 y Então f () = 1 (f 1 ) (f()) = 1 (f 1 ) (y) = 1 1 y ln 3 = y ln3 = 3 ln 3 = 10 Eemplo 7. Seja f() = a) Qual é o valor de f 1 () quando = 3? b) Qual é o valor de (f 1 ) () quando = 3? Resolução: Atendendo a que f é injectiva, tem inversa a) Como f() = 3 quando =, então f 1 (3) = b) Atendendo ao teorema anterior vem: (f 1 ) 1 (3) = f (f 1 (3)) = 1 f () Então f () = (f 1 ) (3) = 1 3/4 + 1 = Equação da Recta Tangente e da Recta Normal Como sabemos a equação da recta que passa pelo ponto de coordenas ( 0, y 0 ) e tem declive m é y y 0 = m( 0 ) (6) Vimos anteriormente que o declive da recta tangente ao gráfico de uma função f no ponto de coordenadas ( 0, y 0 ). m = f ( 0 )) (7) Então de (6) e (7) vem que a equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de coordenadas ( 0, y 0 ) é y y 0 = f ( 0 )( 0 ) (8) 11 Dado que: a recta normal ao gráfico de f no ponto de coordenadas ( 0, y 0 ) é perpendicular à recta tangente ao gráfico de f nesse ponto rectas perpendiculares têm declives inversos simétricos vem que a equação da recta normal ao gráfico de f no ponto de coordenadas ( 0, y 0 ) é y y 0 = 1 f ( 0 ) ( 0) (9) Eemplo 8. Escreva a equação da recta tangente e da recta normal ao gráfico da função f() = ln (3 + 1) no ponto de abcissa = 1. Resolução: ( 0, y 0 ) = (1, f(1)) = (1, ln 4) f () = f (1) = 6 4 = 3 equação da recta tangente: y ln 4 = 3 ( 1) equação da recta normal: y ln 4 = ( 1) 3 1 .3.6. Aplicações da Derivada Etremos e a Primeira Derivada Nesta secção vamos estudar os pontos em que uma função passa de crescente a decrescente, ou vice-versa. Podemos utilizar a derivada de primeira ordem de uma função para determinar se a função é crescente ou decrescente num intervalo. Teorema 4 Seja f uma função que admite primeira derivada num intervalo aberto I. 1. f () 0, I f é crescente em I.. f () 0, I f é decrescente em I. 3. f () = 0, I f é constante em I. Nos pontos onde, uma função passa de crescente a decrescente, ou vice-versa, a função tem um etremo relativo. Os etremos relativos de uma função incluem os mínimos relativos e os máimos relativos da função. Observando o gráfico que se apresenta abaio podemos constatar este resultado, a função tem dois etremos relativos - o ponto à esquerda é um máimo e o ponto à direita é um mínimo relativo. Estes pontos são pontos onde há alteração de monotonia da função. 13 y máimo relativo f. decrescente f. crescente f. crescente mínimo relativo Se observarmos os gráficos seguintes podemos verificar que em ambos os casos temos um máimo relativo. Esse máimo é obtido em pontos onde f () = 0 ou f () não está definida - pontos críticos. y máimo relativo f (c) = 0 tangente horizontal y máimo relativo f (c) não é definida c c Teorema 5 Se f tem um mínimo relativo ou máimo relativo quando = c, então ou f (c) = 0 ou f (c) não está definida. Desta forma, para sabermos quais os etremos relativos de uma função basta testar os pontos críticos da função. Encontrados estes, o seguinte resultado permite-nos identificar os máimos e mínimos relativos e/ou pontos sela. 14 Teorema 6 Seja = c um ponto crítico da função f contínua no intervalo (a, b) que contém c. Se f é diferenciável no intervalo (a, b), com a possível ecepção de = c, então: 1. f () muda de positivo para negativo em = c, então f tem um máimo relativo em (c, f(c)).. f () muda de negativo para positivo em = c, então f tem um mínimo relativo em (c, f(c)). 3. f () é positivo em ambos os lados de = c, ou negativo em ambos os lados de = c, então f(c) não é máimo relativo nem mínimo relativo, é um ponto sela. Eemplo 9. Para calcularmos os etremos, se eistirem, da função f() = começamos por determinar os pontos críticos: f () = = 15 (1 ) = 0 = 0 = 1 = 1 Valor de f () f() min pt má rel sela rel Então f( 1) = é mínimo relativo, f(1) = é máimo relativo e = 0 é ponto sela. 15 Concavidade e a Segunda Derivada Analisando o gráfico de uma função facilmente constatamos os intervalos onde a sua concavidade é voltada para cima ou para baio. No entanto, se não estivermos a visualizar o gráfico da função para sabermos as concavidades dos gráficos temos de fazer um teste analítico. Acontece que podemos utilizar a segunda derivada da função para determinar esses intervalos, precisamente como utilizamos a primeira derivada da função para determinar os intervalos onde a função é crescente e decrescente. Teorema 7 Seja f uma função que admite segunda derivada num intervalo aberto I. 1. f () 0, I f tem concavidade voltada para cima em I.. f () 0, I f tem concavidade voltada para baio em I. Para uma função f contínua, podemos calcular os intervalos em que f tem concavidade é voltada para cima ou para baio.( Para uma função descontínua, os intervalos de teste devem ser formados utilizando-se os pontos de descontinuidade juntamente com os pontos em que f () é zero ou não é definida). 16 Eemplo 10. Para estudarmos a concavidade da função f() = começamos por determinar os pontos onde a segunda derivada se anula: f () = 0 30(1 ) + 15 ( ) = = 0 30( + 1) = 0 = 0 = = Valor de 0 f () f() pt pt pt + inf inf inf Então, podemos afirmar que a função tem concavidade voltada para baio no intervalo (, 0) (, + ) e concavidade voltada para cima no intervalo (, ) (0, ) Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy O Teorema de Weierstrass afirma que uma função contínua num intervalo fechado [a, b] tanto máimo como mínimo nesse intervalo. Entretanto ambos os valores podem ocorrer nas etremidades. O Teorema 17 de Rolle dá condições que garantem a eistência de valores etremos no interior de um intervalo fechado. y y f(b) f(a) f(a) 3 f(b) 1 1 Teorema 8 Teorema de Rolle Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a, b] e diferenciável no intervalo aberto (a, b). Se f(a) = f(b) então eiste pelo menos um número c (a, b) tal que f (c) = 0. Simbolicamente f() contínua em [a, b] Então f() diferenciável em (a, b) c (a, b) : f (c) = 0 Eemplo 11. A despesa C de compra e transporte dos componentes usados num processo de manufactura é aproimadamente ( 1 C() = 10 + ), onde C é medido em milhares de euros + 3 e é o número de unidades compradas em centenas. Sabendo que a despesa para 300 e 600 unidades compradas é idêntica, 18 prove eiste, e calcule, um número de unidades compradas para o qual a taa de variação da despesa é nula. Resolução: Atendendo a que C(3) = C(6), e a função C() é contínua em [3, 6] e diferenciável em (3, 6), podemos aplicar o Teorema de Rolle que garante (3, 6) : dc = 0. Então d ( dc d = 0 = ) = 0 ( + 3) 10 ( + 3) + 3 ( + 3) = ( + 3) = 0 10 ( 6 9) = 0 = 30 Logo a taa de variação da despesa é nula quando se adquirem unidades. Consideremos o gráfico seguinte y f(c) f(b) f(a) Geometricamente podemos constatar a eistência de uma recta tangente paralela à secante pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). Em termos 19 de taa de variação concluímos que deve eistir um ponto no intervalo aberto (a, b) no qual a taa de variação instantânea é igual à taa de variação média sobre o intervalo [a, b]. Este resultado é enunciado pelo seguinte teorema: Teorema 9 Teorema de Lagrange Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a, b] e diferenciável no intervalo aberto (a, b), então eiste um número c (a, b) tal que f f(b) f(a) (c) =. b a Simbolicamente f() contínua em [a, b] f() diferenciável em (a, b) Então c (a, b) : f (c) = f(b) f(a) b a Eemplo 1. Uma companhia introduz um produto novo para o ( qual o número S de unidades vendidas é S(t) = ) + t onde t é o número de meses. Indique qual é a taa da variação média de S(t) durante o primeiro ano e qual o mês em que a taa de variação é igual à taa de variação média durante o primeiro ano. 0 Resolução: Ora a taa de variação média durante o primeiro ano é dada por: T V M = S(1) S(1) 1 1 = Então podemos concluir que o número de unidades vendidas, em média, durante o primeiro ano, aumentou em 41 unidades por mês. Atendendo a que a função S(t) é contínua em [1, 1] e diferenciável em (1, 1), podemos aplicar o Teorema de Lagrange para sabermos o mês em que a taa de variação é igual à taa de variação média durante o primeiro ano: ds dt = S(1) S(1) = t 4.5 ( + t) Logo a taa de variação média durante o primeiro ano é igual à taa de variação no mês de Abril. Como caso particular do Teorema de Lagrange temos: Teorema 10 Teorema de Cauchy Sejam f e g funções contínuas num intervalo fechado [a, b] e diferenciáveis no intervalo aberto (a, b). Suponhamos que g() 0, [a, b], então eiste um número c (a, b) tal que f (c) g (c) = f(b) f(a) g(b) g(a). 1 Simbolicamente f(), g() contínuas em [a, b] f(), g() diferenciáveis em (a, b) g() 0, [a, b] Então c (a, b) : f (c) g (c) = f(b) f(a) g(b) g(a).3.8. Indeterminações: Regra de Cauchy Em secções anteriores estudámos limites como 1 lim 1 1 e lim e um processo para calcular esses limites. Vamos agora aprender um novo processo analítico para o cálculo de limites. Regra de Cauchy: Seja (a, b) um intervalo que contém c. Sejam f e g funções dife- renciáveis em (a, b), ecepto possivelmente em c. Se o limite de f() quando tende para c resulta na forma indeterminada g() 0 0 ou, então f() lim c g() = lim f () c g () desde que o limite da direita eista ou seja infinito. A forma indeterminada pode apresentar-se de quatro formas: + +, +, + e. A Regra de Cauchy pode aplicar-se sucessivamente. Eemplo 13. a) lim + e e + 1 = lim + e e = lim + 1 e = 0 b) lim e = lim e = lim e = 0.4. Acréscimos e Diferenciais Quando definimos derivada, vimos que esta era o limite da razão y. Representámos a derivada de y em ordem a por dy d = lim y 0 dy mesmo que não interpretássemos como o quociente de duas d grandezas separadas. Vamos ver que é possível atribuir significado a dy e d, de forma que o seu quociente, quando d 0, seja igual à derivada de y em ordem a. 3 Definição Seja y = f() uma função diferenciável. O diferencial de, que se representa por d, é qualquer número real diferente de zero. O diferencial de y, que se representa por dy, é dy = f () d. Nota: Nesta definição, d pode tomar qualquer valor diferente de zero. Na maioria das aplicações, entretanto, escolhe-se d pequeno, e esta escolha é representada por d =. Uma das aplicações do diferencial consiste em aproimar a variação em f() correspondente a uma variação em, conforme mostra a figura seguinte. Indica-se esta variação por y = f( + ) f() Variação de y y ( +, f( + )) (, f()) dy y d = + Note-se que, quanto mais pequeno se torna, os valores de dy e y ficam cada vez mais próimos um do outro; ou seja, quando é pequeno, dy y. Esta aproimação é a base da maioria das aplicações do diferencial. 4 Os diferenciais são usados em economia para aproimar variações na receita, no custo e no lucro. Seja R = f() a receita total da venda de unidades de um produto. Quando o número de unidades aumenta em 1, a variação de é = 1, e a variação da receita R é R = f( + ) f() dr = R () d. Por outras palavras, podemos utilizar o diferencial dr para aproimar a variação na receita, que resulta da venda de mais uma unidade. Da mesma forma, os diferenciais dc e dp podem servir para aproimar a variação no custo e no lucro, decorrente da venda (ou da produção) de mais uma unidade. Eemplo 14. A função de procura para um produto admite como modelo p = 400 Com o auílio de diferenciais, aproime a variação na receita quando as vendas aumentam de 56 unidades para 57 unidades. Compare com a variação efectiva da receita. Solução: Determinemos a receita marginal dr d. 5 R = p = 400 Então dr d = ( ) 1 (400 ) 1/ + (400 ) 1/ 1 = Quando = 56 vem d = = 1 e podemos aproimar a variação na receita por dr = = dr d d ε Quando aumenta de 56 para 57, a variação efectiva da receita é R = = ε 6 ..9. Eercícios 1. Considere a função real de variável real definida por f() =. f( + h) f() (a) Mostre que lim = 1 h 0 h f(). (b) Interprete o significado matemático do limite calculado na alínea anterior.. Na figura estão representadas três funções, a função f, f e f. Faça corresponder a cada uma das funções o respectivo gráfico. 3. De uma função f sabe-se que f () = 5. (a) Qual é o significado geométrico do valor 5, indicado como derivada da função no ponto de abcissa =. (b) Determine o valor de lim f() f() 4 4. Determine as derivadas das seguintes funções: (a) f(t) = t 7 + 8t 4 t + 1 (b) f() = ( 1) + (c) f() = ln()e + 1 (d) f(s) = (s 3s + 1)(9s 1) 4 (e) f() = ln( + ) + e + (f) f(y) = y 1 y + 3 (g) f() = 3 + ln ( ) e u (h) f() = log 3 ( + e ) + e (i) f(u) = ln u 7 a + 3b se 5. Seja g() = + 4 se , (a, b IR) uma função de domínio IR. (a) Determine os valores de a e b de modo que a função f seja contínua em IR. (b) Comente a seguinte afirmação : Eistem valores a e b diferentes dos obtidos na alínea anterior onde a função f é diferenciável em =. 6. Determine, caso eistam, os pontos em que o gráfico da função f() = tem recta tangente horizontal. 7. Considere a função f definida por f() = e/ (a) Estude os intervalos de monotonia e eistência de etremos para a função f. (b) Estude a concavidade e a eistência de pontos de infleão para a função f. (c) Mostre que a recta tangente ao gráfico de f na origem é perpendicular à recta dos quadrantes pares e coincide com a recta dos quadrantes ímpares. 8. Considere a função f definida por ln( + 1) se 0 g() = + se 0 (a) Determine caso eista g (0). (b) Comente a seguinte afirmação: A função g tem concavidade voltada para cima para 0 e é monótona crescente para 0. (c) Determine a equação da recta tangente e da recta normal ao gráfico de g em = As funções preço de venda e custo de um produto admite respectivamente como modelos: P v () = 75 e C() = onde é o número de unidades produzidas. (a) Estabeleça a função lucro par
Search
Related Search
We Need Your Support
Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

Thanks to everyone for your continued support.

No, Thanks