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Elementos da Teoria de Distribuições

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Elementos da Teoria de Distribuições Márcio Henrique Franco Bettega Departamento de Física, Universidade Federal do Paraná, Caixa Postal 19044, , Curitiba, Paraná, Brasil Discutimos em aula o
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Elementos da Teoria de Distribuições Márcio Henrique Franco Bettega Departamento de Física, Universidade Federal do Paraná, Caixa Postal 19044, , Curitiba, Paraná, Brasil Discutimos em aula o Capítulo 5 Conceitos da Teoria das Distribuições, do livro do Butkov. Estas notas não tem a finalidade de substituir o livro, mas apenas para colocar algumas idéias de forma um pouco mais clara e também definir as Distribuições de acordo com outros livros, citados ao final destas notas. 1 Definição de Distribuição Antes de definirmos distribuição, iremos definir o que são funções admissíveis e funções teste. 1.1 Funções Admissíveis Definimos as funções admissíveis como aquelas que são infinitamente deriváveis no intervalo (, + ), podendo ter comportamento arbitrário no infinito. 1.2 Funções Teste g(x) é uma função teste se 1. g(x) é C, ou seja, é infinitamente derivável, 2. g(x) tem suporte compacto, isto é, se anula fora de um intervalo (a, b). Chamamos de D é o espaço das funções teste, ou seja, toda a função g(x) D é uma função teste Exemplos g(x) = exp ( a2 a 2 x 2 ) ; x a 0; x a (1) Podemos construir funções teste partindo da função h(x) definida abaixo e fazendo os seguintes produtos exp ( x) 1 ; x 0 h(x) = 0; x 0 (2) 1 g(x) = h(x)h(1 x) = g ab (x) = g ( ) x a = b a exp [ ] 1 x(1 x) ; 0 x 1 0; x 0, x 1 exp [ ] (b a) 2 (x a)(b x) ; a x b 0; x a, x b Nos exemplos acima, g(x) é uma função teste que se anula no intervalo (0, 1) e g ab (x) é uma função teste que se anula no intervalo (a, b). 1.3 Convergência Fraca Uma sequência de funções admissíveis é dita uma sequência fracamente convergente se o ite existir para todas as funções teste g(x). 1.4 Definição de Distribuição n f n (x)g(x)dx (5) Uma distribuição φ(x) é um conceito matemático associado a uma sequência fracamente convergente de funções admissíveis para as quais a integral simbólica (não é uma integral de Riemann) (3) (4) tem significado por meio da equação φ(x)g(x)dx (6) 2 Função Delta de Dirac A função delta de Dirac é definida como φ(x)g(x)dx = n f n (x)g(x)dx (7) tal que + ; x = 0 δ(x) = 0; x 0 (8) e δ(x)dx = 1 (9) δ(x)g(x)dx = g(0) (10) que correspondem às propriedades de normalização e de filtragem respectivamente. 2 A definição acima não é uma definição aceitável para uma função. Vimos que isto faz sentido apenas se olharmos o ite de uma integral envolvendo uma sequência de funções admissíveis {f n (x), n = 1, 2, 3, } (sequências delta) como segue 2.1 Exemplos Alguns exemplos de sequências delta são listados abaixo δ(x)g(x)dx = n f n (x)g(x)dx = g(0) (11) 2.2 Representações da Função Delta Transformada de aplace A transformada de aplace da função f(t) é Fazendo f(t) = δ(t t 0 ) temos Séries de Fourier f n (x) = n 1 (12) π 1 + n 2 x 2 f n (x) = n exp ( n 2 x 2) (13) π f n (x) = 1 sin 2 nx (14) nπ x 2 f n (x) = 1 sin nx (15) π x f n (x) = n exp( n x ) (16) 2 F (s) = [f(t)] = F (s) = [δ(t t 0 )] = 0 0 exp( st)f(t)dt (17) exp( st)δ(t t 0 )dt = exp( st 0 ) (18) A representação de uma função f(x) em termos de uma série de Fourier no intervalo (, +) é onde f(x) = a n=1 [ a n cos ( ) ( )] nπx nπx + b n sin (19) a n = 1 b n = ( nπx cos ( nπx sin ) f(x)dx (20) ) f(x)dx (21) A representação da função delta por séries de Fourier é (lembrando que δ(x) é par) 3 δ(x) = ( ) nπx cos n=1 No caso de δ(x ξ) temos, para uma extensão par no intervalo (, ) e para uma extensão ímpar δ(x ξ) = ( ) ( ) nπξ nπx cos cos n=1 δ(x ξ) = 2 ( ) ( ) nπξ nπx sin sin n=1 (22) (23) (24) Representação Integral embrando que S(x) pode ser escrita na forma onde neste caso Temos S(x) = 1 γ+i 2πi γ i 1; x 0 S(x) = 1/2 x = 0 0; x 0 exp(xz) dz (25) z (26) δ(x) = ds(x) dx = 1 γ+i exp(xz)dz (27) 2πi γ i Fazendo a mudança de variáveis k = iz, dk = idz e γ = 0 a integral fica 2.3 Propriedades das Distribuições δ(x) = 1 exp(ikx)dk (28) 2π As propriedades das distribuições podem ser obtidas a partir da definição dada pela eq. (11). Vamos obter algumas propriedades para a função delta. 1. xδ(x) = 0 [xδ(x)]g(x)dx = n Definindo h(x) = xg(x) temos [xf n (x)]g(x)dx = n f n (x)[xg(x)]dx (29) n f n (x)h(x)dx = h(0) = 0.g(0) = 0 (30) 4 2. δ(x a) Fazendo a mudança ξ = x a, dξ = dx δ(x a)g(x)dx = n f n (x a)g(x)dx (31) ogo n f n (ξ)g(ξ + a)dξ = g(a) (32) 3. δ(ax) = 1/ a δ(x) Suponha a 0 δ(x a)g(x)dx = g(a) (33) Fazendo ξ = ax, dξ = adx temos δ(ax)g(x)dx = n f n (ax)g(x)dx (34) ogo 1 + a f n (ξ)g(ξ/a)dξ = g(0) n a (35) δ(ax)g(x)dx = g(0) a Suponha a 0 (o procedimento é o mesmo usado acima, exceto que agora a mudança de variáveis leva a mudança nos ites da integral) (36) ou, se forma geral δ(ax)g(x)dx = n = 1 a n f n (ax)g(x)dx = 1 a n + f n (x)g(x/a)dx = g(0) a f n (x)g(x/a)dx = (37) 4. δ (x) = δ(x) δ(ax)g(x)dx = g(0) a (38) δ (x)g(x)dx = n [ = f n (x)g(x) + n f n(x)g(x)dx = (39) ] f n (x)g (x)dx = g (0) 5 5. H (x) = δ(x) 1; x 0 H(x) = 0; x 0 H(x), como definida acima, é a função de Heavised. (40) 2.4 Funções e Distribuições Vimos em aula que é possível achar funções que representam distribuições (pelo Teorema da Aproximação e seu Corolário). Mostramos que é possível representar derivadas de funções em pontos nos quais elas não existem através de distribuições. Consideramos funções suaves por pedaços, com um bico em x = ξ, no qual a derivada primeira é descontínua. Vamos escrever a derivada primeira de tal função nas vizinhanças de x = ξ como f (x) = y(x) + hh(x) onde y(x) é uma função contínua em x = ξ e h corresponde ao salto da derivada primeira de f(x). A derivada segunda de f(x) de x = ξ fica Exemplo f (x) = y (x) + hδ(x) (41) Vamos ilustrar a discussão acima considerando a função f(x) = x, definida como a derivada primeira desta função fica ou, de acordo com a discussão acima x; x 0 f(x) = x = x; x 0 1; x 0 f (x) 1; x 0 (42) (43) f (x) = 1 + 2H(x) (44) A derivada segunda fica f (x) = 2δ(x) (45) Exercício: Escreva as derivadas primeira e segunda da função f(x) = exp( x ) definida como em termos de H(x) e δ(x). exp(x); x 0 f(x) = exp( x ) = exp( x); x 0 6 (46) 2.5 Fórmula de Sokhotskyi-Plemelj Uma relação importante e muito utilizada em mecânica quântica (em particular em teoria de espalhamento) que envolve a função delta, e portanto deve ser encarada do ponto de vista da teoria de distribuições é onde VP indica o valor principal de Cauchy, definido como +b VP a f(x) x onde f(x) é regular na origem e a, b 0. 1 ɛ 0 + x ± iɛ = VP 1 iπδ(x) (47) x dx = η 0 + [ η a f(x) +b x dx + +η ] f(x) x dx Para provar esta relação vamos escrever 1/(x ± iɛ) em termos de suas partes real e imaginária (48) mas 1 x ± iɛ = 1 x ± iɛ x iɛ x iɛ = x iɛ x 2 + ɛ = 2 x x 2 + ɛ 2 iɛ x 2 + ɛ 2 (49) ɛ 0 + iɛ = iπδ(x) (50) x 2 + ɛ2 conforme a sequência delta dada pela eq. (12) fazendo ɛ = 1/n. A parte real é calculada multiplicando-a por f(x) e integrando xf(x) ɛ 0 + x 2 + ɛ = 2 ɛ 0 + η 0 + [ η xf(x) +η x 2 + ɛ + 2 η onde a segunda integral é zero. Trocando a ordem dos ites temos xf(x) + x 2 + ɛ + 2 +η ] xf(x) x 2 + ɛ 2 (51) xf(x) = ɛ 0 + x 2 + ɛ 2 η 0 + = η 0 + ɛ 0+ [ η [ η ] xf(x) + x 2 + ɛ + xf(x) = (52) 2 +η x 2 + ɛ 2 ] f(x) + x + +η f(x) x = VP 1 x 2.6 Função Delta em 1, 2 e 3 Dimensões: Coordenadas Cartesianas, Esféricas e Cilíndricas As propriedades de normalização e filtragem da função delta em 3-dimensões ficam δ(r r )d 3 r = 1 (53) δ(r r )g(r)d 3 r = g(r ) (54) 7 2.6.1 Coondenadas Cartesianas 3-D 2-D δ(r r ) = δ(x x )δ(y y )δ(z z ) (55) δ(r r ) = δ(x x )δ(y y ) (56) Coondenadas Esféricas 3-D Vamos escrever δ(r r ) como δ(r r ) = δ(r r )δ(θ θ )δ(φ φ ) (57) e verificar se esta forma satisfaz a condição de normalização. Em coordenadas esféricas (r, θ, φ) o elemento de volume é d 3 r = r 2 drdω = r 2 dr sin θdθdφ = r 2 drd(cos θ)dφ. Temos assim δ(r r )d 3 r = Desta forma escrevemos π 2π δ(r r )δ(θ θ )δ(φ φ )r 2 dr sin θdθdφ = r 2 sin θ (58) δ(r r ) = δ(r r )δ(θ θ )δ(φ φ ) r 2 sin θ Outra forma possível é obtida fazendo (59) que resulta em δ(r r )d 3 r = +1 2π δ(r r )δ(cos θ cos θ )δ(φ φ )r 2 drd(cos θ)dφ = r 2 (60) 2-D δ(r r ) = δ(r r )δ(cos θ cos θ )δ(φ φ ) r 2 (61) 1-D Se r = 0 temos δ(r r ) = δ(r r )δ(θ θ ) 2πr 2 sin θ δ(r r ) = δ(r r ) 4πr 2 sin θ (62) (63) δ(r) = δ(r) 4πr 2 sin θ Vale a pena citar uma relação importante, dada por (64) 8 ( ) 1 2 = 4πδ(r) (65) r A distribuição de carga de uma carga pontual q localizada na origem pode ser escrita na forma tal que ρ(r) = qδ(r) (66) a qual produz o potencial φ(r) dado por ρ(r)d 3 r = q (67) φ(r) = φ(r) = 1 ρ(r ) 4πε 0 r r d3 r = q 1 4πε 0 r De forma geral, φ(r) deve satisfazer a equação de Poisson (68) 2 φ(r) = 1 ε 0 ρ(r) (69) que neste caso fica ( ) q 2 φ(r) = 2 1 = 1 qδ(r) (70) 4πε 0 r ε 0 Exercício: Repita a discussão acima para o caso de um dipolo elétrico com cargas de módulo q separadas pela distância a Coondenadas Cilíndricas 3-D Vamos proceder como no caso de coordenadas esféricas e escrever δ(r r ) como δ(r r ) = δ(ρ ρ )δ(φ φ )δ(z z ) (71) e verificar se esta forma satisfaz a condição de normalização. Em coordenadas cilíndricas (ρ, φ, z) o elemento de volume é d 3 r = ρdρdφdz. Temos assim Com isto temos δ(r r )d 3 r = 2π 0 0 δ(ρ ρ )δ(φ φ )δ(z z )ρdρdφdz = ρ (72) 2-D 1-D δ(r r ) = δ(ρ ρ )δ(φ φ )δ(z z ) ρ δ(r r ) = δ(ρ ρ )δ(z z ) 2πρ δ(r r ) = δ(ρ ρ ) 2πρ (73) (74) (75) 9 3 Distribuiçoes Uma outra maneira de definir uma distribuição é através de um funcional linear, que pode ser visto como uma integral a qual associa a uma função um número. Definição: g n (x) é dita uniformemente convergente em uma região G se para cada ɛ 0 pudermos achar um N = N(ɛ), independente de x, tal que g n (x) g(x) ɛ, para todo n N(ɛ) e para todo x em G. No caso da convergência ponto a ponto, é preciso achar um N(ɛ) para cada x. Definição: Uma sequência g n (x) de funções teste converge para zero (g n 0) se 1. para cada k, a sequência das k ésimas derivadas g (k) 1 (x), g (k) i (x), converge uniformemente para zero, 2. existe um intervalo [a, b] independente de n, tal que toda g n (x) se anula fora de [a, b]. Definição de distribuição: Uma distribuição T é um mapeamento do conjunto de todas as funções teste em D em números reais ou complexos (funcional linear), tal que as seguintes condições se aplicam 1. linearidade: T, ag(x) + Bh(x) = a T, g(x) + B T, h(x), para todas as funções teste g(x) e h(x) e para todas as constantes a e b, 2. continuidade: se ϕ n 0, então T, ϕ n 0. Definição: Seja f(x) uma função contínua por pedaços no eixo real. Definimos a distribuição T f corresponente a f(x) por 4 Propriedades de T Sejam as distribuições S e T T f, g = f(x)g(x)dx 1. S + T, g = S, g + T, g 2. at, g = a T, g 3. T, g = T, g 4. T (ax), g = 1/ a T, g(x/a) 5. T (x a), g = T, g(x + a) 6. h(x)t (x), g = a T, h(x)g(x), onde h(x) é C. 4.1 Distribuição δ Definição: δ, g = g(0). 10 4.2 Distribuição θ Definição: θ, g = 0 g(x)dx. 5 Referências Notas de Física Matemática, Carmen ys Ribeiro Braga, 1a. edição, Editora ivraria da Física, Theory of Distributions - A Nontechnical Introduction, J. Ian Richards e Heekyung K. Youn, Cambridge University Press,
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