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Conservation Equations of Fluid Dynamics A. Salih Department of Aerospace EngineeringIndian Institute of Space Science and Technology, Thiruvananthapuram– February 2011 –This is a summary of conservation equations (continuity, Navier–Stokes, and energy) that governthe ﬂow of a Newtonian ﬂuid. Equations in various forms, including vector, indicial, Cartesiancoordinates, and cylindrical coordinates are provided. The nomenclature is listed at the end. I Equations in vector form ã  Compressible ﬂow: ∂ρ∂  t  + ∇ · ( ρ V  ) =  0 (1) ρ  DV  Dt  =  ρ g  − ∇  p  − 23 ∇  µ  ∇ · V    + ∇ ·  µ   ∇ V   +  ∇ V   T    (2) ρ c  p  DT  Dt  =  ρ  ˙ q g  + ∇ · ( k  ∇ T  ) +  β  T  Dp Dt  + Φ  (3) where the viscous dissipation rate  Φ  is Φ  =  τ   : ∇ V   =  − 23 µ  ∇ · V I   +  µ   ∇ V   +  ∇ V   T    : ∇ V  The foregoing equations  (1) ,  (2) , and  (3)  represent the continuity, Navier–Stokes, and energyrespectively. ã  Incompressible ﬂow with constant ﬂuid properties: ∇ · V   =  0 (4) ρ  DV  Dt  =  ρ g  − ∇  p  +  µ  ∇ 2 V   (5) ρ c  p  DT  Dt  =  ρ  ˙ q g  +  k  ∇ 2 T   + Φ  (6) where the viscous dissipation rate  Φ  is Φ  =  µ   ∇ V   +  ∇ V   T    : ∇ V  The foregoing equations  (4) ,  (5) , and  (6)  represent the continuity, Navier–Stokes, and energyrespectively. 1  II Equations in indicial form ã  Compressible ﬂow: ∂ρ∂  t  +  ∂  ( ρ v i ) ∂   x i =  0 (7) ρ  ∂  v i ∂  t  + v  j ∂  v i ∂   x  j   =  ρ g i  − ∂   p ∂   x i − 23 ∂ ∂   x i  µ ∂  v  j ∂   x  j   +  ∂ ∂   x  j  µ   ∂  v i ∂   x  j +  ∂  v  j ∂   x i   (8) ρ c  p  ∂  T  ∂  t  + v i ∂  T  ∂   x i   =  ρ  ˙ q g  +  ∂ ∂   x i  k  ∂  T  ∂   x i   +  β  T   ∂   p ∂  t  + v i ∂   p ∂   x i   + Φ  (9) where the viscous dissipation rate  Φ  is Φ  =  τ  ij ∂  v i ∂   x  j =  − 23 µ ∂  v k  ∂   x k  δ  ij  +  µ   ∂  v i ∂   x  j +  ∂  v  j ∂   x i   ∂  v i ∂   x  j The foregoing equations  (7) ,  (8) , and  (9)  represent the continuity, Navier–Stokes, and energyrespectively. ã  Incompressible ﬂow with constant ﬂuid properties: ∂  v i ∂   x i =  0 (10) ρ  ∂  v i ∂  t  + v  j ∂  v i ∂   x  j   =  ρ g i  − ∂   p ∂   x i +  µ ∂  2 v i ∂   x 2  j (11) ρ c  p  ∂  T  ∂  t  + v i ∂  T  ∂   x i   =  ρ  ˙ q g  +  k  ∂  2 T  ∂   x 2 i + Φ  (12) where the viscous dissipation rate  Φ  is Φ  =  µ   ∂  v i ∂   x  j +  ∂  v  j ∂   x i   ∂  v i ∂   x  j The foregoing equations  (10) ,  (11) , and  (12)  represent the continuity, Navier–Stokes, and energyrespectively. III Equations in Cartesian coordinates ã  Compressible ﬂow: ∂ρ∂  t  +  ∂  ( ρ u ) ∂   x +  ∂  ( ρ v ) ∂   y +  ∂  ( ρ w ) ∂   z =  0 (13)2  ρ  ∂  u ∂  t  +  u ∂  u ∂   x +  v ∂  u ∂   y +  w ∂  u ∂   z   =  ρ g  x  − ∂   p ∂   x +  ∂ ∂   x  µ   − 23 ∇ · V   +  2 ∂  u ∂   x  +  ∂ ∂   y  µ   ∂  u ∂   y +  ∂  v ∂   x   +  ∂ ∂   z  µ   ∂  u ∂   z +  ∂  w ∂   x  ρ  ∂  v ∂  t  +  u ∂  v ∂   x +  v ∂  v ∂   y +  w ∂  v ∂   z   =  ρ g  y  − ∂   p ∂   y +  ∂ ∂   y  µ   − 23 ∇ · V   +  2 ∂  v ∂   y  +  ∂ ∂   z  µ   ∂  v ∂   z +  ∂  w ∂   y   +  ∂ ∂   x  µ   ∂  v ∂   x +  ∂  u ∂   y  ρ  ∂  w ∂  t  +  u ∂  w ∂   x +  v ∂  w ∂   y +  w ∂  w ∂   z   =  ρ g  z  − ∂   p ∂   z +  ∂ ∂   z  µ   − 23 ∇ · V   +  2 ∂  w ∂   z  +  ∂ ∂   x  µ   ∂  w ∂   x +  ∂  u ∂   z   +  ∂ ∂   y  µ   ∂  w ∂   y +  ∂  v ∂   z  (14) ρ c  p  ∂  T  ∂  t  +  u ∂  T  ∂   x +  v ∂  T  ∂   y +  w ∂  T  ∂   z   =  ρ  ˙ q g  +  ∂ ∂   x  k  ∂  T  ∂   x   +  ∂ ∂   y  k  ∂  T  ∂   y   +  ∂ ∂   z  k  ∂  T  ∂   z  +  β  T   ∂   p ∂  t  +  u ∂   p ∂   x +  v ∂   p ∂   y +  w ∂   p ∂   z   + Φ  (15) where the viscous dissipation rate  Φ  is Φ  =  2 µ   ∂  u ∂   x  2 +  ∂  v ∂   y  2 +  ∂  w ∂   z  2  +  µ   ∂  u ∂   y +  ∂  v ∂   x  2 +  ∂  v ∂   z +  ∂  w ∂   y  2 +  ∂  w ∂   x +  ∂  u ∂   z  2   − 23 µ   ∂  u ∂   x +  ∂  v ∂   y +  ∂  w ∂   z  2 The foregoing equations  (13) ,  (14) , and  (15)  represent the continuity, Navier–Stokes, and energyrespectively. ã  Incompressible ﬂow with constant ﬂuid properties: ∂  u ∂   x +  ∂  v ∂   y +  ∂  w ∂   z =  0 (16) ρ  ∂  u ∂  t  +  u ∂  u ∂   x +  v ∂  u ∂   y +  w ∂  u ∂   z   =  ρ g  x  − ∂   p ∂   x +  µ   ∂  2 u ∂   x 2  +  ∂  2 u ∂   y 2  +  ∂  2 u ∂   z 2  ρ  ∂  v ∂  t  +  u ∂  v ∂   x +  v ∂  v ∂   y +  w ∂  v ∂   z   =  ρ g  y  − ∂   p ∂   y +  µ   ∂  2 v ∂   x 2  +  ∂  2 v ∂   y 2  +  ∂  2 v ∂   z 2  ρ  ∂  w ∂  t  +  u ∂  w ∂   x +  v ∂  w ∂   y +  w ∂  w ∂   z   =  ρ g  z  − ∂   p ∂   z +  µ   ∂  2 w ∂   x 2  +  ∂  2 w ∂   y 2  +  ∂  2 w ∂   z 2  (17) ρ c  p  ∂  T  ∂  t  +  u ∂  T  ∂   x +  v ∂  T  ∂   y +  w ∂  T  ∂   z   =  ρ  ˙ q g  +  k   ∂  2 T  ∂   x 2  +  ∂  2 T  ∂   y 2  +  ∂  2 T  ∂   z 2   + Φ  (18)3  where the viscous dissipation rate  Φ  is Φ  =  2 µ   ∂  u ∂   x  2 +  ∂  v ∂   y  2 +  ∂  w ∂   z  2  +  µ   ∂  u ∂   y +  ∂  v ∂   x  2 +  ∂  v ∂   z +  ∂  w ∂   y  2 +  ∂  w ∂   x +  ∂  u ∂   z  2  The foregoing equations  (16) ,  (17) , and  (18)  represent the continuity, Navier–Stokes, and energyrespectively. IV Equations in cylindrical coordinates ã  Compressible ﬂow: ∂ρ∂  t  +  1 r  ∂  ( ρ ru r  ) ∂  r  +  1 r  ∂  ( ρ u θ  ) ∂θ   +  ∂  ( ρ u  z ) ∂   z =  0 (19) ρ  ∂  u r  ∂  t  + u r  ∂  u r  ∂  r  +  u θ  r  ∂  u r  ∂θ   +  u  z ∂  u r  ∂   z − u 2 θ  r    =  ρ g r   − ∂   p ∂  r  +  ∂ ∂  r   µ   − 23 ∇ · V   +  2 ∂  u r  ∂  r    +  1 r  ∂ ∂θ   µ   1 r  ∂  u r  ∂θ   +  ∂  u θ  ∂  r   +  ∂ ∂   z  µ   ∂  u r  ∂   z +  ∂  u  z ∂  r    +  2 µ  r   ∂  u r  ∂  r  − 1 r  ∂  u θ  ∂θ   − u r  r   ρ  ∂  u θ  ∂  t  + u r  ∂  u θ  ∂  r  +  u θ  r  ∂  u θ  ∂θ   +  u  z ∂  u θ  ∂   z +  u r  u θ  r    =  ρ g θ   − 1 r  ∂   p ∂θ  +  1 r  ∂ ∂θ   µ   − 23 ∇ · V   +  2 r  ∂  u θ  ∂θ   +  2 u r  r    +  ∂ ∂   z  µ   ∂  u θ  ∂   z +  1 r  ∂  u  z ∂θ   +  ∂ ∂  r   µ   ∂  u θ  ∂  r  − u θ  r  +  1 r  ∂  u r  ∂θ    +  2 µ  r   1 r  ∂  u r  ∂θ   +  ∂  u θ  ∂  r  − u θ  r   ρ  ∂  u  z ∂  t  + u r  ∂  u  z ∂  r  +  u θ  r  ∂  u  z ∂θ   +  u  z ∂  u  z ∂   z   =  ρ g  z  − ∂   p ∂   z +  ∂ ∂   z  µ   − 23 ∇ · V   +  2 ∂  u  z ∂   z   +  ∂ ∂  r   µ   ∂  u  z ∂  r  +  ∂  u  z ∂   z  +  1 r  ∂ ∂θ   µ   1 r  ∂  u  z ∂θ   +  ∂  u θ  ∂   z   +  µ  r   ∂  u r  ∂   z +  ∂  u  z ∂  r   (20) ρ c  p  ∂  T  ∂  t  +  u r  ∂  T  ∂  r  +  u θ  r  ∂  T  ∂θ   +  u  z ∂  T  ∂   z   =  ρ  ˙ q g  +  1 r  ∂ ∂  r   kr  ∂  T  ∂  r    +  1 r  ∂ ∂θ   k r  ∂  T  ∂θ   +  ∂ ∂   z  k  ∂  T  ∂   z   +  β  T   ∂   p ∂  t  +  u r  ∂   p ∂  r  +  u θ  r  ∂   p ∂θ   +  u  z ∂   p ∂   z   + Φ  (21)4

Jul 23, 2017

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Jul 23, 2017
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