Documents

fluid Mechanics equations

Description
All the vector equations for Fluid mechanics
Categories
Published
of 8
All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
Related Documents
Share
Transcript
  Conservation Equations of Fluid Dynamics A. Salih Department of Aerospace EngineeringIndian Institute of Space Science and Technology, Thiruvananthapuram– February 2011 –This is a summary of conservation equations (continuity, Navier–Stokes, and energy) that governthe flow of a Newtonian fluid. Equations in various forms, including vector, indicial, Cartesiancoordinates, and cylindrical coordinates are provided. The nomenclature is listed at the end. I Equations in vector form ã  Compressible flow: ∂ρ∂  t  + ∇ · ( ρ V  ) =  0 (1) ρ  DV  Dt  =  ρ g  − ∇  p  − 23 ∇  µ  ∇ · V    + ∇ ·  µ   ∇ V   +  ∇ V   T    (2) ρ c  p  DT  Dt  =  ρ  ˙ q g  + ∇ · ( k  ∇ T  ) +  β  T  Dp Dt  + Φ  (3) where the viscous dissipation rate  Φ  is Φ  =  τ   : ∇ V   =  − 23 µ  ∇ · V I   +  µ   ∇ V   +  ∇ V   T    : ∇ V  The foregoing equations  (1) ,  (2) , and  (3)  represent the continuity, Navier–Stokes, and energyrespectively. ã  Incompressible flow with constant fluid properties: ∇ · V   =  0 (4) ρ  DV  Dt  =  ρ g  − ∇  p  +  µ  ∇ 2 V   (5) ρ c  p  DT  Dt  =  ρ  ˙ q g  +  k  ∇ 2 T   + Φ  (6) where the viscous dissipation rate  Φ  is Φ  =  µ   ∇ V   +  ∇ V   T    : ∇ V  The foregoing equations  (4) ,  (5) , and  (6)  represent the continuity, Navier–Stokes, and energyrespectively. 1  II Equations in indicial form ã  Compressible flow: ∂ρ∂  t  +  ∂  ( ρ v i ) ∂   x i =  0 (7) ρ  ∂  v i ∂  t  + v  j ∂  v i ∂   x  j   =  ρ g i  − ∂   p ∂   x i − 23 ∂ ∂   x i  µ ∂  v  j ∂   x  j   +  ∂ ∂   x  j  µ   ∂  v i ∂   x  j +  ∂  v  j ∂   x i   (8) ρ c  p  ∂  T  ∂  t  + v i ∂  T  ∂   x i   =  ρ  ˙ q g  +  ∂ ∂   x i  k  ∂  T  ∂   x i   +  β  T   ∂   p ∂  t  + v i ∂   p ∂   x i   + Φ  (9) where the viscous dissipation rate  Φ  is Φ  =  τ  ij ∂  v i ∂   x  j =  − 23 µ ∂  v k  ∂   x k  δ  ij  +  µ   ∂  v i ∂   x  j +  ∂  v  j ∂   x i   ∂  v i ∂   x  j The foregoing equations  (7) ,  (8) , and  (9)  represent the continuity, Navier–Stokes, and energyrespectively. ã  Incompressible flow with constant fluid properties: ∂  v i ∂   x i =  0 (10) ρ  ∂  v i ∂  t  + v  j ∂  v i ∂   x  j   =  ρ g i  − ∂   p ∂   x i +  µ ∂  2 v i ∂   x 2  j (11) ρ c  p  ∂  T  ∂  t  + v i ∂  T  ∂   x i   =  ρ  ˙ q g  +  k  ∂  2 T  ∂   x 2 i + Φ  (12) where the viscous dissipation rate  Φ  is Φ  =  µ   ∂  v i ∂   x  j +  ∂  v  j ∂   x i   ∂  v i ∂   x  j The foregoing equations  (10) ,  (11) , and  (12)  represent the continuity, Navier–Stokes, and energyrespectively. III Equations in Cartesian coordinates ã  Compressible flow: ∂ρ∂  t  +  ∂  ( ρ u ) ∂   x +  ∂  ( ρ v ) ∂   y +  ∂  ( ρ w ) ∂   z =  0 (13)2  ρ  ∂  u ∂  t  +  u ∂  u ∂   x +  v ∂  u ∂   y +  w ∂  u ∂   z   =  ρ g  x  − ∂   p ∂   x +  ∂ ∂   x  µ   − 23 ∇ · V   +  2 ∂  u ∂   x  +  ∂ ∂   y  µ   ∂  u ∂   y +  ∂  v ∂   x   +  ∂ ∂   z  µ   ∂  u ∂   z +  ∂  w ∂   x  ρ  ∂  v ∂  t  +  u ∂  v ∂   x +  v ∂  v ∂   y +  w ∂  v ∂   z   =  ρ g  y  − ∂   p ∂   y +  ∂ ∂   y  µ   − 23 ∇ · V   +  2 ∂  v ∂   y  +  ∂ ∂   z  µ   ∂  v ∂   z +  ∂  w ∂   y   +  ∂ ∂   x  µ   ∂  v ∂   x +  ∂  u ∂   y  ρ  ∂  w ∂  t  +  u ∂  w ∂   x +  v ∂  w ∂   y +  w ∂  w ∂   z   =  ρ g  z  − ∂   p ∂   z +  ∂ ∂   z  µ   − 23 ∇ · V   +  2 ∂  w ∂   z  +  ∂ ∂   x  µ   ∂  w ∂   x +  ∂  u ∂   z   +  ∂ ∂   y  µ   ∂  w ∂   y +  ∂  v ∂   z  (14) ρ c  p  ∂  T  ∂  t  +  u ∂  T  ∂   x +  v ∂  T  ∂   y +  w ∂  T  ∂   z   =  ρ  ˙ q g  +  ∂ ∂   x  k  ∂  T  ∂   x   +  ∂ ∂   y  k  ∂  T  ∂   y   +  ∂ ∂   z  k  ∂  T  ∂   z  +  β  T   ∂   p ∂  t  +  u ∂   p ∂   x +  v ∂   p ∂   y +  w ∂   p ∂   z   + Φ  (15) where the viscous dissipation rate  Φ  is Φ  =  2 µ   ∂  u ∂   x  2 +  ∂  v ∂   y  2 +  ∂  w ∂   z  2  +  µ   ∂  u ∂   y +  ∂  v ∂   x  2 +  ∂  v ∂   z +  ∂  w ∂   y  2 +  ∂  w ∂   x +  ∂  u ∂   z  2   − 23 µ   ∂  u ∂   x +  ∂  v ∂   y +  ∂  w ∂   z  2 The foregoing equations  (13) ,  (14) , and  (15)  represent the continuity, Navier–Stokes, and energyrespectively. ã  Incompressible flow with constant fluid properties: ∂  u ∂   x +  ∂  v ∂   y +  ∂  w ∂   z =  0 (16) ρ  ∂  u ∂  t  +  u ∂  u ∂   x +  v ∂  u ∂   y +  w ∂  u ∂   z   =  ρ g  x  − ∂   p ∂   x +  µ   ∂  2 u ∂   x 2  +  ∂  2 u ∂   y 2  +  ∂  2 u ∂   z 2  ρ  ∂  v ∂  t  +  u ∂  v ∂   x +  v ∂  v ∂   y +  w ∂  v ∂   z   =  ρ g  y  − ∂   p ∂   y +  µ   ∂  2 v ∂   x 2  +  ∂  2 v ∂   y 2  +  ∂  2 v ∂   z 2  ρ  ∂  w ∂  t  +  u ∂  w ∂   x +  v ∂  w ∂   y +  w ∂  w ∂   z   =  ρ g  z  − ∂   p ∂   z +  µ   ∂  2 w ∂   x 2  +  ∂  2 w ∂   y 2  +  ∂  2 w ∂   z 2  (17) ρ c  p  ∂  T  ∂  t  +  u ∂  T  ∂   x +  v ∂  T  ∂   y +  w ∂  T  ∂   z   =  ρ  ˙ q g  +  k   ∂  2 T  ∂   x 2  +  ∂  2 T  ∂   y 2  +  ∂  2 T  ∂   z 2   + Φ  (18)3  where the viscous dissipation rate  Φ  is Φ  =  2 µ   ∂  u ∂   x  2 +  ∂  v ∂   y  2 +  ∂  w ∂   z  2  +  µ   ∂  u ∂   y +  ∂  v ∂   x  2 +  ∂  v ∂   z +  ∂  w ∂   y  2 +  ∂  w ∂   x +  ∂  u ∂   z  2  The foregoing equations  (16) ,  (17) , and  (18)  represent the continuity, Navier–Stokes, and energyrespectively. IV Equations in cylindrical coordinates ã  Compressible flow: ∂ρ∂  t  +  1 r  ∂  ( ρ ru r  ) ∂  r  +  1 r  ∂  ( ρ u θ  ) ∂θ   +  ∂  ( ρ u  z ) ∂   z =  0 (19) ρ  ∂  u r  ∂  t  + u r  ∂  u r  ∂  r  +  u θ  r  ∂  u r  ∂θ   +  u  z ∂  u r  ∂   z − u 2 θ  r    =  ρ g r   − ∂   p ∂  r  +  ∂ ∂  r   µ   − 23 ∇ · V   +  2 ∂  u r  ∂  r    +  1 r  ∂ ∂θ   µ   1 r  ∂  u r  ∂θ   +  ∂  u θ  ∂  r   +  ∂ ∂   z  µ   ∂  u r  ∂   z +  ∂  u  z ∂  r    +  2 µ  r   ∂  u r  ∂  r  − 1 r  ∂  u θ  ∂θ   − u r  r   ρ  ∂  u θ  ∂  t  + u r  ∂  u θ  ∂  r  +  u θ  r  ∂  u θ  ∂θ   +  u  z ∂  u θ  ∂   z +  u r  u θ  r    =  ρ g θ   − 1 r  ∂   p ∂θ  +  1 r  ∂ ∂θ   µ   − 23 ∇ · V   +  2 r  ∂  u θ  ∂θ   +  2 u r  r    +  ∂ ∂   z  µ   ∂  u θ  ∂   z +  1 r  ∂  u  z ∂θ   +  ∂ ∂  r   µ   ∂  u θ  ∂  r  − u θ  r  +  1 r  ∂  u r  ∂θ    +  2 µ  r   1 r  ∂  u r  ∂θ   +  ∂  u θ  ∂  r  − u θ  r   ρ  ∂  u  z ∂  t  + u r  ∂  u  z ∂  r  +  u θ  r  ∂  u  z ∂θ   +  u  z ∂  u  z ∂   z   =  ρ g  z  − ∂   p ∂   z +  ∂ ∂   z  µ   − 23 ∇ · V   +  2 ∂  u  z ∂   z   +  ∂ ∂  r   µ   ∂  u  z ∂  r  +  ∂  u  z ∂   z  +  1 r  ∂ ∂θ   µ   1 r  ∂  u  z ∂θ   +  ∂  u θ  ∂   z   +  µ  r   ∂  u r  ∂   z +  ∂  u  z ∂  r   (20) ρ c  p  ∂  T  ∂  t  +  u r  ∂  T  ∂  r  +  u θ  r  ∂  T  ∂θ   +  u  z ∂  T  ∂   z   =  ρ  ˙ q g  +  1 r  ∂ ∂  r   kr  ∂  T  ∂  r    +  1 r  ∂ ∂θ   k r  ∂  T  ∂θ   +  ∂ ∂   z  k  ∂  T  ∂   z   +  β  T   ∂   p ∂  t  +  u r  ∂   p ∂  r  +  u θ  r  ∂   p ∂θ   +  u  z ∂   p ∂   z   + Φ  (21)4
We Need Your Support
Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

Thanks to everyone for your continued support.

No, Thanks