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1. Funções vetoriais I) Funções vetoriais a valores reais: I = intervalo da reta real denominada domínio da função vetorial f = {conjunto de todos os valores…
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  • 1. Funções vetoriais I) Funções vetoriais a valores reais: I = intervalo da reta real denominada domínio da função vetorial f = {conjunto de todos os valores possíveis de t, para os quais todas as componentes estão definidas}. (t))f(t),....,f(t),(f(t)ft n21= →⊂ r a r n RRI:f para os quais todas as componentes estão definidas}. Imagem f : conjunto de vetores Cassi particular: Exemplo 1: defina o domínio e a imagem da função vetorial a seguir: (t))f(t),f(t),(f(t)ft 321 3 = →⊂ r a r RRI:f )()()()( 321 fDomfDomfDomfDom II= )1-tt),-ln(41),(sin(t(t)ft 3 ++= →⊂ r a r RRI:f
  • 2. )sin(t),- t-4 1 1,((t)ft 2 3 += →⊂ t RRI:f r a r Exemplo 2.- Defina o domínio e a imagem da função vetorial a Seguir Resposta: Dom(f)={...,[-4pi,-3pi],[-2pi,-pi],[0,pi]}. Curva espacial: dada uma função vetorial Tal que f1(t), f2(t),...fn(t) são funções reais continuas no domínio da função vetorial f. Então o conjunto V de pontos do espaço R3 tais que x1 = f1(t), x2 = f2(t),x3 = f3(t),......xn = fn(t)...............(*) ; e t variando no domínio de f é chamado de curva espacial. As equações (*) são denominadas equações paramétricas de V (t))f(t),....,f(t),(f(t)ft n21= →⊂ r a r n RRI:f
  • 3. Curvas no espaço tri-dimensional R3 Quando uma partícula se movimenta no espaço R3, ela descreve uma curva r(t) denominada trajetória. ))(),(),(((t))r(t),r(t),(r(t)rt ],[ 321 3 tztytx RbaI:r == →= a Exemplo: seja a função vetorial definida no espaço R3 Esta função define uma curva no espaço R3, denominada de helicóide. )),sin(),cos(()( vttatatf = r
  • 4. usando Maple > restart; #helicoide > with(plots): > a:=3: v:=2: # dados para ajustar a curva > spacecurve( [a*cos(t), a*sin(t), v*t], t=0..5*Pi, axes=box, labels=[x,y,z], thickness=2);
  • 5. Uma curva plana é um conjunto r de pares ordenados de reais ( f(t), g(t) ), em que f(t) e g(t) são funções reais contínuas em um intervalo I. Y r =(x,y) curva no plano R2 x = f(t) equação y = g(t) paramétrica I t f g P y 0 x X y = g(t) paramétrica Exemplo: a função vetorial define uma curva plana denominada de ciclóide, v,r, w são constantes. ))cos(),sin(()( wtrrwtrvttf −−= r
  • 6. > restart; #cicloide > with(plots): > v:=2:w:=1:R:=2: > plot( [v*t-R*sin(w*t), R-R*cos(w*t), t=0..5*Pi], scaling=constrained, thickness=2, color=blue,labels=[x,y]); http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/ci cloide.htm
  • 7. Funções vetoriais: representação gráfica Importante: A parametrização define uma orientação na curva
  • 8. Limite de funções vetoriais Definição: Sejam uma função vetorial que define uma curva no espaço R3, tal que r(t)=(x(t),y(t),z(t)) = x(t) i+ y(t) j + z(t) k, Logo, dizemos que r tem limite L a medida que t se aproxima a to e escrevemos assim: )(tr r Desde que os limites das funções componentes existam. 302010 3210 lz(t)lim,ly(t)lim,lx(t)lim ),l,l,(lLr(t)lim === == →→→ → tttttt tt εδ δε <−⇒<−< ∀>∃>∀ =→ |)(|||0 t0,0 ,)(limO 0tt Ltrtt tal que sesomenteexiste seLtr o rr r Definição formal :
  • 9. Exemplo 1, Seja a função , demonstrar que : Exemplo 2 Seja a função , demonstra que : Continuidade de funções vetoriais ),1()( 2 tttr += r )0,1()(lim 0 ==→ Ltrt rr )1,,()( 2 += tettr tr )1,1,0()(lim 0 ==→ Ltrt rr Continuidade de funções vetoriais Uma função vetorial r(t) será contínua em um ponto t=t0, do seu domínio se L,))(z),(y),((x)(rc) existe)() existeL(t)rlim) 0000 0 0 == =→ tttt trb a tt r r r
  • 10. Exemplo 2. Verifique se a função vetorial abaixo é contínua para .t= 0 Exemplo 1. Verifique se é contínua em ktjtittr rrrr )cos()sin()( ++= )(tr r 4/π=t Continuidade de funções vetoriais. para .t= 0
  • 11. Derivada de uma função vetorial Definição: Seja uma função vetorial, ela é derivável ou tem derivada, se as derivadas das componentes x(t),y(t),z(t) estão bem definidas para todo t do domínio de Interpretação geométrica da derivada de uma ), dt dz , dt dy , dt dx ( (t)r-)(tr lim)(')( 0 = + === →∆ h h dt rd trtr t rrr r&r )(tr v )(tr v Interpretação geométrica da derivada de uma função vetorial. Seja r(t) o vetor posição de uma partícula em movimento no espaço R3 . A função é a velocidade da partícula e é um vetor tangente à trajetória espacial descrita pela partícula (para cada instante do tempo t). )(tr&r
  • 12. L P0 Z P V Seja P=(x,y,z) ϵ L, P0=(x0,y0,z0) ϵ L, V é um vetor paralelo a L. Exemplo 1: Determine a derivada da função vetorial a) f(t) = (t2, cos(t),4 t) b) f(t) = (2t-3sin(2t), 3-3cos(2t)) usando a definição Equação vetorial de uma reta L 0 Y X V ϵ V é um vetor paralelo a L. Logo: Forma paramétrica da equação da reta L. x= x0 + vx t Y= yo + vy t z= z0 + vz t , sendo v = (vx,vy,vz) t}{: 0 VPPL +==
  • 13. Regras de derivação Seja u,v funções vetoriais de variável real t; a e b são números reais, e f(t),g(t) são funções reais de variável real t. , )( )()( )()]()([ .3 , )()]([ .2 , )()()]()([ .1 tvd tftv tdftvtfd dt tud a dt tuad dt tvd dt tud dt tvtud += = += + r r r rr rrrr vetorial , )()())](([ .6 , )( )()( )()]()([ .5 , )( )()( )()]()([ .4 , )( )()( )()]()([ .3 produto escalarproduto dt tdf df fud dt tfud dt tvd tutv dt tud dt tvtud dt tvd tutv dt tud dt tvtud dt tvd tftv dt tdf dt tvtfd →× → = ×+×= × += += o rr r rr rrr r o rr o rr o r r
  • 14. Exercícios Exercício 1.- Determine a velocidade v(t) e a aceleração a(t) de uma partícula que descreva a seguinte curva (trajetória) r(t)=(2t, 8-3t2,3t+4)m. Exercício 2.- Seja uma partícula pontual que segue uma trajetória dada pela curva, definida assim: R, w, V são constantes. R =2,w = 1, v = R.w = 2. 2: RI→α Rcos(wt)),-RRsin(wt),-(vtα(t)t:α =→ R, w, V são constantes. R =2,w = 1, v = R.w = 2. a) Determine a posição, velocidade e aceleração no instante t=0s, e t=3π/2. b) Determine a equação da reta tangente a curva α no instante t=3π/2. Exercício 3.-Demonstre a propriedade 4 e 6 da regra de derivação.
  • 15. Integral de uma função vetorial Seja f(t) =(x(t),y(t),z(t)) uma função vetorial, definição: se as componentes de f são integráveis sobre I=[a,b],então ktzjtyitxdttf b a b a b a b a ))(())(())(()( ∫∫∫ ∫ ++= Ipartiçãodet n ab tttrdttr i ni i in b a ,,)(lim)( 1 ∈ − =∆∆= ∗ = = ∗ ∞→ ∑∫ rr Exemplo: Calcular a integral da função f(t)= ((cos(w t))2, t3+2t+1), Comprimento de arco para curvas lisas Quando uma partícula percorre uma determinada Trajetória no espaço, ela descreve uma curva, o comprimento desta curva entre dois instantes dado t0 e t1 se denomina comprimento de arco aaa a
  • 16. Comprimento de arco 22 dydxdl += Definição: O comprimento “L” de uma curva lisa r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, tal que t ϵ [a,b] é dt dt dz dt dy dt dx L b a )()()( 222 ∫ ++=
  • 17. Comprimento de arco Se então a formula do comprimento de arco fica ),,()(')( zyx vvvtrtr dt rd v ==== r&r r dttrdtvL b a b a |)('||| ∫∫ == Exemplo: Determine o comprimento de arco da ciclóide r(t)=(2t-2 sin(t), 2-2 cos(t)) entre t=0 e t= 2pi 0 2π t aa
  • 18. FUNÇÃO COMPRIMENTO DE ARCO ∫∫ == t t t t vdt dt rd ts 00 dt||)( s(t) é o comprimento da curva r(t) desde o instante t0 ate o instante t. Sendo v o módulo da velocidade, ou chamada também como velocidade escalar. )(tv dt ds = também como velocidade escalar. Usando um pouco de cálculo Importante: Como s=s(t) então Logo : O comprimento de arco de uma curva arbitrária não depende da parametrização. dt dt ds ds =
  • 19. ds||| )( | 1 0 1 0 ∫∫ == st t ds rd dt dt trd L “O comprimento de arco de uma curva entre dois pontos é invariante pela re-parametrização” Exercícios 1.- estude a continuidade da função vetorial f(t)=(2t-2sin(t),2-2cos(t)) no ponto t=2π.f(t)=(2t-2sin(t),2-2cos(t)) no ponto t=2π. 2.- Determine o limite da função vetorial f(t)=(2t3,4t2,3t+4) quando t se aproxima a t0=1. 3.-Do exercício anterior determine f´(t) para todo t ϵ R. qual é o ângulo que forma o vetor f´(t) como o vetor f(t) no instante t. 4.-Determine a função comprimento de arco s(t) para a ciclóide do exercício 2.
  • 20. TRAJETÓRIA DE UMA PARTÍCULA EM CAMPOS ELÉTRICOS E MAGNÉTICOS http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/viewtopic.php?t=53
  • 21. Movimento de uma partícula no espaço R3 Sabemos que 1T.T, || === v V V V T 0. =T dt Td Analisemos a velocidade de uma partícula dt vTtV .)( = Derivando esta equação temos ds Td2 vTaa t += Definamos : || ds Td K =
  • 22. Curvatura K N ds Td ds Td ds Td K r rr |||,| == Sendo vetor unitárioN r 0.temos0,T.T == T ds Td de rr k 1 =ρ, considerando o radio de curvatura Finalmente N 2 ρ v Taa t += ds Logo deve ser ortogonal a , seu vetor unitário também ds Td r T r 0. =NT rr
  • 23. Aceleração instantâneaa dt dv aT = Aceleração tangencial 2 v Aceleração centrípeta ou radial ρ 2 v acpta = Aceleração centrípeta ou radial Sempre orientada á parte côncava Da trajetória. Suponhamos que : )(srr r = , definamos ds rd r =τ ),,( ds dz ds dy ds dx =τ
  • 24. 1)()()(|| 222 =++= ds dz ds dy ds dx τ Logo τ rr ≡T rd 2 rr rddTd | ds rd ||)(||| 2 2 === ds rd ds d ds Td K 2 2 2 2 2 2 2 2 2 )()()( ds zd ds yd ds xd K ++= Logo, em forma explicita
  • 25. Triedro de Frenet-Serret TNB ×= Vetor binormal Exercícios 1.- Provar que 2.- Provar que 3.- Provar que 1|| =B v Va V Va a T . || . == 3 || v aV k × =
  • 26. Exercícios.. Continua 4.- Em relação á ciclóide estudada no começo a) Determine o vetor T, N,B para a ciclóide no instante t=3pi/2. b) Determine a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta para todo instante t. Particularize paracentrípeta para todo instante t. Particularize para t=3pi/2 c) Determine a curvatura k(t) para todo instante de Tempo. c) Interprete seus resultados. 5.- demonstre que no casso de uma circunferência de radio a, a curvatura K em qualquer ponto da circunferência é sempre a mesma e é 1/a.
  • 27. Exercícios.. Continua 6.- Seja uma partícula descrevendo uma helicóide r(t)=(2cos(t), 2sen(t),2t) no espaço R3 a) Determine a velocidade e a aceleração instantânea para todo instante t. b) Determine o vetor unitário tangente T, para todo instante t.instante t. c) Determine a equação da reta tangente a helicóide no Instante t=pi/4. d) Determine a função comprimento de arco s(t) em função do tempo t. e) Determine a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta para todo instante t. Particularize para t=pi/4.
  • 28. Exercícios.. Continua f).- Determine os vetores N e B para todo instante t. http://www.atractor.pt/mat/curvtor/exemplo_3D_2.htm http://www.atractor.pt/mat/curvtor/exemplo_3D_1.htm http://demonstrations.wolfram.com/FrenetFrame/
  • 29. Equação de um plano. Seja um plano M imerso no espaço euclidiano R3 onde n é um vetor perpendicular ao plano M, então conhecendo um ponto Po=(xo,yo,zo) que pertence ao plano P, podemos determinar a equação algébrica que obedece todos os pontos (x,y,z) do plano M.obedece todos os pontos (x,y,z) do plano M. Basicamente, ela disse que toda reta contida no plano (ou todo vetor contido no plano), é perpendicular ao vetor normal n. dado n=(a,b,c) 0. =PPn o (O produto escalar entre n e P0P é nulo) Seja P=(x,y,z) um ponto arbitrario do plano M
  • 30. Equação de um plano. 0=+++ dczbyax Onde a constante d pode se achar avaliando a equação em qualquer ponto que pertence ao plano.
  • 31. r n C ΒΒΒΒ Paralelismo entre rectas e planos o vector director (da recta r) é perpendicular ao vector (n) normal ao plano n A José Maria Plano_08
  • 32. s D Perpendicularidade entre rectas e planos o vector director da recta (s) é colinear com o vector (n) normal ao plano αααα n s A C José Maria Plano_09
  • 33. αααα n Paralelismo entre dois planos os vectores normais aos planos ( n e p ) são colineares ββββ αααα p José Maria Plano_10
  • 34. αααα n Paralelismo entre dois planos os vectores normais aos planos ( n e p ) são colineares ββββ αααα p José Maria Plano_10
  • 35. Interseção de dois planos n =(a ,b ,c )n1=(a1,b1,c1) n2=(a2,b2,c2) |||| . )cos( 21 21 nn nn =θ 21211121. ccbbaann ++=
  • 36. Exercícios. Exercício 1.- Seja M um plano paralelo ao plano xy localizada a uma distancia c da origem de coordenadas. Determine a equação deste plano. Exercício 2.-Encontre a distancia do ponto Q=(1,2,1) ao plano M com equação x+y+z=6 Exercício 3.- Seja os planosExercício 3.- Seja os planos M1 : 3x+2y+z+4=0, M2: z=0, a) Determine o ângulo entre estes planos b) Determine a equação da reta proveniente da interseção dos dois planos. http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2001/icm23/geometriaeuclid eana.htm Site recomendado para entender melhor a geometria euclidiana
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