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  Draft Lecture Notes in: FRACTURE MECHANICSVictor E. Saouma Dept. of Civil Environmental and Architectural EngineeringUniversity of Colorado, Boulder, CO 80309-0428  Draft Contents 1 INTRODUCTION 1 1.1 Modes of Failures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Examples of Structural Failures Caused by Fracture . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Fracture Mechanics vs Strength of Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Major Historical Developments in Fracture Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Coverage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 PRELIMINARY CONSIDERATIONS 1 2.1 Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.1 Indicial Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1.2 Tensor Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.3 Rotation of Axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.4 Trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.5 Inverse Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.6 Principal Values and Directions of Symmetric Second Order Tensors . . . 62.2 Kinetics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.1 Force, Traction and Stress Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.2 Traction on an Arbitrary Plane; Cauchy’s Stress Tensor . . . . . . . . . . 8E 2-1 Stress Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.3 Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.4 Spherical and Deviatoric Stress Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.5 Stress Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.6 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Kinematic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.1 Strain Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2 Compatibility Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Fundamental Laws of Continuum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4.1 Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4.2 Fluxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.3 Conservation of Mass; Continuity Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.4 Linear Momentum Principle; Equation of Motion . . . . . . . . . . . . . . 162.4.5 Moment of Momentum Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.6 Conservation of Energy; First Principle of Thermodynamics . . . . . . . . 182.5 Constitutive Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5.1 Transversly Isotropic Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5.2 Special 2D Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5.2.1 Plane Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  Draft CONTENTS iii 5.1.1.2 Ideal Strength in Terms of Engineering Parameter . . . . . . . . 45.1.2 Shear Strength . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.2 Griffith Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.2.1 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 ENERGY TRANSFER in CRACK GROWTH; (Griffith II) 1 6.1 Thermodynamics of Crack Growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.1 General Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.2 Brittle Material, Griffith’s Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.2 Energy Release Rate; Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56.2.1 From Load-Displacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56.2.2 From Compliance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66.3 Energy Release Rate; Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86.4 Crack Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.4.1 Effect of Geometry; Π Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.4.2 Effect of Material;  R  Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.4.2.1 Theoretical Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.4.2.2  R  vs  K  Ic  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.4.2.3 Plane Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.4.2.4 Plane Stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7 MIXED MODE CRACK PROPAGATION 1 7.1 Analytical Models for Isotropic Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.1.1 Maximum Circumferential Tensile Stress. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.1.2 Maximum Energy Release Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37.1.3 Minimum Strain Energy Density Criteria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47.1.4 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.2 Empirical Models for Rocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.3 Extensions to Anisotropic Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97.4 Interface Cracks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137.4.1 Crack Tip Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.4.2 Dimensions of Bimaterial Stress Intensity Factors . . . . . . . . . . . . . . 167.4.3 Interface Fracture Toughness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.4.3.1 Interface Fracture Toughness when  β   = 0 . . . . . . . . . . . . . 197.4.3.2 Interface Fracture Toughness when  β    = 0 . . . . . . . . . . . . . 207.4.4 Crack Kinking Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207.4.4.1 Numerical Results from He and Hutchinson . . . . . . . . . . . 217.4.4.2 Numerical Results Using Merlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.4.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 II ELASTO PLASTIC FRACTURE MECHANICS 29 8 PLASTIC ZONE SIZES 1 8.1 Uniaxial Stress Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.1 First-Order Approximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.1.2 Second-Order Approximation (Irwin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.1.2.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Victor Saouma Fracture Mechanics  Draft CONTENTS v 11.11Dynamic Energy Release Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3111.12Effect of Other Loading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311.12.1Surface Tractions on Crack Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311.12.2Body Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311.12.3Initial Strains Corresponding to Thermal Loading . . . . . . . . . . . . . 3411.12.4Initial Stresses Corresponding to Pore Pressures . . . . . . . . . . . . . . 3511.12.5Combined Thermal Strains and Pore Pressures . . . . . . . . . . . . . . . 3711.13Epilogue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 IV FRACTURE MECHANICS OF CONCRETE 41 12 FRACTURE DETERIORATION ANALYSIS OF CONCRETE 1 12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Phenomenological Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.1 Load, Displacement, and Strain Control Tests . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.2 Pre/Post-Peak Material Response of Steel and Concrete . . . . . . . . . . 312.3 Localisation of Deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3.1 Experimental Evidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3.1.1  σ -COD Diagram, Hillerborg’s Model . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3.2 Theoretical Evidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.3.2.1 Static Loading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.3.2.2 Dynamic Loading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.3.2.2.1 Loss of Hyperbolicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.3.2.2.2 Wave Equation for Softening Maerials . . . . . . . . . . 1112.3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312.4 Griffith Criterion and FPZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 13 FRACTURE MECHANICS of CONCRETE 1 13.1 Linear Elastic Fracture Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1.1 Finite Element Calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.2 Testing Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.3 Data Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Nonlinear Fracture Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.1 Hillerborg Characteristic Length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.1.1 MIHASHI data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2.2 Jenq and Shah Two Parameters Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2.3 Size Effect Law, Baˇzant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2.4 Carpinteri Brittleness Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3 Comparison of the Fracture Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3.1 Hillerborg Characteristic Length,  l ch  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3.2 Baˇzant Brittleness Number,  β   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.3.3 Carpinteri Brittleness Number,  s  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.3.4 Jenq and Shah’s Critical Material Length,  Q  . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.3.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.4 Model Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Victor Saouma Fracture Mechanics
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