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1. 2 Matemática © 3ª Edição - 2002 R&A Editora Autor: Professor Joselias Santos da Silva Revisão: Silvio Luis Motta Editoração Eletrônica: Valquíria Farias…
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  • 1. 2 Matemática © 3ª Edição - 2002 R&A Editora Autor: Professor Joselias Santos da Silva Revisão: Silvio Luis Motta Editoração Eletrônica: Valquíria Farias dos Santos Capa: Studio Color Company - ( 3326.8366 Projeto Gráfico: R&A Editora R&A Editora Cursos e Materiais Didáticos Ltda Rua Sete de Abril, 230 - 11º andar - Bloco B - São Paulo - Cep.: 01044-000 Fone: (011) 3258.8153 - 3259.7703 - Fax: (011) 3214.0182 TODOS OS DIREITOS RESERVADOS. Proibida a reprodução total ou parcial, por qualquer meio ou processo, especial- mente por sistemas gráficos, microfilmicos, fotográficos, repográficos, fonográficos, videográficos. Vedada a memorização e/ou a recuperação total ou parcial, bem como a inclusão de qualquer parte desta obra em qualquer sistema de processamento de dados. Essas proibições aplicam-se também às características gráficas da obra e à sua editoração. A violação dos direitos autorais é punível como crime (art. 184 e §§ do C.P.), com pena de prisão e multa, busca e apreensão e indenizações diversas (arts. 101 à 110 da Lei 9.610 de 19/02/1998, Lei dos Direitos Autorais). Impresso no Brasil Printed in Brazil R&A Editora Cursos e Materiais Didáticos Ltda.(setor gráfico)
  • 2. 3 Matemática Concursos Públicos MATEMÁTICA São Paulo TEORIA Com mais de 500 questões resolvidas e comentadas Joselias Santos da Silva
  • 3. 4 Matemática Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Silva, Joselias Santos da, 1957- Concursos Públicos: matemática : teoria, com mais de 500 questões resolvidas e comentadas / Joselias Santos da Silva. -- São Paulo : R&A Editora Cursos e Materiais Didáticos, 1999. Bibliografia. 1. Matemática - Concursos públicos I. Título 99-2008 CDD-510.76 Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Concursos públicos 510.76
  • 4. 5 Matemática Índice 1. As quatro operações com números inteiros, fracionários e decimais; Números Pares, Ímpares, Primos e Compostos; ........................................... 7 • Operações e propriedades com números inteiros ........................................... 8 • Números Pares ............................................................................................. 11 • Números Ímpares.......................................................................................... 11 • Divisibilidade ................................................................................................. 11 • Múltiplos e Divisores...................................................................................... 14 • Números Primos ........................................................................................... 14 • Números Compostos:.................................................................................... 15 • Máximo Divisor Comum (MDC) ..................................................................... 15 • Mínimo Múltiplo Comum (MMC) .................................................................... 15 • Números Fracionários e Decimais ................................................................ 18 • Operações nas Formas Fracionárias e Decimais.......................................... 20 2. Sistema Métrico Decimal (medidas de comprimento, área, volume, capacidade, massa e tempo) ......................................................................... 32 • Sistema Métrico Decimal............................................................................... 32 • Medidas de Superfície (área) ........................................................................ 36 • Medida de Volume ......................................................................................... 37 • Medidas de Capacidade ................................................................................ 38 • Medidas de Massa ........................................................................................ 39 • Medidas não decimais ................................................................................... 39 3. Juros e Porcentagem ..................................................................................... 51 • Conceitos de Matemática Financeira ............................................................ 51 • Regime de Capitalização ............................................................................... 53 • Capitalização Simples ................................................................................... 55 • Porcentagem ................................................................................................. 63 4. Razão e Proporção; Regra de Três Simples e Composta; Divisões Proporcionais.................................................................................. 71 • Razões e Proporções .................................................................................... 71 • Série de Razões iguais ou porporções em série ........................................... 74 • Razões .......................................................................................................... 76 • Divisões Proporcionais .................................................................................. 76
  • 5. 6 Matemática • Regra de Sociedade ...................................................................................... 80 • Regra de Três Simples .................................................................................. 90 • Regra de Três Composta .............................................................................. 92 5. Sistema do 1º grau ......................................................................................... 98 6. Potenciação e Radiciação............................................................................ 104 • Potenciação................................................................................................. 104 • Radiciação .................................................................................................. 105 • Produtos Notáveis ....................................................................................... 105 7. Equação do 2º grau ...................................................................................... 107 • Trinômio do 2º grau ..................................................................................... 107 • Inequação do 2º grau .................................................................................. 110 8. Questões Resolvidas e Comentadas .......................................................... 117 9. Bibliografia.................................................................................................... 285
  • 6. 7 Matemática As quatro operações com Números Inteiros, Fracionários e Decimais; Números Pares, Ímpares, Primos e Compostos; MMC e MDC; Divisibilidade. A matemática desenvolvida nesta apostila não terá o compromisso de ensinar os verdadeiros princípios de numeração que motivaram a criação dos números. Lembramos ao leitor que este material está voltado aos candidatos aos concursos públicos que exigem o segundo grau completo, portanto partimos da premissa que o aluno já possui a iniciação matemática necessária ao entendimento dos assuntos abordados, não sendo precisos detalhes triviais do 1° grau. Representaremos inicialmente os números naturais: 0, 1, 2, 3, 4,... A coleção de todos os números naturais representaremos pela letra N e chamare- mos de conjunto dos números naturais, então : N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ... }. Assim, o leitor já observou que os números naturais servem para contar, e este foi o grande salto da humanidade no sentido matemático, quando as primeiras civiliza- ções começaram a contar seus rebanhos. A seguir, traremos a idéia de números inteiros; suponha que na reta marquemos os pontos como na figura: ... –3 –2 –1 0 1 2 3 4 ... Os pontos marcados representam os números inteiros e observe que teremos intei- ros positivos, negativos, não positivos e não negativos. Então, Z é o conjunto dos números inteiros. Daí: Z = { ... –4 , –3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... } Representaremos por Z– o conjunto dos números não positivos. Daí : Z– = { ... –4 , –3 , –2 , –1 , 0 } Se no conjunto dos inteiros considerarmos apenas os números não negativos, tere- mos a notação Z+ . Logo : Z+ = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... } Obs.: Você viu que o conjunto dos inteiros não negativos é o conjunto dos naturais?
  • 7. 8 Matemática Vamos introduzir a notação com (*), para dizer que o conjunto não possui zero, isto é, Z* = Z – { 0 } = {... –3 , –2 , –1 , 1 , 2 , 3... } Então, representaremos por conjunto dos números inteiros negativos a : Z*– = { ... , –3, –2, –1 } Analogamente representaremos por conjunto dos inteiros positivos a : Z*+ = {1 , 2 , 3 , 4 , ... } OPERAÇÕES E PROPRIEDADES COM NÚMEROS INTEIROS A. ADIÇÃO Chamaremos de adição à operação de reunir em um só número as quantida- des representadas por dois ou mais números. Representaremos a operação de adição pelo símbolo “+”. Ao resultado da adição chamaremos de soma. Exemplo : Seja uma caixa A com 10 canetas Seja uma caixa B com 20 canetas Então, o total de canetas será a adição das quantidades das caixas A e B representaremos por 10 + 20 = 30. Ao resultado da adição chamaremos de soma, isto é, 30 canetas é o resultado da adição de 10 canetas com 20 canetas. PROPRIEDADES Sejam os números inteiros: Então: I. a + 0 = a ( Existência do neutro). O número não se altera quando adicionamos o 0 (zero). II. a + b = b + a A adição é comutativa. III. a + b + c = a + ( b + c ) = ( a + b ) + c A adição é associativa. Exemplo: Uma pessoa tinha x livros. Comprou mais 5 livros, com quantos livros ficou ? Resposta : ( x + 5 ) livros. Exemplo: Uma microempresa possui 3 funcionários ( A, B e C ). Se A ganha R$ 300,00, B ganha R$ 400,00 e C ganha R$ 500,00, qual o valor da folha de pagamento da microempresa?
  • 8. 9 Matemática SOLUÇÃO A adição entre 300, 400 e 500 é 300 + 400 + 500 = R$ 1.200,00 B. SUBTRAÇÃO Chamaremos subtração à operação de achar a quantidade que um número excede o outro e esta operação representaremos pelo símbolo “ – “. Ao resul- tado da subtração chamaremos de diferença. Exemplo: Suponhamos que uma pessoa tinha 40 canetas e perdeu algumas ficando com 30 canetas ao final. Quantas canetas ela perdeu ? SOLUÇÃO A subtração entre 40 e 30 é 40 – 30 = 10 canetas perdidas. Exemplo: Suponha que um vendedor ambulante tinha 50 canetas para vender. Se du- rante a manhã ele vendeu 15 canetas e à tarde vendeu 18 canetas, com quantas canetas acabou o dia ? SOLUÇÃO 50 – 15 – 18 = 35 – 18 = 17 Canetas C. MULTIPLICAÇÃO Chamamos de multiplicação à operação de realizar a adição de um número quantas vezes for o outro. A operação de multiplicação representaremos pelo símbolo “×”. Ao resultado da multiplicação chamaremos de produto. Aos números envolvidos na opera- ção chamamos de fatores. Exemplo: a. 3 × 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 b. 7 × 4 = 7 + 7 + 7 + 7 = 28 c. 10 × 6 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60 PROPRIEDADES 1. A ordem dos fatores não altera o produto (Comutativa). Exemplo: a. 2 × 3 = 3 × 2 = 6 b. 5 × 4 × 3 = 4 × 3 × 5 = 3 × 4 × 5 = 60 2. Associativa 5 × 3 × 4 × 2 = 5 × 12 × 2 = 120
  • 9. 10 Matemática 3. Qualquer número multiplicado por “0” tem como resultado zero. 2 × 0 = 0 3 × 4 × 0 = 0 4. O produto de qualquer número por 1 é igual ao próprio número. a × 1 = a 120 × 1 = 120 D. DIVISÃO Chamamos de divisão de um número (dividendo) por outro número (divisor) à operação de achar um terceiro número (quociente) tal que multiplicado pelo divisor produza o dividendo. A operação de divisão será representada pelo símbolo “ : ” Exemplo Dividir 650 por 13 é encontrar um número (50) tal que 50 multiplicado por 13 produza 650. 650 50 13 dividendo quociente divisor x 1 24 34 1 24 34 124 34 = PROPRIEDADES 1. O quociente da divisão de um número por 1 é o próprio número: 30 ÷ 1 = 30 27 ÷ 1 = 27 2. Um número, diferente de zero, dividido por ele mesmo é sempre igual a 1. 20 ÷ 20 = 1 47 ÷ 47 = 1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. Efetue os produtos : a. 9 × 9 = b. 9 × 98 = c. 9 × 987 = d. 9 × 9876 = e. 9 × 987.654.321 = RESPOSTA a. 81 b. 882 c. 8883 d. 88.884 e. 8.888.888.889.
  • 10. 11 Matemática 02. Efetue os produtos : a. 12.345.679 × 9 = b. 12.345.679 × 18 = c. 12.345.679 × 27 = d. 12.345.679 × 45 = RESPOSTA a. 111.111.111 b. 222.222.222 c. 333.333.333 d. 555.555.555 03. Efetue a divisão. 888.888.888 ÷ 98.765.432 RESPOSTA 9 (veja exercício 01) NÚMEROS PARES Chamamos de números pares aos números que terminam com 0, 2, 4, 6 ou 8. NÚMEROS ÍMPARES Chamamos de números ímpares aos números que terminam com 1, 3, 5, 7 ou 9. DIVISIBILIDADE Esta parte do material irá tratar das regras que permitem dizer se um número é divisível por outro sem precisar efetuar os cálculos. DIVISIBILIDADE POR 2 Um número é divisível por 2 quando é par ( termina em 0 , 2 , 4 , 6 , 8 ). Exemplos: 10 , 24 , 1.208 DIVISIBILIDADE POR 3 Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos produz como resultado um número múltiplo de 3. Exemplo: a. 36 (3 + 6 = 9) b. 147 (1 + 4 + 7 = 12) DIVISIBILIDADE POR 4 Um número é divisível por 4 quando os 2 últimos algarismos formam um número divisível por 4. Exemplo: a. 840 (40 é divisível por 4) b. 1.232 (32 é divisível por 4) c. 987.624 (24 é divisível por 4)
  • 11. 12 Matemática DIVISIBILIDADE POR 5 Um número é divisível por 5 quando termina em zero ou cinco. Exemplo: a. 1.230 b. 1.345 DIVISIBILIDADE POR 6 Um número é divisível por 6, quando é divisível por 2 e 3, simultaneamente. Portanto, tem que ser par e divisível por 3. Exemplo: a. 324 b. 126 DIVISIBILIDADE POR 7 Não há regra, porém vou apresentar um algoritmo que certa vez um professor me apresentou. Exemplo: 315 é divisível por 7. Veja como verificar: 1º Sempre separe a casa das unidades. n n 31 n 5 n n 2º Multiplique o algarismo à direita da separação por 2, e subtraia do algarismo à esquerda. Logo: 31 – 2 X 5 = 31 – 10 = 21 3º Se o resultado for divisível por 7, então o número original é divisível por 7. Exemplo: 8.638 é divisível por 7. n n 863 n 8 n n 863 – 8 X 2 = 863 – 16 = 847.
  • 12. 13 Matemática n n 84 n 7 n n 84 – 7 X 2 = 70 é divisível por 7. Logo 8.638 é divisível por 7. DIVISIBILIDADE POR 8 Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismos formam um número divisível por 8. Exemplo: a. 12.160 é divisível por 8, pois 160 é divisível por 8. b. 23.800 é divisível por 8, pois 800 é divisível por 8. DIVISIBILIDADE POR 9 Um número é divisível por 9, quando a soma dos seus algarismos formam um número divisível por 9. Exemplo: a. 297 é divisível por 9, pois 2 + 9 + 7 = 18 é divisível por 9. b. 1.107 é divisível por 9, pois 1 + 1 + 0 + 7 = 9 é divisível por 9. c. 8.883 é divisível por 9, pois 8 + 8 + 8 + 3 = 27 é divisível por 9. DIVISIBILIDADE POR 10 Um número é divisível por 10 quando termina em 0 (zero). Exemplo: a. 12.340 é divisível por 10. b. 987.650 é divisível por 10. DIVISIBILIDADE POR 11 Um número é divisível por 11, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem par e a soma dos algarismos de ordem ímpar é divisível por 11. Exemplo: a. 14.927 é divisível por 11 pois, • soma dos algarismos de ordem par: 4 + 2 = 6 • soma dos algarismos de ordem ímpar: 1 + 9 + 7 = 17 Diferença: 17 – 6 = 11 é divisível por 11.
  • 13. 14 Matemática Exemplo: a. 909.293 é divisível por 11. • soma dos algarismos de ordem par: 0 + 2 + 3 = 5 • soma dos algarismos de ordem ímpar: 9 + 9 + 9 = 27 Diferença: 27 – 5 = 22 é divisível por 11. MÚLTIPLOS E DIVISORES Sendo x e y números inteiros; x é múltiplo de y, se x é produto de y por um outro número inteiro z. Exemplo: a. 21 é múltiplo de 7, pois 21 = 7 . 3 b. 21 é múltiplo de 3, pois 21 = 3 . 7 c. –9 é múltiplo de 3, pois –9 = 3 . (–3) d. 0 é múltiplo de 10 pois 0 = 10 . 0 Observamos que zero é múltiplo de qualquer número inteiro, pois 0 = x . 0, para qualquer número x ∈Z. Se x , y são números inteiros, definimos que x é múltiplo de y ou z , tal que x = y . z, nestas condições y e z são divisores de x. Exemplo: a. 3 é divisor de 21, pois 21 = 3 . 7 b. 7 é divisor de 21, pois 21 = 7 . 3 c. 3 é divisor de –9, pois 9 = 3 . (-3) d. 10 é divisor de 0, pois 0 = 10 . 0 Observação: Indicaremos por D(x) o conjunto dos divisores de x. Indicaremos por M (x) o conjunto dos múltiplos de x. D (x) = { d ∈ Z | d divide x } M (x) = { m ∈ Z | m é múltiplo de x } Exemplo: a. D(6) = { –6 , –3 , –2 , –1 , 1 , 2 , 3 , 6 } b. D(3) = { –3 , –1 , 1 , 3 } c. M(5) = { ... –15 , –10 , –5 , 0 , 5 , 10 , 15,...} d. M(–2) = { ... –4 , –2 , 0 , 2 , 4 , 6 ,.... } NÚMEROS PRIMOS Um número inteiro x , x ≠ ±1 é primo, se e somente se, seus únicos divisores são – 1, 1, –x, x.
  • 14. 15 Matemática Observação: Por esta definição observe que 0 , –1 , 1, não são primos. NÚMEROS COMPOSTOS: Chamamos de números pares aos números que possuem mais de dois divisores positivos. MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) Dados dois inteiros x e y, não nulos, seu máximo divisor comum, que se indica por MDC(x , y), é o maior elemento do conjunto ( ) ( )D x D yI . Exemplo: Sejam os inteiros 15 e 24 Então, temos: D (15) = { –15 , –5 , –3 , –1 , 1 , 3 , 5 , 15 } D (24) = { –24 , –12 , –8 , –6 , –4 , –3 , –2 , –1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24} O máximo divisor comum de 15 e 24 será o maior elemento de D (15) I D (24) = { –3 , –1 , –1 , 3 }, logo: MDC (15 , 24) = 3. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI Dizemos que dois inteiros são primos entre si, quando o MDC entre eles é um. Exemplo: 5 e 9 são primos entre si, pois o MDC (5 , 9) = 1 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) Dados dois inteiros x e y, não nulos, o mínimo múltiplo comum entre x e y, é o menor elemento positivo do conjunto M (x) I M (y) Exemplo: Considere os inteiros 6, 8. M (6) = { ... –36 , –30 , –24 , –18 , –12 , –6 , 0 , 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , .... } M (8) = { .... –40 , –32 , –24 , –16 , –8 , 0 , 8 , 16 , 24 , 32 , 40 , 48 , .... } M (6) I M(8) = { .... –24 , 0 , 24 , 48 .... } O MMC (6, 8) é o menor inteiro positivo do conjunto M (6) I M (8), logo o MMC (6 , 8) = 24.
  • 15. 16 Matemática Nota importante: Para se calcular o MDC ou MMC, consideramos a decomposição nos fatores primos. Sendo assim teremos: a. O MDC será o produto dos fatores primos comuns tomados com os menores expoentes b. O MMC será o produto de todos os fatores primos tomados com os maiores expoentes. Exemplo: Considere os inteiros 40 e 72. 40 2 72 2 20 2 36 2 10 2 18 2 5 5 9 3 1 3 3 1 40 = 2³ x 51 72 = 2³ x 3² Logo: MDC (40, 72) = 2³ = 8 MMC (40, 72) = 2³ x 3² x 51 = 8 x 9 x 5 = 360 Exemplo: Calcule: MDC (72, 120) e MMC (72, 120) 72 2 120 2 36 2 60 2 18 2 30 2 9 3 15 3 3 3 5 5 1 1 72 = 2³ x 3² 120 = 2³ x 31 x 51 MDC (72, 120) = 23 x 31 = 8 x 3 = 24 MMC (72, 120) = 23 x 32 x 51 = 8 x 9 x 5 = 360 Exemplo: Três satélites artificiais giram em torno da Terra, em órbita constante. O tempo de rotação do primeiro é de 42 minutos, o do segundo 72 minutos e o do terceiro 126 minutos. Em dado momento eles se alinham no mesmo meridiano, embora em latitudes diferentes. Eles voltarão a passar, em seguida, simultaneamente, pelo meridiano depois de :
  • 16. 17 Matemática a. 16h e 24 min b. 7h e 48 min c. 140 min d. 126 min e. 8h e 24 min SOLUÇÃO O tempo de rotação do satélite A = 42 min. O tempo de rotação do satélite B = 72 min. O tempo de rotação do satélite C = 126 min. Houve uma coincidência, a próxima coincidência ocorrerá daqui a: MMC (42, 72, 126) = 23 x 32 x 71 = 8 x 9 x 7 = 504 min. 42 2 72 2 126 2 21 3 36 2 63 3 7 7 18 2 21 3 1 9 3 7 7 3 3 1 1 42 = 21 X 31 X 71 72 = 23 X 32 126 = 21 X 32 X 71 Logo, decorrerão 504 minutos para que os satélites passem simultaneamente pelo mesmo meridiano. Dai, 504 min 60 24 min 8h Resposta: 8h e 24 min. “E” Exemplo: Dois ciclistas saem juntos, no mesmo instante e no mesmo sentido, do mesmo ponto de partida de uma pista circular. O primeiro dá uma volta em 132 segundos e o outro em 120 segundos. Calcule os minutos que levarão para se encontrar novamente. a. 1.320 b. 132 c.
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