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Tarea 2 Informativo

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  Pontificia Universidad Católica de ChileFacultad de MatemáticasDepartamento de MatemáticasSegundo Semestre del 2013 MAT150B * Tarea 2 Informativo y Construcción de Conocimiento Matemático Nombre:  Elizabeth Flores Cerda Fecha:  8 de noviembre del 2013 Profesor:  Claudio Rivera Ayudante:  Pamela Naranjo1  Tarea 2 1. Escribir en L A TEX la solución, con detalle, incluyendo imágenes y explicaciones, parael siguiente problema:Si  A  es un punto sobre la hipérbola de focos  F  1  y  F  2 , pruebe que el Lugar Geomé-trico de los puntos  P   tales que  F  1 P   =  PA  es una hipérbola. Justifique detalladamentesu respuesta.Desarrollo:Para probar que el lugar geométrico de los puntos  P   tales que  F  1 P   =  PA  es unahipérbola, es necesario fijarse en la siguiente imagen:2  Luego por construcción, trazamos el segmento  AF  2 Ahora,  A F  2 -  F  1 A  =  λ ; considerando la constante  λ  de la siguiente forma: CM   ∼ =  MF  2  por ser la mediatriz del segmento  CF  2 .Luego:  ∠  CMA ∼ =  ∠  F  2 MA  por mediatriz =  90 ◦ y que  AM   =  AM   por ser lado común.Por lo tanto:    ACM  ∼ =    AF  2 M   y por PCTCC  AC   ∼ =  AF  2 AC   -  AF  1  es igual al radio de la circunferencia, por lo tanto es constante.Como  AC   ∼ =  AF  2  y  AF  2  -  AF  1  es igual al radio, entonces es un valor constante.3  Ahora se construye el punto P   (punto medio de  AF  1  ) y se activa el lugar geométricode los puntos  P   cuando  C   se mueve en torno a la circunferencia:Por lo que  PA  =  PF  1 Luego se construye el punto medio del segmento  F  1 F  2 , denominado W.4  Trazamos el segmento  PW   el que une los puntos medios del segmento  F  1 A  y del seg-mento  F  1 F  2 .Teniendo que  AF  2  -  F  1 A  =  λ  (es el radio de la circunferencia) PF  1  =  12  AF  1  ya que  P   es punto medio de  AF  1 PW   =  12  AF  2 , dado que  PW   //  AF  2 Además la unión de los puntos medios (P y W) que dividen a los segmentos es propor-cional en la razón 1:2, teniendo que: 12  AF  2  -  12  F  1 A =  12  P λ Pero: 12  AF  2  =  PW  12  F  1 A =  PF  1 como  λ  es constante,  12  λ  también lo es, de esta forma tenemos que: PF  1  -  PW   =  12  λ 5
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