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Ajuda GeoGebra 3.0 Última alteração na versão original: Outubro 11, 2007 Autores Markus Hohenwarter, Judith Preiner, Tradução e adaptação para português de Portugal
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Ajuda GeoGebra 3.0 Última alteração na versão original: Outubro 11, 2007 Autores Markus Hohenwarter, Judith Preiner, Tradução e adaptação para português de Portugal António Ribeiro, Última alteração: Outubro 14, 2007 GeoGebra Online Website: Help Search: Conteúdos 1. O que é o GeoGebra? Exemplos Triângulo e Ângulos Equação Linear y = m x + b Centróide de Três Pontos A, B, C Dividir o Segmento [AB] na Razão 7: Sistema de Duas Equações Lineares com Duas Incógnitas Tangente ao Gráfico de uma Função Investigação de Funções Polinomiais Integrais Janela Geométrica Notas Gerais Menu de Contexto Exibir e Esconder Traço Zoom Razão Entre Eixos Protocolo de Construção Barra de Navegação Redefinir Diálogo de Propriedades Modos Modos Gerais Ponto Vector Segmento Semirecta Polígono Recta Cónica Arco e Sector Número e Ângulo Booleano Lugar Geométrico Transformações Geométricas... 23 Texto Imagens Propriedades das Imagens Entrada Algébrica Notas Gerais Alterar Valores Animação Entrada Directa Números e Ângulos Pontos e Vectores Recta Cónica Função de x Listas de Objectos Operações Aritméticas Variáveis Booleanas Operações Booleanas Comandos Comandos Gerais Comandos Booleanos Número Ângulo Ponto Vector Segmento Semirecta Polígono Recta Cónica Função Curvas Paramétricas Arco e Sector Imagem Texto Locus Sequência Transformações Geométricas Imprimir e Exportar Imprimir Zona Gráfica... 51 Protocolo de Construção Zona Gráfica como Imagem Zona Gráfica / Área de Transferência Protocolo de Construção / Página Web Folha Dinâmica como Página Web Opções Captura de Pontos Unidade de Ângulo Casas Decimais Continuidade Estilo do Ponto Estilo do Ângulo Recto Coordenadas Rotular Tamanho da Fonte Idioma Zona Gráfica Gravar Configurações Ferramentas Ferramentas Definidas pelo Utilizador Configurar Caixa de Feramentas Interface JavaScript Exemplos Métodos utilizáveis Linha de Comando Definir o estado de um objecto Conhecer o estado de um objecto Construção / Interface utilizador Comunicação GeoGebra / JavaScript Formato XML do GeoGebra Índice... 68 1. O que é o GeoGebra? O GeoGebra é um software de matemática dinâmica que junta geometria, álgebra e cálculo. É desenvolvido principalmente para o ensino e aprendizagem da matemática nas escolas básicas e secundárias, por Markus Hohenwarter, na universidade americana Florida Atlantic University. Por um lado, o GeoGebra é um sistema de geometria dinâmica. Permite construir vários objectos: pontos, vectores, segmentos, rectas, secções cónicas, gráficos representativos de funções e curvas parametrizadas, os quais podem depois ser modificados dinamicamente. Por outro lado, equações e coordenadas podem ser introduzidas directamente com o teclado. O GeoGebra tem a vantagem de trabalhar com variáveis vinculadas a números, vectores e pontos. Permite determinar derivadas e integrais de funções e oferece um conjunto de comandos próprios da análise matemática, para identificar pontos singulares de uma função, como raizes ou extremos. Estas duas perspectivas caracterizam o GeoGebra: a uma expressão na janela algébrica corresponde um objecto na janela de desenho (ou zona gráfica) e vice-versa. 2. Exemplos Para ter uma visão geral das potencialidades do GeoGebra vamos ver alguns exemplos Triângulo e Ângulos Seleccione o modo Novo ponto na barra de ferramentas. Clique na zona gráfica para criar os vértices A, B, C do triângulo. Depois, seleccione o modo Polígono e clique sucessivamente nos pontos A, B, C e outra vez em A. Na janela algébrica pode ver o número correspondente à área do triângulo. Para obter os ângulos internos do triângulo deve seleccionar o modo Ângulo na barra de ferramentas e clicar sobre o triângulo. Agora, escolha o modo Mover e arraste os vértices do triângulo. Se não necessitar da janela de álgebra nem dos eixos coordenados esconda-os, usando o menu Exibir Equação Linear y = m x + b Vamos ver o significado de m e de b na equação y = mx + b, variando os valores para m e de b. Para tal, podemos introduzir as seguintes linhas no campo de entrada de comandos, situado na base da janela, e pressionar a tecla Enter no fim de cada linha: m = 1 b = 2 y = m x + b Agora podemos mudar m e b usando o campo de entrada ou directamente na janela de álgebra, dando um clique em m e b com o botão direito do rato (MacOS: Maçã + clique) e seleccionando Redefinir. Experimente os seguintes valores para m e b: m = 2 m = -3 b = 0 b = -1 Também pode mudar m e b facilmente, usando: as teclas de movimento (setas) (veja Animação); selectores: clique com o botão direito (MacOS: Maçã + clique) em m ou em b e seleccione Exibir / esconder objecto (veja também o modo Selector); De modo análogo podemos investigar as equações de cónicas: elipses: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 hipérboles: b^2 x^2 a^2 y^2 = a^2 b^2 circunferências: (x - m)^2 + (y - n)^2 = r^ Centróide de Três Pontos A, B, C Pode construir o centróide de três pontos (baricentro do triângulo que eles definem), inserindo as seguintes linhas no campo de entrada e pressionando Enter no fim de cada linha: A = (-2, 1) B = (5, 0) C = (0, 5) M_a = PontoMédio[B, C] M_b = PontoMédio[A, C] s_a = Recta[A, M_a] s_b = Recta[B, M_b] S = Intersecção[s_a, s_b] Também pode usar o rato para fazer esta construção, usando os respectivos modos (veja Modos) na barra de ferramentas. Em alternativa, pode calcular o centróide directamente no campo de entrada: insira S1 = (A + B + C) / 3, seguido de Enter, e compare os resultados usando o comando Relação[S, S1]. Depois, verifique se S = S1 é verificado para outras posições de A, B, e C. Pode fazer isto seleccionando o modo Mover com o rato e arrastando os pontos. 2.4. Dividir o Segmento [AB] na Razão 7:3 Dado que o GeoGebra nos permite operar com vectores, é fácil realizar esta tarefa. Insira as seguintes linhas no campo de entrada e pressione a tecla Enter no fim de cada linha: A = (-2, 1) B = (3, 3) s = Segmento[A, B] T = A + 7/10 (B - A) Uma outra maneira de realizar esta tarefa pode ser: A = (-2, 1) B = (3, 3) s = Segmento[A, B] v = Vector[A, B] T = A + 7/10 v Em seguida podemos introduzir um número t, usando, por exemplo, o modo Selector e então redefinir T da maneira seguinte: T = A + t v (veja Redefinir). Variando t, pode ver o ponto T a mover-se ao longo da recta que tem equação paramétrica (veja Recta): g: X = T + s v Sistema de Duas Equações Lineares com Duas Incógnitas Duas equações lineares em x e y podem ser representadas graficamente por duas rectas g e h. Se estas forem oblíquas, a solução algébrica do sistema é o par ordenado que corresponde ao ponto S onde se intersectam. Assim, insira no campo de entrada as seguintes linhas, pressionando a tecla Enter no fim de cada linha: g: 3x + 4y = 12 h: y = 2x - 8 S = Intersecção[g, h] Para mudar as equações pode clicar com o botão direito do rato (MacOS: Maçã + clique) em cada uma e seleccionar Redefinir. Usando agora o botão esquerdo do rato, pode arrastar as rectas usando o modo um ponto, usando agora o modo Mover, ou rodar cada uma delas em torno de Rodar em torno de um ponto Tangente ao Gráfico de uma Função O GeoGebra oferece um comando para traçar a recta tangente ao gráfico de uma função f(x) num ponto de abcissa x = a. Insira no campo de entrada as seguintes linhas, pressionando a tecla Enter no fim de cada linha: a = 3 f(x) = 2 sin(x) t = Tangente[a, f] Fazendo variar o número a (veja Animação), a tangente desliza ao longo do gráfico da função f. Eis uma outra maneira de obter uma tal tangente num ponto T: a = 3 f(x) = 2 sin(x) T = (a, f(a)) t: X = T + s (1, f'(a)) Isto também nos dá o ponto de tangência T, mas agora a equação da recta t está na forma paramétrica. Pode ainda criar a tangente ao gráfico de f usando modos: seleccione o modo Novo ponto e em seguida clique no gráfico para obter um novo ponto A sobre ele; seleccione o modo Tangentes e clique sucessivamente no gráfico e no ponto A. Agora, seleccione o modo Mover e arraste com o rato o ponto A no gráfico de f. Pode observar que a tangente também muda de forma dinâmica. 2.7. Investigação de Funções Polinomiais O GeoGebra permite investigar raizes, extremos locais e pontos de inflexão de funções polinomiais. Insira no campo de entrada as seguintes linhas e pressione Enter no fim de cada linha: f(x) = x^3-3 x^2 + 1 R = Raiz[f] E = Extremo[f] I = PontoDeInflexão[f] No modo Mover pode mover o gráfico da função polinomial f com o rato. A primeira e segunda derivadas de f também podem ser obtidas: insira no campo de entrada as seguintes linhas, pressionando a tecla Enter no fim de cada linha: Derivada[f] Derivada[f, 2] 2.8. Integrais Para introduzir o conceito de integral, o GeoGebra oferece a possibilidade de visualizar as somas inferior e superior de uma função como rectângulos. Insira no campo de entrada as seguintes linhas, pressionando a tecla Enter no fim de cada linha: f(x) = x^2/4 + 2 a = 0 b = 2 n = 5 L = SomaInferior[f, a, b, n] U = SomaSuperior[f, a, b, n] Modificando a, b, ou n (veja Animação; veja o modo Selector) pode ver o impacto destes três parâmetros nas somas inferior e superior. Para mudar o incremento de n para 1 clique com o botão direito (MacOS: Maçã + clique) em n e seleccione Propriedades. O integral definido pode ser mostrado usando o comando Integral[f, a, b], ao passo que uma primitiva F é criada usando F = Integral[f]. 3. Entrada Geométrica Neste capítulo vamos explicar como usar o rato para criar e modificar objectos no GeoGebra Notas Gerais A janela geométrica mostra a representação gráfica de pontos, vectores, segmentos, polígonos, funções, rectas e cónicas. Sempre que o rato é movido sobre um de tais objectos aparece a respectiva descrição. Nota: às vezes, a janela geométrica é chamada zona gráfica. Existem várias maneiras de dizer ao GeoGebra como deve reagir a cada clique do rato na janela geométrica (veja Modos). Por exemplo, clicando na zona gráfica pode criar um novo ponto (veja o modo Novo Ponto), intersectar objectos (veja também o modo Intersecção de dois objectos), ou criar uma circunferência (veja o modo Circunferência dados o centro e um ponto). Nota: fazendo duplo clique sobre um objecto na janela de álgebra, abre-se um campo de edição onde pode redefinir tal objecto Menu de Contexto Ao accionar a tecla direita do rato sobre um objecto, surge um menu de contexto onde se pode seleccionar a notação algébrica (coordenadas polares ou cartesianas, equações implícitas ou explícitas, etc.). Aqui também se pode aceder a comandos tais como Renomear, Redefinir ou Apagar. No menu de contexto, se escolher Propriedades surge uma caixa de diálogo na qual pode mudar, por exemplo, as seguintes propriedades: cor, tamanho, espessura da recta, estilo das rectas, e preenchimento Exibir e Esconder Os objectos geométricos podem ser visíveis (exibir) ou não (esconder). Use o modo Exibir / esconder objecto ou o Menu de Contexto para mudar este estado. O ícone à esquerda de cada objecto na janela de álgebra indica-nos o seu estado de visibilidade actual ( exibir ou esconder ). Nota: também pode usar o modo Caixa para exibir /esconder objectos para exibir / esconder um ou mais objectos Traço Quando são movidos, os objectos geométricos podem deixar um traço (ou rasto) na zona gráfica. Use o Menu de Contexto para activar ou desactivar esse traço. Nota: a opção Actualizar janelas, no menu Exibir, apaga todos os traços Zoom Após clicar com o botão direito (MacOS: Maçã + clique) na zona gráfica aparece um menu de contexto que lhe permite aumentar (veja o modo Ampliar) ou diminuir (veja o modo Reduzir). Nota: para especificar um zoom clique na zona gráfica com o botão direito (MacOS: Maçã + clique) e mova o rato Razão Entre Eixos Clique na zona gráfica com o botão direito (MacOS: Maçã + clique) e seleccione Propriedades para obter um menu de contexto onde pode: mudar a razão entre o eixo dos xx e o eixo dos yy; exibir / esconder cada eixo coordenado individualmente; modificar a aparência dos eixos (marcações, cor, estilo das rectas, etc.) Protocolo de Construção O protocolo de construção (menu Exibir, Protocolo de construção) é uma tabela que mostra todos os passos da construção e permite refazer uma construção passo a passo usando a barra de navegação situada na base da zona gráfica. É possível inserir novos passos e mudar a sua sequência. Veja mais detalhes no menu Ajuda do protocolo de construção. Nota: usando a coluna Ponto de quebra, no submenu Exibir do menu Protocolo, pode definir certos passos da construção como pontos de quebra, o que lhe permite agrupar objectos. Assim, quando navega na sua construção, os objectos de cada grupo são mostrados simultaneamente Barra de Navegação O GeoGebra oferece uma barra de navegação para navegar através dos passos de uma construção já realizada. No menu Exibir, seleccione Barra de navegação para passos da construção e verá a barra de navegação na base da zona gráfica Redefinir Pode redefinir um objecto usando o seu Menu de Contexto. Isto é muito útil para posteriores alterações na sua construção. Também pode abrir a caixa de diálogo Redefinir, seleccionando primeiro o modo Mover e fazendo depois um duplo clique sobre um objecto dependente na janela de álgebra. Exemplos: Para colocar um ponto livre A numa recta h seleccine Redefinir para o ponto A e insira Ponto[h] no campo de entrada da caixa de diálogo que aparece. Para remover o ponto A da recta h clique sobre este e redefina-o, atribuindo-lhe coordenadas. Um outro exemplo é a conversão de uma recta h, definida por dois pontos A e B, no segmento [A,B]. Para tal, seleccione Redefinir e insira Segmento[A, B] no campo de entrada da caixa de diálogo que aparece. De modo análogo, pode converter o segmento [AB] na recta AB. Redefininir objectos é uma ferramenta muito versátil para alterar uma construção. Mas tenha cuidado, pois isso pode alterar também a ordem dos passos da construção, no Protocolo de Construção Diálogo de Propriedades O diálogo de propriedades permite-lhe modificar propriedades dos objectos (cor, espessura, etc.). Pode abrir uma caixa de diálogo por dois processos: clicar com o botão direito do rato (MacOS: Maçã + clique) sobre o objecto e seleccionar Propriedades, ou seleccionar Propriedades no menu Editar. No diálogo de propriedades, os objectos são organizados por tipos (pontos, rectas, circunferência, etc.), o que permite tratar um grande número de objectos simultaneamente. Na coluna Objectos pode seleccionar um grupo e atribuir-lhe a mesma propriedade. Se o grupo incluir apenas objectos do mesmo tipo, basta clicar sobre o nome desse tipo e depois atribuir a propriedade. Se o grupo incluir objectos de tipos diferentes, clique sobre o nome de um deles, pressione a tecla CTRL e depois vá clicando sobre o nome dos restantes para os seleccionar, atribuindo-lhes depois a propriedade. Após a atribuição da(s) propriedade(s), pode fechar a caixa de diálogo, pois elas ficam automaticamente gravadas Modos Os seguintes modos podem ser seleccionados e activados nos menus da barra de ferramentas. Clique na pequena seta situada no canto inferior direito de um ícone para obter um menu com outros modos. Nota: em todos os modos de construção pode criar facilmente novos pontos clicando na zona gráfica. Marcar um Objecto Marcar um objecto significa clicar nele com o botão esquerdo do rato. Renomeação Rápida de Objectos Para renomear um objecto já existente ou acabado de criar, basta abrir o diálogo Renomear para esse objecto Modos Gerais Nota: o número que segue o nome do modo codifica esse modo na interface JavaScript e serve para personalizar a barra de ferramentas. Mover (cod 0) Neste modo pode mover e situar objectos livres com o rato. Se seleccionar um objecto clicando nele no modo Mover, pode: apaga-lo, pressionando a tecla Delete; move-lo, usando as teclas de movimeto (veja Animação). Nota: pressionando a tecla Esc também activa o modo Mover. Com a tecla Ctrl pressionada, pode seleccionar vários objectos ao mesmo tempo. Uma outra maneira de seleccionar múltiplos objectos consiste em pressionar continuadamente o botão esquerdo do rato para especificar um rectângulo de selecção. Então pode mover os objectos seleccionados arrastando um deles com o rato. O rectângulo de selecção também pode ser usado para especificar a parte da janela geométrica que se pretende imprimir, exportar como figura ou como folha de trabalho dinâmica em formato html (veja Imprimir e Exportar). Rodar em torno de um ponto (cod 39) Seleccione primeiro o ponto que é o centro da rotação. Depois pode rodar objectos livres em torno dele, movendo-os com o rato. Relação (cod 14) Marque dois objectos para obter informação sobre a sua relação (veja também o comando Relação). Mover eixos coordenados (cod 40) Mova a zona gráfica para modificar a origem do sistema de coordenadas. Nota: também pode mover a zona gráfica se pressionar continuadamente a tecla Shift ou Ctrl e arrastar com o rato. Neste modo também pode alterar a escala em cada um dos eixos, arrastando-o com o rato. Nota: alterar a escala de um eixo também é possível em qualquer outro modo, desde que mantenha uma das teclas Shift ou Ctrl pressionada enquanto arrasta o eixo. Ampliar (cod 41) Clique em qualquer lugar da zona gráfica para ampliar (veja Zoom) Reduzir (cod 42) Clique em qualquer lugar da zona gráfica para reduzir (veja Zoom) Exibir / esconder objecto (cod 27) Clique num objecto para o exibir ou esconder. Nota: clicando num objecto para o esconder, este é destacado; para que o objecto se esconda de facto, basta clicar sobre o ícone de outro modo, na barra de ferramenras. Exibir/esconder rótulo (cod 28) Clique num objecto para exibir ou esconder o respectivo rótulo. Copiar estilo visual (cod 35) Este modo modo permite-lhe copiar as propriedades visuais (cor, tamanho, estilo das rectas, etc.) de um objecto para outros. Para o fazer, seleccione primeiro o objecto cujas propriedades quer copiar e depois clique em todos os objectos que devem adoptar essas propriedades. Apagar objectos (cod 6) Clique em qualquer objecto que queira apagar Ponto Novo ponto (cod 1) Clicando na zona gráfica cria um novo ponto. Nota: as coordenadas do ponto são fixadas na janela de álgebra logo que o botão do rato é accionado na zona gráfica. Clicando num segmento, numa recta, num polígono, numa cónica, num gráfico de uma função ou numa curva, cria um ponto nesse objecto (veja o comando Ponto). Clicando na intersecção de dois objectos cria o respectivo ponto de intersecção (veja o comando Intersecção). Intersecção de dois objectos (cod 5) Os pontos de intersecção de dois objectos podem ser criados de duas maneiras: marcando dois objectos, todos os pontos de intersecção são criados (se for possível); clicando numa intersecção de dois objectos, um único ponto de intersecção é criado. Para segmentos, semirectas ou arcos, pode especificar se quer extender os pontos de intersecção (veja Diálogo de Propriedades). Isto pode ser usado para obter os pontos de intersecção situados na extensão de um objecto. Por exemplo, a extensão de um segmento ou de uma semirecta é uma recta. Ponto médio ou centro (cod 19) Clique em dois pontos para obter o respectivo ponto médio; num segmento para obter o respectivo ponto médio; numa cónica para obter o respectivo centro Vector Vector definido por dois pontos (cod 7) Marque o ponto origem e o ponto extremidade do vector. Vector a partir de um ponto (cod 37) Marcando um ponto A e um vector v, cria o ponto B = A + v e o vector que vai de A para B Segmento Segmento definido por dois pontos (cod 15) Marcando dois pontos A e B fixa um segmento entre os dois. O comprimento do segmento fica visível na janela de álgebra. Segmento dados o comprimento e um ponto (cod 45) Clique num ponto A que deve ser o ponto inicial do segmento. Especifique o comprimento a do segmento na janela que aparece. Nota: este modo cria um segmento de comprimento a e extremo B, o qual pode ser rodado em torno de A usando o modo Semirecta Mover. Semirecta definida por dois pontos (cod 18) Marcando dois pontos A e B cria a sem
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