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Uma Generalização da Integral de Riemann

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Uversdde Federl de St Ctr Curso de Pós Grdução em Mtemátc e Comutção Cetífc Um Geerlção d Itegrl de Rem Dssertção resetd o curso de Pós- Grdução em Mtemátc e Comutção Cetífc, do Cetro de Cêcs Ets d Uversdde
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Uversdde Federl de St Ctr Curso de Pós Grdução em Mtemátc e Comutção Cetífc Um Geerlção d Itegrl de Rem Dssertção resetd o curso de Pós- Grdução em Mtemátc e Comutção Cetífc, do Cetro de Cêcs Ets d Uversdde Federl de St Ctr, r oteção do gru de Mestre em Mtemátc, com Áre de Cocetrção em Aálse Rel Mr Elt Perer Floróols St Ctr 999 Um Geerlção de Itegrl de Rem Mr Elt Perer Est dssertção fo julgd dequd r oteção do Título de Mestre, Áre de Cocetrção em Aálse Rel, e rovd em su form fl elo curso de Pós- Grdução em Mtemátc e Comutção Cetífc Celso Melchídes Dór Coordedor Comssão Emdor: Prof Pul Jmes Otterso, PhD ( Oret UFSC Prof João Brt, PhD (USP Prof Aldrovdo Luís A Arújo, PhD (UFSC Prof Ruy Eel, PhD (UFSC 3 de Mrço de 999 Ao meu mrdo Jeferso e às mhs flhs Ntsh e Wles AGRADECIMENTOS: Ao meu oretdor Pul Jmes Otterso or ser um grde motvdor Aos meus s (flecdos que me crrm r ser um mulher reldor Ao meu mrdo Jeferso elo seu mor e el su cooerção dgtção dest dssertção Às mhs flhs Ntsh e Wles or terem comreeddo mh ecessdde de ser ms que mãe Aos meus rmãos Rogéro, Luís Crlos, Mr Ele e Mr Ester, que credtrm em mm À mh mg Ilc, or ter sdo um fote de cofç e ecorjmeto À CAPES, or ter tordo ossível este mestrdo trvés d estrutur fcer v SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS v RESUMO v ABSTRACTv INTRODUÇÃO DERIVADAS E FUNÇÃO DE CANTOR3 Dervd Ordár 4 Dervd Prmétrc 6 3 A Fução de Ctor INTEGRAL DE RIEMANN GENERALIZADA Itegrl de Rem 3 Meddor 4 3 Itegrl de Rem Geerld 5 4 Teorem Fudmetl do Cálculo 34 5 Mudç de Vrável 38 6 Itegrs Imrórs 39 7 Teorems de Covergêc 47 3 INTEGRAL DE LEBESGUE E INTEGRAL DENJOY5 3 Álger de Cojutos5 3 Medd de Leesgue 5 33 Itegrl de Leesgue Relção etre Dervd e Itegrl de Leesgue Fuções AC, ACG, AC*, ACG* Itegrl de Dejoy 6 4 CONCLUSÃO6 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 65 v LISTA DE NOTAÇÕES R Cojuto dos Números Res ( lm f Lmte d fução f qudo rom-se de f Fução Ivers C Cojuto de Ctor Somtóro R* ([ ], Cojuto ds fuções que são tegráves o setdo Rem Geerld f ( d Itegrl d fução f o tervlo (, su E Suremo do cojuto E f E Ífmo do cojuto E fl(p A som ( f ( ode P, [, ] ~A Comlemetr do Cojuto A m* (E Medd eteror do cojuto E { } ; m (E Medd de Leesgue do cojuto E v RESUMO Neste trlho, estudmos um modfcção d Itegrl de Rem, Itegrl Hestoc-Kurwel, ou Itegrl de Rem Geerld, ou d, Itegrl Guge (deotmos Itegrl R* Mostrmos o Teorem de He e o Lem de Ss- Hestoc, e estes servem como ferrmets lcção d Itegrl R* Est tegrl cotrst com outrs tegrs, em rtculr com reseto formulção do Teorem Fudmetl do Cálculo, e su resectv clsse de fuções tegráves Nós rovmos que Itegrl R* ermte um elegte Teorem Fudmetl e cocluímos que tegr um clsse mor de fuções que tegrl de Leesgue, qul geerl v ABSTRACT I ths wor, we study modfcto of the Rem tegrl, the Kurwel-Hestoc or Guge or R* Itegrl We rove He s Theorem d the Ss- Hestoc Lemm; whch re mortt tools lctos of the R*-tegrl Ths tegrl s comred t wth other tegrls, rtculr wth resect to formulto of The Fudmetl Theorem of Clculus, d regrdg ther resectve clsses of tegrle fuctos We show tht the R*-tegrl ermts smle Fudmetl Theorem d tegrtes lrger clss of fuctos th the Leesgue tegrl, whch t geerles v INTRODUÇÃO Bos lvros de Aálse (Lm, Royde, Rud, Brtle colocm Itegrl de Leesgue como essecl Segudo Burll Há muto temo é evdete que todo usuáro do Cálculo Itegrl, sej d mtemátc ur ou lcd, deve terretr tegrção o setdo de Leesgue Algus rcíos smles etão drgem mulção de eressões cotedo tegrs Recetemete surgu um smles modfcção d tegrl de Rem, chmd etão de Itegrl Hestoc-Kurwel, de Rem Geerld, ou d guge (deotremos tegrl R*, que f com que tegrl resultte sej ms gerl que tegrl de Leesgue O ojetvo dest dssertção é o de desevolver roreddes dest tegrl, R*, ecotrdo rcíos smles que drjm, e comrá-l com outrs tegrs (Rem, de Leesgue, Dejoy, No rmero cítulo, geerlmos dervd ordár trvés de um rmetrção dequd d vrável, tordo comost dervável O ojetvo de defr Dervd Prmétrc é eucr o Cítulo II um Teorem Fudmetl do Cálculo ms rgete Tmém femos um estudo detlhdo d Fução de Ctor, que é um eemlo de um fução ão dervável que ermte dervd rmétrc No segudo cítulo, usdo soms de Rem, defmos Itegrl R* trvés de um lger modfcção d Itegrl de Rem A relção etre tegrl ssm otd com Dervd Prmétrc fc estelecd trvés de um formulção do Teorem Fudmetl do Cálculo Veremos que os teorems de covergêc váldos r tegrl de Leesgue são váldos tmém r tegrl R*, e o teorem de He, que d que se tegrl mrór este, etão tegrl este o setdo R* O tercero cítulo cost de um rádo estudo ds defções e teorems roveetes d Teor de Itegrção o setdo Leesgue e Dejoy o coteto d álse rel Esse cítulo é smlesmete um emsmeto teórco r que osterormete sej dscutd equvlêc etre Itegrl de Dejoy e tegrl R* São vstos tmém rcíos smles d Itegrl de Leesgue: os Três Prcíos de Lttlewood Flmete, cocluímos etão este trlho com comrções etre tegrl R* e s tegrs de Leesgue, Dejoy e Rem Pr sto, os vlemos de eemlos que elucdm ests dfereçs e oscometo de lgus utores Cítulo I DERIVADAS E FUNÇÃO DE CANTOR Roert GBrtle [], relco Itegrl de Rem Geerld com Dervd Ordár trvés do Teorem Fudmetl do Cálculo, equto que Jc Lmoreu e Gerld Armstrog [8], defem Dervd Prmétrc (tmém chmd Dervd Geerld, e relcom com Itegrl de Rem Geerld Este teorem será eucdo e demostrdo o Cítulo II Como tod fução que ossuí dervd ordár, ossuí tmém dervd rmétrc, otmos elos trlhos de Armstrog o que d reseto o Teorem Fudmetl do Cálculo Temos ssm um resultdo ms forte e or sso ms elord su demostrção Neste cítulo, clmete retorremos Teor d Dervd Ordár vst os Cursos de Cálculo e Aálse Aodos s defções e rcs resultdos dest teor ssremos etão r o osso ojeto de estudo deste cítulo que é Dervd Prmétrc Veremos que lgums fuções que ão ossuem dervds, rmetrdo vrável, sus comosts odem ser derváves Flmete, fechremos este cítulo com um estudo detlhdo do Cojuto de Ctor e d Fução de Ctor, tedo em vst que fução de Ctor, 3 segudo Armstrog [8], é um eemlo de um fução que ão ossuí dervd, ms que trvés de um rmetrção dequd d vrável, comost é dervável, ou sej, fução de Ctor ossuí dervd rmétrc Dervd Ordár Veremos segur, de cordo com Elo Lges Lm, lgums defções e teorems reseto de dervd ordár, sedo que s demostrções dos teorems odem ser ecotrds em [9] Demos que um oto R é um oto de cumulção do cojuto X R qudo tod vhç V do oto, cotém o meos um oto de X dferete de, ou sej, r todo ε , o cojuto ( ε ε I ( X { } Deotremos or Χ o cojuto dos otos de cumulção de X, ão é vo Um outr defção mortte r dervd é de fução cotíu Um fução rel f defd o cojuto X R é cotíu o oto R qudo, r todo ε , este um δ tl que se Χ e δ etão f ( f ( ε Demos d que f é cotíu, se f é cotíu em todo oto do cojuto X 4 Defção: Sejm f : X R e um oto de X que é oto de cumulção de X, sto é, ΧI Χ A dervd ordár, ou smlesmete dervd, d fução f o oto, qudo este, é o lmte f ( f ( lm e deotmos este lmte or f ( Demos etão que f é dervável o oto Qudo f é dervável em todo oto de X, demos que f é dervável Defe-se, equvletemete, f ( como lm h f ( h h f ( Proosção: Se f : X R é tl que f ( r todo Χ, etão f é um fução costte, ou sej, f ( r todo Χ, ode é um costte rel Teorem: Sejm f, g : X R derváves o oto ΧI Χ As fuções f g, f g, f g e f g (cso g ( são derváves o oto e s dervds dests fuções são dds or: ( f g ( f ( g ( ; ( f g ( f ( g ( ; ( f g ( f ( g( f ( g ( e f f ( g( f ( g ( g ( [ g( ] Eucremos segur Regr d Cde, sedo est de grde mortâc r Dervd Prmétrc 5 Teorem: Sejm f: Χ R, g: Y R, ΧI Χ, f ( Υ I Υ e f (Χ Υ Se f é dervável o oto e g é dervável o oto, etão g o f : X R é g o dervável o oto, e ( f ( g ( f ( f ( Coroláro: Sej f : X Y um fução jetor, com vers g f : Υ Χ Se f é dervável o oto ΧI Χ e g é cotíu o oto f ( etão g é dervável o oto se, e somete se, f ( Cso frmtvo g ( f ( Dervd Prmétrc Defção: Sej fução F: [, ] R Demos que F tem um dervd rmétrc f se, e somete se, este um fução dervável, sorejetor e estrtmete crescete [ α, β] [, ] φ : ode α, β são úmeros res e tl que F o φ tem um dervd o ordár em [ α, β] defd or ( F φ ( t f ( φ( t φ ( t Segue d defção que tod fução que tem dervd ordár, dmte dervd rmétrc Bst tomr : [, ] [, ] φ dd or φ ( t t Em outrs lvrs, dervd rmétrc geerl dervd ordár A dervd rmétrc ão ecesst ser úc os se F : [, ] R é tl que dmte dervd rmétrc f, etão este um fução dervável, sorejetor, 6 estrtmete crescete : [ α, β] [,] este t [, ] φ tl que F o φ tem dervd ordár Se tl que ( o φ sto mlc φ t, como F φ (t f ( φ(t (t ( que ( F o φ ( t, deedete do vlor que f ssume em φ t é tl que φ ( t [ α, β] [,] Por outro ldo, roosção segute os ot um resultdo qudo t Qudo um fução F : [, ] R ossuí dervd rmétrc e φ : é um fução dervável e estrtmete crescete tl que F o φ ossuí dervd ordár demos que f é um reresetção rmétrc de F ( Proosção: Sej F : [, ] R um fução que ossuí dervd rmétrc e sej [ α, β] [,] φ : um reresetção rmétrc de F Se φ ( t etão dervd rmétrc f o oto φ t é dervd ordár de F ( Prov: Sej f : [, ] R um dervd rmétrc d fução F : [, ] R e o φ : [ α, β] [,] um reresetção rmétrc de F Assm, ( F φ ( t f ( φ( t φ ( t Sej t tl que φ ( t Fedo φ(t, F ( lm F ( lm F ( φ( t F ( φ( t φ( t φ( φ( t φ( t t F( φ( t F( φ( t φ ( t lm t t φ( t φ( t φ ( t lm t t F( φ( t F( φ( t φ φ ( t ( t lm [ φ( t φ( t ] φ ( t t t t t F ( φ( t F( φ( t lm φ ( t t t t t 7 ( F o φ( t ( F o φ( t lm φ ( t t t t t ( F o φ ( t f ( φ( t φ ( t φ ( t φ ( t f φ ( t f ( ( Portto F ( f (, ou sej, f ( é dervd ordár de F o oto Veremos segur lgums roreddes d dervd ordár que vlem r dervd rmétrc Pr demostrr ts roreddes lcremos defções e resultdos vstos em Proosção: Se dervd rmétrc de F é ero em cd oto de [, ], etão F é costte Prov: Sej f : [, ] R dervd rmétrc de F tl que f ( r todo [, ] e sej : [ α, β] [,] φ su reresetção rmétrc Etão, ( F o φ ( t, os ( F o φ ( t f ( φ( t φ ( t Logo F o φ ode é um costte, sto é, F φ ( t ( r todo [ α, β] t Fedo φ(t, temos que F ( r todo [, ] Usremos dqu r frete otção F r dervd rmétrc d fução F, sem rolems de otção os como vmos tod dervd ordár é rmétrc 8 Proosção: Se s fuções F e G dmtem dervds rmétrcs e é um úmero rel, etão: ( ( (c ( F F ( F G F G ( F G F G FG Prov: ( Sej f : [, ] R dervd rmétrc d fução F : [, ] R E sej fução : [ α, β] [,] φ su reresetção rmétrc Assm F f e ( F o φ ( t f ( φ( t φ ( t Logo, [ ( F o φ ] ( t [ ( F o φ ]( t [ ( F o φ ( t ] [ f ( φ( t φ ( t ] ( f ( φ( t φ ( t Ms [ ( F o φ ] ( F o φ Etão ( Fo φ ( t f ( φ( t φ ( t e f F é um dervd rmétrc de F Armstrog[] demostr o segute teorem que será usdo r demostrr os tes ( e (c d roosção Teorem: Se F e G tem reresetções rmétrcs dferecáves φ e ϕ, resectvmete, etão este um fução θ que é um reresetção rmétrc dferecável r F e G smultemete Sejm f, g s dervds rmétrcs de F, G resectvmete Pelo teorem teror, este um reresetção rmétrc dferecável θ r F e G smultemete Logo, ( F o θ ( t f ( θ( t θ ( t e ( G o θ ( t g( θ( t θ ( t 9 ( [( F G o θ] ( t [( F o θ ( G o θ ] ( t ( F o θ ( G o θ (t o ( F θ ( t ( Go θ ( t f ( θ ( t θ ( t g( θ ( t θ ( t [ ( ( t g( θ( t ] ( t f θ θ [( g( θ( t ] ( t Portto, ( G f g F G f θ F (c [( FG o θ ] ( t [( F o θ ( G o θ ] ( t ( F o θ ( G o θ ( F o θ( G o θ (t f ( ( t ( t ( G( θ( t F ( θ( t θ θ g( θ( t θ ( t [ ( θ( t G( θ( t F( θ( t g( θ( t ] ( t f θ ( Fg ( θ( t ( t fg θ FG Portto, ( fg Fg F G FG 3 A Fução de Ctor O Cojuto de Ctor C é um sucojuto do tervlo [, ] que é otdo d segute form: removemos do tervlo [, ], o terço médo,, deos 3 3 removemos dos tervlos resttes, 3 e, 3 os resectvos terços médos, 9 9 e 7 8, 9 9, e ssm sucessvmete O Cojuto de Ctor C é o cojuto que rest deos d remoção de todos os terços médos Proosção: O cojuto de Ctor C é fechdo Prov: O comlemetr de C cosste de todos os tervlos que são retrdos costrução do cojuto de Ctor C, etão é um uão (eumerável de tervlos ertos, que é erto Portto o cojuto de Ctor C é um cojuto fechdo O cojuto de Ctor C clu todos os etremos dos tervlos removdos, e tmém, elo fto de C ser fechdo, os lmtes de seqüêc de ts otos Um eemlo de um seqüêc é segute: Começmos de 3 e egmos o etremo ms rómo o segudo sso 3 9, e etão egmos o etremo ms 9 rómo o tercero sso e ssm sucessvmete O lmte deste cojuto de otos é 3 L, que ão é etremo, os todos os etremos são d form 3 O oto 4 ertece o cojuto C, os C é fechdo E ssm tmém todo oto de [, ] que é lmte de um seqüêc de etremos Proosção: O cojuto de Ctor C ão cotém tervlos 4 Prov: O tmho totl dos tervlos removdos é L Portto, o cojuto C é um cojuto de medd ul, vsto que medd do tervlo [, ] é Nehum cojuto de medd ul cotém tervlo ão degeerdo, os cso cotráro medd deste cojuto ser mor que ero Portto, o cojuto C ão cotém tervlos Defção: Um cojuto E é erfeto se é fechdo e ão ossuí ehum oto que ão sej oto de cumulção Proosção: O cojuto C é um cojuto erfeto Prov: Sej um elemeto do cojuto C Se é um lmte de um seqüêc ão costte de etremos, etão é um oto de cumulção de C Se é um etremo, temos que ode ser escrto como Assm 3 à esquerd este o tervlo 3, 3 do qul será retrdo o tervlo 3 3,, restdo à esquerd de o tervlo 3 3, 3 do qul será retrdo o tervlo 9 9,, restdo etão á esquerd de o tervlo 9 3, 3 e ssm sucessvmete restrão os tervlos cujos etremos esquerdos são d form 3 3,,,, L Ms 3 lm lm 3 3 lm Portto 3 é um oto de cumulção de C Como C é fechdo e todo oto de C é oto de cumulção de C, temos que C é erfeto Defção: Um cojuto E é rro se o seu fecho ão cotém otos terores Proosção: O cojuto de Ctor C é rro Prov: Como o cojuto de Ctor C ão ossuí tervlos, ão este oto em C tl que estej um tervlo erto cotdo em C, ou sej, C ão cotém otos terores Tmém C é o seu róro fecho, os C é fechdo Logo o cojuto de Ctor C é rro Proosção: Sej um tero mor que, e um úmero rel, Etão este um seqüêc { } de teros com tl que e est seqüêc é úc eceto qudo é d form q (com q tero e q rredutível, este cso estem etmete dus seqüêcs Tmém se { } é um seqüêc de teros com , sére coverge r um úmero rel com Se, seqüêc é chmd esão decml de Pr é chmd de esão ár; e r 3, esão terár Prov: Sej um úmero rel, , e sej um úmero tero mor que Sej escrto o sstem de se, ou sej,, L, r todo 3 3 4 Assm, L Se é d form q ode q é um úmero tero e um úmero turl, odemos escrever r r r q L com q q r, ode q q e q é o quocete d dvsão q com,,,, L Assm ode ser escrto de dus forms: ode r r e r , e ode r r , r e r , os, L L r r r r r r r r ( L ( r r r r L q q q Ucdde: Sej um elemeto de [, ] se Vmos suor que ests dus esões são dferetes Sej Ν { : } e, sus esões m Vmos suor que Etão Ν Ν Ν Ν, os cso cotráro e cosequetemete Ν Ν Ν Ν Ν Ν ( ( Ms, o que mlc que Ν Ν Ν Como Assm, Ν Ν Etão, Ν Ν Ν ( Ν, o que é um cotrdção Ν Ν Ν, ou sej,, logo Ν Ν Ν Como,,, temos que e Ν Ν Ν De e, otemos: Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Etão, Ν ( Ν O que mlc que Ν e Ν e ssm sucessvmete, e q r Ν Portto, é d form Ν 5 Por outro ldo, sej { } um seqüêc de teros com Assm, o mor vlor que ode ssumr é qudo r todo Neste cso, Portto, sére coverge r um úmero rel tl que Teorem : O cojuto de Ctor C cosste de todos queles úmeros res em [, ] que tem esão terár { } Prov: Sej [, ] tl que r todo A esão terár de,, L tem o rmero dígto se, e somete se,, 3 3 3, cujo teror é retrdo o rmero sso d formção do cojuto de Ctor C Tmém, e se, e somete se,, 9 9 ; e se, e somete se, 7 8, 9 9, cujos terores são retrdos o segudo sso d formção de C E ssm, sucessvmete, temos que {,},, L, e se, e somete se, ertece lgum tervlo fechdo cujo teror é retrdo o -ésmo sso formção do cojuto de Ctor C Restm ortto somete os etremos dos tervlos, ms estes são d form q, que como já vmos, tmém ossuem um esão terár somete com os dígtos e Os: O cojuto de Ctor tmém é chmdo de Cojuto teráro de Ctor 6 Proosção: O cojuto de Ctor C é ão-eumerável Prov: Pr todo C, sej, c c L c su esão terár, ode {,} 3 c r todo,,3, L, e sej fução : φ C [, ] Vmos verfcr que φ é sorejetor Sej [, ] c c c3 dd or φ (, L y, e sej, L su esão 3 ár Etão,( ( ( L é um oto de C tl que φ ( y 3 Portto, o cojuto de Ctor C é ão-eumerável Oservção: Este um corresodêc uívoc etre o cojuto de Ctor C e o tervlo [, ] Prov: A fução φ ão é jetor, os r os res de elemetos e cujs esões terárs são d form, L L e, L com {,} r,, L, temos que, φ(, L L, L φ( Sej X o cojuto dos elemetos de C que tem s esões terárs coforme e X é eumerável os os elemetos de X são os etremos dos tervlos, ou sej, os elemetos d form q 3 Porém, o cojuto Yφ(X cosste dos elemetos de q [, ] que são d form Assm o cojuto Y tmém é um cojuto eumerável Sejm { α L} e { L} α,, Defmos fução :,,L β s resectvs eumerções dos cojutos X e Y β,, ϕ C [, ] or ϕ ( φ( r Χ e ϕ ( α β r 7 A fução ϕ ssm defd é jetor Teorem: Sej um úmero rel em [, ] com esão terár { } ode {,,} 3, ou sej, Sej Ν se ehum dos é gul l, e sej { : } Ν m Sej r Ν e Ν Etão Ν é deedete d esão terár de (se tem dus esões e fução f defd or f ( Ν é um fução cotíu, moóto o tervlo [, ] Além dsto, f é costte em cd tervlo cotdo o comlemeto do cojuto Ctor C, e : C [, ] Ctor f é sorejetor (Est fução é chmd fução terár de Prov: Mostremos que f está em defd, ou sej, Ν ão deede d escolh d esão terár dos elemetos de [, ] Sej [, ] Se tem dus esões terárs, é d form q, que como vmos 3 terormete, ode ser rescrto como q 3 r r r L, com r {,,} r,, L, Sejm 3 e c 3 s esões terárs de Assm, 3 c 3 r r r L e ( r r r r L L ( 8 Se Ν em (, r todo, Ν r r r 3 r r L L 3 r r r 3 r L, etão, Ν em (, c r e Ν c r r 3 r L Se Ν, r lgum,, L, em (, r e Ν r r r L 3 etão, Ν em ( e c r e Ν c r r r 3 L Se Ν em (, r e Ν r r 3 L r etão, Ν em (, c c Ν r r r L 3 r r 3 r L Mostremos que f é costte em cd tervlo cotdo o comlemeto do cojuto de Ctor C 9 Sej, 3 3 um tervlo retrdo de [, ] o -ésmo sso formção do cojuto de Ctor Sejm, y, 3 3 Semos que 3 ode ser escrto como Etão, r 3 r r L, com r {,,} r,, L, 3 3 r r r L 3 e r c Assm, e y ode, c r r,,, 3 3 L, c e, c {,,} r , Ν r r r Portto, f ( L f ( y 3 Mostremos que f é moóto em [, ] Pr sto st mostrr que é crescete em C Sejm, y C, com y Semos que, y tem esões terárs e 3 c y com, {,} 3 c Sej tl que c Etão, c e Assm, Ν, Νc e, f L L 3 ( c L L 3 c c c c L L f ( y 3 Portto, f é crescete em C Mostremos que f ( C [, ] Sej [, ] y Etão este um esão ár de y, ou sej, y {, } r todo Pr C, f ( y 3 Mostremos que f é cotíu, ode Nós recsmos rovr cotudde somete o cojuto de Ctor C, os f é costte em cd tervlo de [, ]\ C Sej C e sej Este N tl que ε Tomemos δ Etão r todo y C tl que y δ ós temos 3 y 3 Logo, se 3 etão, c 3 3 y, ode, {,,} c ; e ( c c f ( f ( y ε Portto, f é cotíu Cítulo II INTEGRAL DE RIEMANN GENERALIZADA Neste cítulo será defd Itegrl de Rem Geerld, tmém chmd de Itegrl Guge ou Itegrl de Hestoc (deotremos R*-Itegrl Pr sto, defremos Itegrl de Rem vst os cursos de Cálculo, os tod fução Rem tegrável é Rem tegrável Geerld Dqu r frete será usdo o termo guge tegrável ou R*-tegrável e tegrl Rem Geerld d fução f o tervlo [,] será deotd or f ( d, sem rolems de otção elo motvo vsto cm Tmém serão rovdos o Teorem d Ucdde e o Crtéro de Cuchy Num segudo mometo, será eucdo e demostrdo o Teorem Fudmetl do Cálculo, estelecedo ssm um relção muto estret etre Itegrl de Rem Geerld e Dervd Prmétrc Nos últmos sutítulos serão vstos teorems de Mudç de Vrável e os Teorems de Covergêc Moóto e Covergêc Domd, estes últmos muto morttes detro d Itegrção de Leesgue Fremos d um estudo de Itegrs Imrórs e veremos que equto estem fuções que ão são Rem Itegráves, ms ossuem tegrs mrórs; o mesmo ão ocorre referdo-se Itegrl de Rem Geerld Itegrl de Rem Sej [, ] um tervlo fechdo em R Um rtção de [, ] é um coleção ft de tervlos fechdos [, ],,, ; ts que Escolhemos um úmero, em cd tervlo [, ], que chmremos etquet Resultdo ssm um rtção etquetd {, [, ];, } do tervlo [, ],, tervlo [ ] Assm, f ( é um som de Rem d fução f o (, O úmero A R é Itegrl de Rem de f : [, ] R se r todo ε , este um úmero rtção etquetd do tervlo [, ] com f ( ( A ε δ tl que, se {, [, ];, },, é um δ r,,, etão, 3 Meddor Pr defrmos Itegrl de Rem Geerld, recsmos de um meddor coforme defção o; sedo que este meddor tto ode ser um coleção de tervlos ertos, como um fução estrtmete ostv Vmos defr um meddor g do tervlo [, ] d segute form: r cd [, ] escolhemos um tervlo erto γ( que cotém o cetro Demos que um rtção etquetd {, [, ];, } de [, ] é γ-f se,, r cd,,, o tervlo [, ] é um sucojuto do tervlo γ( Podemos tm
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