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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ GUERINO PIROLLO JUNIOR

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ GUERINO PIROLLO JUNIOR GRADUAÇÃO BAYESIANA E PROJEÇÃO DE TAXAS DE MORTALIDADE APLICADAS À POPULAÇÕES DE FUNDOS DE PENSÃO DO SETOR ELÉTRICO CURITIBA 2009 GUERINO PIROLLO JUNIOR
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ GUERINO PIROLLO JUNIOR GRADUAÇÃO BAYESIANA E PROJEÇÃO DE TAXAS DE MORTALIDADE APLICADAS À POPULAÇÕES DE FUNDOS DE PENSÃO DO SETOR ELÉTRICO CURITIBA 2009 GUERINO PIROLLO JUNIOR GRADUAÇÃO BAYESIANA E PROJEÇÃO DE TAXAS DE MORTALIDADE APLICADAS À POPULAÇÕES DE FUNDOS DE PENSÃO DO SETOR ELÉTRICO Dsseração apresenada ao Curso de Pós- Graduação em Méodos Numércos em Engenhara do Seor de Tecnologa do Cenro de Esudos em Engenhara Cvl Professor Inaldo Ayres Vera da Unversdade Federal do Paraná, como pare das egêncas para obenção do íulo de Mesre em Cêncas. Orenador: Prof. PhD. Paulo Jusnano Rbero Junor CURITIBA 2009 TERMO DE APROVAÇÃO GUERINO PIROLLO JUNIOR GRADUAÇÃO BAYESIANA E PROJEÇÃO DE TAXAS DE MORTALIDADE APLICADAS À POPULAÇÕES DE FUNDOS DE PENSÃO DO SETOR ELÉTRICO Dsseração aprovada como requso parcal para obenção do grau de Mesre no curso de Pós-Graduação em Méodos Numércos em Engenhara do Seor de Tecnologa do Cenro de Esudos em Engenhara Cvl Professor Inaldo Ayres Vera, da Unversdade Federal do Paraná, pela segune banca eamnadora: Orenador: Prof. PhD. Paulo Jusnano Rbero Junor Unversdade Federal do Paraná Prof. PhD. Kazô Iwakam Belrão Escola Naconal de Cêncas Esaíscas. Prof. PhD. Renao Marns Assunção Unversdade Federal de Mnas Geras Curba, 21 de dezembro de 2009. À Elane, mnha esposa, por er suporado as ausêncas e falas mposas por ese rabalho. À Joana, mnha mãe, por sempre er acredado em mm e por suas consanes orações. AGRADECIMENTOS Ao Pa celesal, pela vda, pelos dons e poras que sempre me abru. Ao professor Paulo Jusnano, por sua dsposção em comparlhar seu grande conhecmeno em Esaísca, por sua ncrível capacdade em ornar assunos ão compleos em lnguagens acessíves e, prncpalmene, por sua orenação. Ao professor Jorge Fesa, pela confança, amzade e pelos anos de convívo na Fundação Copel, que muo conrbuu em mnha rajeóra esudanl e profssonal. Aos colegas auáros Carmem, Lucano e Slvo, por erem nermedado juno às suas Fundações, o fornecmeno de dados para a realzação dese rabalho. Aos colegas de pós-graduação Ana Bearz, Helena e Regnaldo, pela amzade, companhersmo e colaboração recebda durane o curso. À Marsela, por sua presavdade, compeênca e efcênca, sempre smpáca. À odos os professores do PPGMNE, que ambém possuem sua parcela de conrbução à ese rabalho aravés dos conhecmenos repassados. À Fundação Copel, por me dsponblzar o empo necessáro ao esudo, enendendo a relevânca dese rabalho ambém para a endade. RESUMO O processo de envelhecmeno populaconal que vem afeando a população mundal - o qual é caracerzado por quedas sgnfcavas nas aas de moraldade e fecunddade - em afeado os ssemas de prevdênca e segurdade em odo o mundo, alerando-os a adoarem hpóeses bomércas cada vez mas conservadoras, mpacando os cálculos auaras. Essas endêncas já começam a ser conempladas nos cálculos de provsões maemácas e de benefícos aravés do uso de algumas ferramenas de consrução de ábuas de moraldade e projeções de aas de moraldade fuuras. Dane dsso, consderando a população de eposos ao rsco de ses Endades de Prevdênca Complemenar Fechadas do sul do país especfcamene do seor elérco o objevo dese esudo é graduar e projear as aas de moraldade desa população, obendo nformações sobre seus níves de moraldade auas e fuuros, aulando na adoção da hpóese de moraldade geral que melhor refla a moraldade do grupo. Para so, aplcouse a écnca de Graduação Bayesana de Taas de Moraldade ulzando smulação esocásca de Mone Carlo va Cadeas de Markov (MCMC) na população de asssdos das referdas Fundações, consderando os anos de esudo de 2000 a 2008, obendo-se uma ábua de moraldade para as dades enre 42 e 90 anos. Também fo ulzado o modelo demográfco de Lee-Carer para projeção das aas de moraldade graduadas, obendo os respecvos faores de melhora a serem aplcados às mesmas, projeando-as para o fuuro, ornando a ábua na forma geraconal e obendo o comporameno fuuro dos níves de moraldade. A componene k do modelo de Lee-Carer, que corresponde a uma sére emporal que descreve a mudança na moraldade ao longo do empo, fo modelada por um processo ARIMA, o qual fo smulado esocascamene ulzando boosrap paramérco, obendo-se nervalos de confança empírcos para as aas de moraldade observadas. Palavras-chave: Graduação Bayesana. Tabua de Moraldade. MCMC. Lee-Carer. Taas de Moraldade. ABSTRACT The agng process whch comes affecng he global populaon - whch s characerzed by he sgnfcan decreases on he moraly and ferly raes - s affecng he welfare and secury sysems all over he world, warnng hem o adop more conservaves bomerc hypoheses whch mpac he acuaral calculaon. These rends, already begun o be consdered n he mahemacal provsons and benefs calculaon hrough he use of some ools lke he consrucon of moraly ables and fuure moraly raes projecons. Whereupon, consderng he populaon eposed o rsk of s Penson Funds of counry s souhern regon - specfcally of he elecrc secor - he objecve of hs sudy s o graduae and projec he moraly raes of hs populaon o oban nformaon abou he presen and fuure moraly levels, whch wll help on he adopon of general moraly hypohess ha beer reflecs he moraly of he group. For ha, was appled he Bayesan Graduaon Moraly Rae usng sochasc smulaon of Mone Carlo Markov Chan (MCMC) on he rered populaon of he referred funds, consderng he years 2000 o 2008, o oban a moraly able for he ages beween 42 and 90 years old. I was also use he demographc Lee-Carer model for he moraly graduaed raes projecon, geng he mprovemen facors o be appled, projecng hem o he fuure, ransformng he able n he generaonal form and obanng he fuure behavor of he moraly levels. The k componen of he Lee- Carer model, ha correspond o a me seres ha descrbes he change n he moraly over he me, was modeled by an ARIMA process, whch was sochascally smulaed usng paramerc boosrap, geng emprc confdence nervals for he observed moraly raes. Key-words: Bayesan Graduaon. Moraly Table. MCMC. Lee-Carer. Moraly Raes. LISTA DE SIGLAS ARIMA - Auorregressve Inegraed Movng Average BUGS - Bayesan Inference Usng Gbbs Sampler CELOS - Fundação Celesc de Segurdade Socal CGPC - Conselho de Gesão de Prevdênca Complemenar DIC - Devance Informaon Creron EFPC - Endade Fechada de Prevdênca Complemenar ELOS - Fundação Elerosul de Prevdênca e Asssênca Socal FC - Fundação Copel de Prevdênca e Asssênca Socal FIBRA - Fundação Iapu Brasl de Prevdênca e Asssênca Socal FUNCESP - Fundação CESP de Segurdade Socal HMD - Humam Moraly Daabase JAGS - Jus Anoher Gbbs Sampler MCMC - Mone Carlo Markov Chan MH - Meropols Hasngs MLG - Modelo Lnear Generalzado SOA - Socey of Acuares SUSEP - Supernendênca de Seguros Prvados SVD - Sngular Value Decomposon SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO METODOLOGIAS CONCEITOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA ATUARIAL GRADUAÇÃO DE TAXAS DE MORTALIDADE MODELOS BAYESIANOS DE GRADUAÇÃO IMPLEMENTAÇÃO DOS MODELOS DE GRADUAÇÃO BAYESIANA O MODELO DE LEE-CARTER AJUSTE DO MODELO AJUSTE DA COMPONENTE k do MODELO SIMULAÇÃO DA COMPONENTE k E TAXAS BRUTAS DE MORTALIDADE GRADUAÇÃO DAS TAXAS BRUTAS DE MORTALIDADE ANÁLISE DOS DADOS CÁLCULO DAS TAXAS BRUTAS DE MORTALIDADE TESTE DE ADERÊNCIA GRADUAÇÃO BAYESIANA DAS TAXAS BRUTAS DE MORTALIDADE MODELOS DE GRADUAÇÃO BAYESIANA MODELO DE CARLIN MODIFICADO COM β FIXO MODELO COM REPARAMETRIZAÇÃO TIPO BROFFIT MODELO COM FORÇA DE MORTALIDADE TIPO GOMPERTZ MODELO COM FORÇA DE MORTALIDADE TIPO MAKEHAM COMPARAÇÃO ENTRE OS MODELOS DE GRADUAÇÃO PROPOSTOS CONSTRUÇÃO DA TÁBUA DE MORTALIDADE BAYESIANA MODELO ESTÁTICO LOCAL MODELO ESTÁTICO GLOBAL ANÁLISE DOS RESULTADOS PROJEÇÃO DE TAXAS DE MORTALIDADE TÁBUAS ESTÁTICAS E GERACIONAIS APLICAÇÃO DO MODELO DE LEE-CARTER ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS DO MODELO AJUSTE DE UM PROCESSO ARIMA À COMPONENTE k DO MODELO SIMULAÇÃO DO PROCESSO ARIMA(0,1,1) POR BOOTSTRAP PROJEÇÃO DAS TAXAS DE MORTALIDADE DA TÁBUA BAYESIANA... 93 4.4.1 IMPACTOS NAS RESERVAS MATEMÁTICAS CONCLUSÃO REFERÊNCIAS ANEXO I Quandade Incal de Eposos ao Rsco ANEXO II Quandade de Mores Observadas ANEXO III Taas Bruas de Moraldade ANEXO IV Tábua de Moraldade Bayesana Consruída sob o Modelo Esáco Local ANEXO V Esmavas dos Parâmeros do Modelo de Lee-Carer APÊNDICE 1 INTRODUÇÃO Ao longo de oda a hsóra, pessoas com 65 anos de dade ou mas nunca represenaram mas do que 2% ou 3% da população. Porém nos úlmos 150 anos essa proporção subu e já alcança paamares em orno de 15% no mundo desenvolvdo de hoje, se esperando um nível de 25% em 2030, podendo ser maor anda em alguns países da Europa Connenal que envelhecem rapdamene (WATSON WYATT, 1999). Ese rápdo envelhecmeno populaconal, prmeramene fo evdencado em países desenvolvdos, mas já é realdade em países em desenvolvmeno como o Brasl, que aravessa o que se convenconou chamar de ercera fase da ransção demográfca (BELTRÃO; CAMARANO, 1999). Tal ransção é caracerzada por uma queda nos níves de moraldade, seguda depos de um lapso por uma queda nos níves de fecunddade, resulando num ouro período de esabldade. A maor pare dos países europeus levou quase um século para complear sua ransção da fecunddade. Suéca e Inglaerra, por eemplo, levaram cerca de ses décadas (apromadamene de 1870 a 1930) para dmnur em orno de 50% seus níves de fecunddade. O Brasl, por sua vez, epermenou um declíno smlar em um quaro de século (WONG; CARVALHO, 2006). Porano, a Transção de Esruura Eára que o Brasl esá epermenando em odas as suas regões, em sdo eremamene rápda. A Fgura 1.1 represena as evoluções demográfcas das populações da Amérca Lana, Carbe e Brasl, segundo nformações das Nações Undas. 12 Fgura 1.1 Evolução Demográfca da Amérca Lana, Carbe e Brasl, consderando o período compreenddo enre os anos de 1950 a O declíno da moraldade no Brasl esá se concenrando nas dades mas avançadas, endo como efeo a aceleração do processo de envelhecmeno, conrbundo ambém para ouras duas alerações da função de sobrevvênca: reangularzação e epansão. A prmera dz respeo ao fao de esar ocorrendo uma grande concenração de mores em orno de uma dade méda de more, a parr da qual a lnha da função começa a se curvar. Aé chegar nese pono médo, as probabldades de sobrevvênca ambém vão aumenando, fazendo com que um maor número de pessoas alcance dades mas avançadas. Já a segunda aleração, é caracerzada pela elevação da dade lme que a população alcança. A Fgura 2.1 lusra a evolução da sobrevda, caracerzada pela reangularzação e epansão da função de sobrevvênca S(), que represena a proporção de sobrevvenes segundo a dade (SANTOS, 2007). 13 Fgura 2.1 O gráfco esquerdo represena a evolução da dade na qual ocorre o maor número de óbos, enquano o dreo represena a evolução da dade lme a ser alcançada. Com base na velocdade que o envelhecmeno populaconal vem ocorrendo no Brasl, surgem grandes desafos não só para o governo, que deverá rever e reformular suas polícas sóco-econômcas e de desenvolvmeno, mas ambém para pesqusadores demógrafos, esaíscos, auáros denre ouros no sendo de dedcarem esforços na busca de soluções para o problema, propondo meodologas de adequação ao fenômeno nas mas dversas áreas, sendo uma delas prevdênca e segurdade, a qual é grandemene mpacada. Tas mpacos esão dreamene lgados à necessdade de provsonameno de recursos necessáros ao pagameno de rendas de sobrevvênca aposenadoras e pensões - por empo superor àquele deermnado aravés de ábuas de moraldade esácas, baseadas em eperêncas de ouros países, podendo não refler a moraldade aual e fuura da população braslera, especalmene aquela parcela da população que recebe renda provenene da Prevdênca Complemenar Fechada Fundos de Pensão. Assm, dada a evolução conínua dos níves de moraldade da população que alcançam paamares cada vez menores a escolha das ábuas de moraldade que melhor reflam as níves, se orna uma arefa de erema relevânca por pare das endades de prevdênca e segurdade, endo em vsa que é um nsrumeno ndspensável nos cálculos de rendas de sobrevvênca, conrbuções, prêmos, bem como o dmensonameno das Provsões Maemácas. As meddas que vêm sendo omadas por pare dos ssemas de prevdênca e segurdade, com o objevo de mensurar os níves de moraldade de seus parcpanes e avalar a adequabldade das ábuas de moraldade adoadas, é a realzação de eses de 14 aderênca, os quas se baseam nas populações eposas ao rsco e nformações nerenes a elas, as como seu amanho e as dades das pessoas que as compõem. Tas eses são realzados no mínmo uma vez ao ano e geralmene consderam aquela parcela da população que já eseja em gozo de benefco, so é, os parcpanes asssdos. Além desa ferramena de mensuração, ambém esem deermnações de órgãos reguladores deses ssemas num sendo prudencal, esabelecendo parâmeros mínmos a serem adoados quano á moraldade de seus parcpanes. O Conselho de Gesão de Prevdênca Complemenar (CGPC), já emu duas Resoluções: a prmera é a Resolução CGPC N o 18 de 28 de Março de 2006, que esabelece a adoção da ábua bomérca AT-1983 (Annuy Table 1983) como parâmero mínmo de moraldade, cuja epecava de vda (ao nascer) é de apromadamene 79 anos. Já a Resolução CGPC N o 26 de 29 de Seembro de 2008, que é a segunda, esabelece como al parâmero a adoção da ábua bomérca AT-2000 (Annuy Table 2000), desde que observadas as recomendações feas na própra Resolução. Para esa úlma ábua, a epecava de vda ao nascer é de pouco mas de 81 anos de dade. Apesar das meddas adoadas pelos ssemas de prevdênca e segurdade, bem como a aude prudencal do CGPC em esabelecer as ábuas já cadas como parâmeros mínmos de moraldade para as Endades de Prevdênca Complemenar Fechadas (EFPC s), a qual ambém vsa preservar o equlíbro e solvênca dos planos das EFPC s; surge a quesão de quão fdedgnamene as ábuas esaram represenando a real moraldade dos parcpanes desas endades, uma vez que se raam de eperêncas nernaconas. Uma enava de responder a al perguna, é a realzação de eses de aderênca conforme já cado. Todava, a valdade dos resulados da aplcação desa ferramena, esá arelada ao pressuposo esaísco de que a população em esudo deve ser sufcenemene grande, pos só assm o prncípo da aderênca é aenddo. Ocorre que, em váras EFPC s, o amanho das populações sobre as quas se aplcam as eses, são nferores a 3000 parcpanes, mpossblando a afrmação de que o referdo pressuposo enha sdo aenddo. Assm, por se raar de populações pequenas, as conclusões de as eses acabam se fundamenando no prncípo da endênca, que como já é sabdo e comprovado em esudos, é de queda nos níves de moraldade. Nese sendo, o prmero objevo dese rabalho é a consrução de uma ábua de moraldade para dades específcas ulzando o procedmeno de graduação de aas de moraldade, baseada nas eperêncas das EFPC s (consderando uma população de amanho mínmo razoável), de forma a ober um comparavo dos níves de moraldade da população em esudo com aqueles provenenes das ábuas esabelecdas como parâmeros mínmos e ouras que evenualmene são adoadas nas Endades. Já o segundo objevo, consse em 15 ober faores de melhora ou escalas de projeções aplcando-os sobre as probabldades de more da ábua consruída, ornando-a geraconal. Assm, busca-se ober os comporamenos dos níves fuuros de moraldade da população em esudo, de forma a possblar uma vsão anecpada dos compromssos das endades com seus parcpanes no fuuro, manendo a solvênca e equlíbro de seus planos. A meodologa ulzada na consrução da ábua consse numa abordagem de nferênca bayesana em conjuno com a écnca de smulação esocásca de Mone Carlo va Cadeas de Markov (MCMC), por meo do Amosrador de Gbbs (Gbbs Sampler). Aravés de as écncas, foram mplemenados modelos paramércos e não paramércos de Graduação de Taas Bruas de Moraldade. Para cada modelo mplemenado, avalou-se o melhor ajuse aos dados observados e melhor predção dos dados replcados, obendo-se a ábua de moraldade resulane. Faores de melhora ou escalas de projeções para ornar a ábua consruída na forma geraconal, foram obdos medane aplcação do modelo de Lee-Carer, ambém mplemenado esocascamene ulzando boosrap paramérco num processo ARIMA(p,d,q), o qual se ajusa à componene k do modelo, a qual corresponde à uma sére emporal que descreve a mudança na moraldade ao longo do empo. Os dados dsponblzados para o esudo são provenenes de ses EFPC s do sul e sudese do país, a saber, Fundação Copel de Prevdênca e Asssênca Socal, Fundação CEEE, FUNCESP, Fundação Iapu BR de Prevdênca e Asssênca Socal (FIBRA), Fundação Celesc de Segurdade Socal (CELOS) e Fundação Elerosul de Prevdênca e Asssênca Socal (ELOS), endo odas em comum o segumeno de energa elérca. Para cada Endade, os dados referem-se aos parcpanes asssdos (aposenados) no período compreenddo enre os anos 2000 e 2008, consderando o mês de dezembro de cada ano. Tano na mplemenação dos modelos de Graduação Bayesana como na smulação do processo ARIMA(p,d,q) por boosrap paramérco, foram ulzados os programas esaíscos R (R Developmen Core Team, 2009), JAGS (PLUMMER, 2009) e WnBUGS (SPIEGELHALTER; THOMAS; BEST; LUNN, 2003). Os pacoes JAGS e WnBUGS, são versões da lnguagem BUGS (Bayesan Inference Usng Gbbs Sampler), por meo dos quas foram mplemenadas smulações esocáscas por MCMC aravés do Amosrador de Gbbs. O JAGS é desenvolvdo para o ssema operaconal Lnu, podendo ambém ser eecuado sob o Wndows, assm como o WnBUGS. Ambos foram eecuados a parr de programas escros em lnguagem R que se ulzam de nerfaces dsponblzadas por pacoes adconas do R, sendo que para o 16 WnBUGS em especal, é necessáro a nsalação do pacoe R2WnBUGS (STURTZ; LIGGES; GELMAN, 2005). As análses e dagnóscos de convergênca das cadeas foram realzados aravés do pacoe coda (PLUMMER; BEST; COWLES; VINES, 2009), nerno ao R. Os sofwares são odos grauos de códgo abero, esando o R dsponível em (hp://cran.rprojec.org/bn/wndows/base/), o JAGS em (hp://www-ce.arc.fr/~maryn/sofware/jags/) e o WnBUGS em (hp://www.mrc-bsu.cam.ac.uk/bugs/). Fnalmene, a esruuração dese rabalho esá organzado da segune forma: no capíulo 2 são abordadas as meodologas empregadas ano na graduação como na projeção das aas de moraldade, bem como alguns conceos báscos de auára, os quas são essencas. No capíulo 3 é realzada uma análse dos dados e são apresenadas as defnções e aplcações dos modelos de Graduação Bayesana, bem como a consrução da ábua bayesana de moraldade junamene com algumas consderações sobre os resulados alcançados. Já no capíulo 4, é verfcada a adequabldade da aplcação do modelo de Lee-Carer aos dados da população de eposos ao rsco, vsando ornar a ábua de moraldade bayesana na forma geraconal, dscundo os resulados decorrenes da aplcação do modelo e as resrções de sua aplcação aos dados e, por fm, o capíulo 5 apresena as conclusões e sugesões de eensão dese rabalho. Todos os códgos de comandos consruídos para mplemenação das análses, se enconram dsponíves no Apêndce. 17 2 METODOLOGIAS Ese rabalho esá esruurado sobre o paradgma de nferênca bayesana para a graduação de aas de moraldade e a écnca de projeção de Lee-Carer (LEE; CARTER, 1992), ambos mplemenados aravés de méodos compuaconalmene nensvos, especfcamene smulação de Mone Carlo va Cadeas de Markov (MCMC) e boosrap paramérco, respecvamene. No que dz respeo à Graduação de Taas Bruas de Moraldade, os modelos proposos são de esruura herárquca (NEVES, 2005), mplemenados por MCMC. Os modelos são consruídos com base na função de verossmlhança e especfcação das prors dos parâmeros de neresse. Inferêncas são baseadas nas dsrbuções a poseror dos mesmos. Na meodologa de projeção de aas de moraldade, o modelo de Lee-Carer, mescla um modelo demográfco com séres emporas, onde uma de suas componenes é ajusada por um processo ARIMA(p,d,q), o qual fo mplemenado de forma esocásca aravés de boosrap paramérco. Ese capíulo revsa as conceos e écncas, nclundo uma nrodução a conceos báscos de Auára, os quas são fundamenas ano na graduação como na projeção de aas de moraldade. 2.1 CONCEITOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA ATUARIAL Tano na graduação das aas bruas de moraldade como na projeção das aas graduadas, são ulzados conceos de Auára quando do desenvolvmeno desas eapas do rabalho. As noações ulzadas são unversalmene aceas, buscando aender as convenções deermnadas pelo Inernaonal Acuaral Assocaon s Permanen Co
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