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VERSÃO 1. Prova Escrita de Matemática A. 12.º Ano de Escolaridade. Prova 635/2.ª Fase. Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos.

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EXAME NACINAL D ENSIN SECUNDÁRI Decreto-Lei n.º 9/0, de 5 de julho Prova Escrita de Matemática A.º Ano de Escolaridade Prova 65/.ª Fase 5 Páginas Duração da Prova: 50 minutos. Tolerância: 0 minutos. 0
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EXAME NACINAL D ENSIN SECUNDÁRI Decreto-Lei n.º 9/0, de 5 de julho Prova Escrita de Matemática A.º Ano de Escolaridade Prova 65/.ª Fase 5 Páginas Duração da Prova: 50 minutos. Tolerância: 0 minutos. 0 VERSÃ Prova 65.V/.ª F. Página / 5 Página em branco - Prova 65.V/.ª F. Página / 5 Na folha de respostas, indique de forma legível a versão da prova (Versão ou Versão ). A ausência dessa indicação implica a classificação com zero pontos de todas as respostas aos itens de escolha múltipla. Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével, azul ou preta, eceto nas respostas que impliquem a elaboração de construções, de desenhos ou de outras representações, que podem ser, primeiramente, elaborados a lápis, sendo, a seguir, passados a tinta. Utilize a régua, o compasso, o esquadro, o transferidor e a calculadora gráfica sempre que for necessário. Não é permitido o uso de corretor. Em caso de engano, deve riscar de forma inequívoca aquilo que pretende que não seja classificado. Escreva de forma legível a numeração dos grupos e dos itens, bem como as respetivas respostas. As respostas ilegíveis ou que não possam ser claramente identificadas são classificadas com zero pontos. Para cada item, apresente apenas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a um mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar. Para responder aos itens de escolha múltipla, escreva, na folha de respostas: o número do item; a letra que identifica a única opção escolhida. Não apresente cálculos, nem justificações. A prova inclui, na página 5, um Formulário. As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova. Prova 65.V/.ª F. Página / 5 Página em branco - Prova 65.V/.ª F. Página 4/ 5 Formulário Geometria Comprimento de um arco de circunferência: ar^a-amplitude, em radianos, do ânguloaocentro; r-raioh Áreas de figuras planas Losango: Trapézio: Diagonal maior # Diagonal menor Base maior+ Base menor # Altura Polígono regular: Semiperímetro # Apótema Sector circular: ar ^a -amplitude, em radianos, do ânguloaocentro; r-raioh Áreas de superfícies Área lateral de um cone: r rg^r -raioda base; g-geratrizh Área de uma superfície esférica: 4rr ] r - raiog Volumes Pirâmide: # Áreadabase # Altura Cone: # Áreadabase # Altura 4 Esfera: rr ] r- raiog Trigonometria sen] a+ bg= sena cosb+ senb cosa cos] a+ bg= cosa cosb- sena senb tga+ tgb tg ] a+ bg= - tga tgb Compleos n ^tcisih = t n cis ^nih tcisi = t cisb i+ kr l ] k!! 0,, n- + e n! Ng n n n f Probabilidades n = p + f + p n n v = p ] - ng + f + p ^ - nh ^ u e hl = ul e ^ u a hl u = ul a ln a ^a! R ^ln uhl ul = u log u u a l l ^ h = uln a n n Se X é N] nv, g, então: P] n- v X n+ vg. 0, 687 P] n- v X n+ vg , P] n- v X n+ vg. 0997, Regras de derivação ^u+ vhl = ul + vl ^uvhl= uv l + uvl u l uv l = - uvl ` v j v ^ n n u hl nu - = ul ^n! Rh ^senuhl = ul cos u ^cos uhl =-ul sen u ^tg uhl = ul cos u Limites notáveis limb + l = e n u lim sen = 0 lim 0 lim ln ^ + h = 0 lim + lim + e - = ln = 0 e p n =+ + ^a! R + ^n! Nh ^p! Rh , h , h Prova 65.V/.ª F. Página 5/ 5 GRUP I Na resposta a cada um dos itens deste grupo, selecione a única opção correta. Escreva, na folha de respostas: o número do item; a letra que identifica a única opção escolhida. Não apresente cálculos, nem justificações.. Na Figura, está representado um tabuleiro quadrado dividido em dezasseis quadrados iguais, cujas linhas são A, B, C e D e cujas colunas são,, e 4. João tem doze discos, nove brancos e três pretos, só distinguíveis pela cor, que pretende colocar no tabuleiro, não mais do que um em cada quadrado. A B C D 4 Figura De quantas maneiras diferentes pode o João colocar os doze discos nos dezasseis quadrados do tabuleiro? (A) 6C (B) 6C 7 9 C (C) 6A (D) 6 A 7 9 A. Considere a linha do triângulo de Pascal em que o produto do segundo elemento pelo penúltimo elemento é 484. Qual é a probabilidade de escolher, ao acaso, um elemento dessa linha que seja superior a 000? (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8. Sejam a e b dois números reais tais que a b e loga b = Qual é, para esses valores de a e de b, o valor de log ^a5 bh + alogab? (A) 6 + b (B) 8 + b (C) 6 + a b (D) 8 + a b a Prova 65.V/.ª F. Página 6/ 5 4. Seja f uma função de domínio 6 Sabe-se que: f é contínua no seu domínio; f ( e) = f () = e Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? (A) A equação f^h = 0 tem pelo menos uma solução e, 6 (B) A equação f^h = e tem pelo menos uma solução e, 6 (C) A equação f^h = 0 tem pelo menos uma solução e, 6 (D) A equação f^h = e tem pelo menos uma solução e, 6 5. Sejam fle fll, de domínio R, a primeira derivada e a segunda derivada de uma função f, respetivamente. Sabe-se que: a é um número real; P é o ponto do gráfico de f de abcissa a f^h f^ah lim = 0 a a fll^ah= Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? (A) a é um zero da função f (B) f^ah é um máimo relativo da função f (C) f^ah é um mínimo relativo da função f (D) P é ponto de infleão do gráfico da função f Prova 65.V/.ª F. Página 7/ 5 6. Na Figura, está representada, num referencial ortogonal y, parte do gráfico de uma função polinomial g, de grau 4 y g 4 4 Figura Seja f uma função, de domínio R, que verifica a condição f^h = g ^ h Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função f l, primeira derivada da função f? (A) y 5 5 (B) y (C) 5 y (D) 5 y Prova 65.V/.ª F. Página 8/ 5 7. Considere, em C, conjunto dos números compleos, z = + bi, com b 0 Seja a! 0, r E ; Qual dos números compleos seguintes pode ser o conjugado de z? (A) cis^ah (B) cis^ ah (C) cis^ah (D) cis^ ah 8. Considere, em C, conjunto dos números compleos, a condição # z + i # / r # arg^z + ih # r Considere como arg^z h a determinação que pertence ao intervalo 6 r, r6 Qual das opções seguintes pode representar, no plano compleo, o conjunto de pontos definido pela condição dada? (A) Im(z) (B) Im(z) Re(z) Re(z) (C) (D) Im(z) Im(z) Re(z) Re(z) Prova 65.V/.ª F. Página 9/ 5 GRUP II Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eato.. Seja o conjunto dos números compleos... Considere z i i z = + + e = iz Determine, sem utilizar a calculadora, o menor número natural n tal que negativo. z n ^ h é um número real.. Seja a! 6 r, r6 Mostre que cos^r ah + i cos r ` a j = cis^r ah cosa+ i sen a. Na Figura, está representado um dado cúbico, não equilibrado, com as faces numeradas de a, em que faces opostas têm o mesmo número. Figura Lança-se o dado uma única vez e observa-se o número da face voltada para cima. Sejam A e B os acontecimentos seguintes. A: «sair número ímpar» B: «sair número menor do que» Sabe-se que: P^A, Bh P^A+ Bh = PB ^ Ah= 7 Determine a probabilidade de sair o número 5 9 Prova 65.V/.ª F. Página 0/ 5 . Numa conferência de imprensa, estiveram presentes 0 jornalistas... Considere a eperiência aleatória que consiste em escolher, ao acaso, um dos 0 jornalistas presentes nessa conferência de imprensa. Seja X a variável aleatória «número de jornalistas do seo feminino escolhidos». A tabela de distribuição de probabilidades da variável X é a seguinte. i 0 PX ^ = i h 5 5 Considere agora a eperiência aleatória que consiste em escolher, ao acaso, dois dos 0 jornalistas presentes nessa conferência de imprensa. Seja Y a variável aleatória «número de jornalistas do seo feminino escolhidos». Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável Y Apresente as probabilidades na forma de fração... Considere o problema seguinte. «Admita que a conferência de imprensa se realiza numa sala, cujas cadeiras se encontram dispostas em cinco filas, cada uma com oito cadeiras. Todos os jornalistas se sentam, não mais do que um em cada cadeira, nas três primeiras filas. De quantas maneiras diferentes se podem sentar os 0 jornalistas, sabendo que as duas primeiras filas devem ficar totalmente ocupadas?» Apresentam-se, em seguida, duas respostas corretas. Resposta I) 0 C 6! 8 6 A 4 Resposta II) A A A Numa composição, apresente os raciocínios que conduzem a cada uma dessas respostas. Prova 65.V/.ª F. Página / 5 4. Considere a função f, de domínio R, definida por Z ] e+ + se # ] f^h = [ ] - + sen^- h se \ - Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. 4.. Averigue se a função f é contínua em = 4.. Mostre que o gráfico da função f admite uma assíntota oblíqua quando tende para 5. Seja g uma função, de domínio R +, cuja derivada, gl, de domínio R +, é dada por g ln e 6e = + l^ h ^ + 4h Estude a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à eistência de pontos de infleão, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. 6. Considere, num referencial o.n. y, a representação gráfica da função f, de domínio definida por f = + ln^ ^ h + h, o ponto A de coordenadas (, 0) e um ponto P que se desloca ao longo do gráfico da função f Eiste uma posição do ponto P para a qual a área do triângulo [AP ] é mínima. Determine a área desse triângulo, recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; indicar o valor da área do triângulo [AP ] com arredondamento às centésimas. Prova 65.V/.ª F. Página / 5 7. Na Figura 4, estão representados, num referencial o.n. y, o triângulo [AB] e a reta r A r y a B Figura 4 Sabe-se que: a reta r é definida por = o ponto A pertence à reta r e tem ordenada positiva; o ponto B é o simétrico do ponto A em relação ao eio a é a amplitude, em radianos, do ângulo cujo lado origem é o semieio positivo e cujo lado etremidade é a semirreta A o a! E r, r ; a função P, de domínio r E, r ;, é definida por P^h= 6 tg 6 cos 7.. Mostre que o perímetro do triângulo [AB] é dado, em função de a, por P^ah 7.. Determine o declive da reta tangente ao gráfico da função P no ponto de abcissa a calculadora. 5r, sem utilizar 6 FIM Prova 65.V/.ª F. Página / 5 Página em branco - Prova 65.V/.ª F. Página 4/ 5 CTAÇÕES GRUP I. a 8... (8 5 pontos) pontos 40 pontos GRUP II pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos 60 pontos TTAL pontos Prova 65.V/.ª F. Página 5/ 5
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