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     R   A   C   I   O   C    Í   N   I   O    L    Ó   G   I   C   O    1 ÍNDICE CAPÍTULO 01 ....................................................................................2 Proposições ............................................................................................................2 Definições .........................................................................................................................2Tabela-Verdade e Conectivos Lógicos ..............................................................................3Equivalências Lógicas .......................................................................................................5Tautologias, Contradições e Contingências ......................................................................6Relação entre Todo, Algum e Nenhum .............................................................................6 CAPÍTULO 02 ....................................................................................9 Argumentos ............................................................................................................9 Definições .........................................................................................................................9Métodos para Classificar os Argumentos .......................................................................10 CAPÍTULO 03 ..................................................................................16 Psicotécnicos .......................................................................................................16 CAPÍTULO 04 ..................................................................................21 Teoria de Conjuntos ..............................................................................................21 Definições .......................................................................................................................21Subconjuntos ..................................................................................................................22Operações com Conjuntos .............................................................................................22 CAPÍTULO 05 ..................................................................................25 Análise Combinatória ...........................................................................................25 Definição ........................................................................................................................25Fatorial ...........................................................................................................................25Princípio Fundamental da Contagem (P.F.C.) ..................................................................26Arranjo e Combinação ....................................................................................................26Permutação ....................................................................................................................27 CAPÍTULO 06 ..................................................................................31 Probabilidade .......................................................................................................31 Definições .......................................................................................................................31Fórmula da Probabilidade ..............................................................................................31Eventos Complementares ..............................................................................................31Casos Especiais de Probabilidade ...................................................................................32 CAPÍTULO 07 ..................................................................................36 Geometria Plana ...................................................................................................36 Semelhanças de Figuras .................................................................................................36Relações Métricas nos Triângulos ..................................................................................36Quadriláteros .................................................................................................................37Polígonos Regulares .......................................................................................................38Círculos e Circunferências ..............................................................................................38Polígonos Regulares Inscritos e Circunscritos .................................................................39Perímetros e Áreas dos Polígonos e Círculos ..................................................................40 CAPÍTULO 08 ..................................................................................43 Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares ..............................................................................................43 Matrizes ..........................................................................................................................43Representação de Uma Matriz .......................................................................................43Lei de Formação de Uma Matriz ....................................................................................43Tipos de Matrizes ...........................................................................................................43Operações com Matrizes ................................................................................................44Determinantes ...............................................................................................................45Cálculo dos Determinantes ............................................................................................45Propriedade dos Determinantes ....................................................................................46Sistemas Lineares ...........................................................................................................48Representação de um Sistema Linear em Forma de Matriz ...........................................48Resolução de um Sistema Linear ....................................................................................48     2    R   a   c   i   o   c    í   n   i   o    L    ó   g   i   c   o CAPÍTULO 01 Proposições A matéria é fácil e, com um pouco de concentração, consegue-se aprendê-la e principalmente dominar a matéria e garantir sua aprovação. Definições Proposição é uma declaração  (sentença declarativa, com sujeito “definido”, verbo e sentido completo) que pode ser classificada  em valores como verdadeiro e falso.São exemplos de proposições:   ˃ p:  Daniel é enfermeiro.   ˃ Q:  Leo foi à Argentina.   ˃ a:  Luiza adora brincar.   ˃ B:  Rosário comprou um carro. Essas letras “p”, “Q”, “a”, “B”, servem para representar (simbolizar) as proposições. Valores Lógicos das Proposições Uma proposição só pode ser classificada em dois valores lógicos, que são o Verdadeiro (V)  ou o Falso (F) , não admitindo outro valor.As proposições têm três princípios básicos, sendo um deles o princípio fundamental que é:   → Princípio da não-contradição:  diz que uma propo-sição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.Os outros dois são:   → Princípio da identidade:  diz que uma proposição verdadeira sempre será verdadeira e uma falsa sempre será falsa.   → Princípio do terceiro excluído:  diz que uma propo-sição só pode ter dois valores lógicos, ou o de ver-dadeiro ou o de falso, não existindo  um terceiro valor. Perguntas, exclamações e ordens não são proposi-ções. Exemplos:   ˃ Que dia é hoje?    ˃ Que maravilha!    ˃ Estudem muito. Sentenças Abertas e Quantificadores Lógicos Existem algumas “sentenças abertas” que aparecem com incógnitas (termo desconhecido), como por exemplo: “x + 2 = 5”, não sendo consideradas pro-posições, já que não se pode classificá-las sem saber o valor de “x”, porém, com o uso dos quantificadores lógicos,  elas tornam-se proposições, uma vez que esses quantificadores passam a dar valor ao “x”. Os quantificadores lógicos são: ˃ : para todo; qualquer que seja; todo; ˃ : existe; existe pelo menos um; algum; ˃ : não existe; nenhum. Veja agora como fica no exemplo:  ˃ x + 2 = 5 (sentença aberta - não é proposição)  ˃ p: x, x + 2 = 5 (Lê-se: existe x tal que, x + 2 =5). Agora é proposição, uma vez que agora é possível classificar a proposição como verdadeira, já que sabemos que tem um valor de “x” que somado a dois é igual a cinco. 01. Entre as frases apresentadas a seguir, identifica-das por letras de A a E, apenas duas são proposi-ções. A. Pedro é marceneiro e Francisco, pedreiro.B. Adriana, você vai para o exterior nessas férias? C. Que jogador fenomenal! D. Todos os presidentes foram homens honrados.E. Não deixe de resolver a prova com a devida atenção. CERTO. Nessa questão temos as frases B (pergunta), C (exclamação) e E (ordem) que não são proposições,  já as frases A e D são, uma vez que tem sujeito, verbo e sentido e podem ser classificadas. Negação de Proposição - Modificador Lógico Negar uma proposição significa modificar o seu valor lógico, ou seja, se uma proposição é verdadeira, a sua negação será falsa, e se uma proposição for falsa, a sua negação será verdadeira. Os símbolos da negação são (~) ou (¬) antes da letra que representa a proposição. Exemplo:   ˃ p:  3 é ímpar;   ˃ ~p:  3 não  é ímpar;   ˃ ¬p: 3 é par  (outra forma de negar a proposição).   → Lei da dupla negação:~(~p) = p , negar uma proposição duas vezes signifi-ca voltar para própria proposição; vejamos:   ˃ q:  2 é par;   ˃ ~q:  2 não é par;   ˃ ~(~q):  2 não  é ímpar ; portanto;   ˃ q: 2 é par.     R   a   c   i   o   c    í   n   i   o    L    ó   g   i   c   o    3 Tipos de Proposição As proposições são de apenas dois tipos, simples  ou compostas .A principal diferença entre as proposições simples e as compostas é a presença do conectivo lógico  nas proposições compostas; além disso, tem-se também que as proposições compostas podem ser divididas, enquanto as proposições simples não. Outro detalhe é que as proposições simples têm apenas 1 verbo enquanto as compostas têm mais de 1 verbo. Observe o quadro para diferenciar mais fácil os dois tipos de proposição. Simples (atômicas)Compostas (moleculares)Não têm conectivo lógicoTêm conectivo lógicoNão podem ser divididasPodem ser divididas1 verbo+ de 1 verbo   → Conectivo lógico: Serve para unir as proposições simples, formando proposições compostas. São eles:   ˃ e : conjunção (^)   ˃ ou : disjunção (v)   ˃ ou..., ou:  disjunção exclusiva (v)   ˃ se..., então: condicional (→)   ˃ se..., e somente se : bicondicional (↔)  Alguns autores consideram a negação (~) como um conectivo, porém aqui não faremos isso, pois os conectivos servem para formar proposição composta, e a negação faz apenas a mudança do valor das pro- posições.O “e” possui alguns sinônimos, que são: “mas”, “porém”, “nem” (nem = e não) e a própria vírgula. O condicional também tem alguns sinônimos que são: “portanto”, “quando”, “como” e “pois” (pois = condi- cional invertido. Ex.: A, pois B = B → A). Vejamos alguns exemplos para melhor entender:   ˃ a:  Danilo foi à praia (simples).   ˃ b: Giovanna está brincando (simples).   ˃ p:  Danilo foi a praia se, e somente se  Giovanna estava brincando (composta).   ˃ q: se  2 é par, então  3 é ímpar (composta). 01. (CESPE) Se P e Q representam as proposições “Eu estudo bastante” e “Eu serei aprovado”, respec- tivamente, então, a proposição P → Q represen -ta a afirmação “Se eu estudar bastante, então serei aprovado”. CERTO.  A questão está pedindo se a proposição re-  presentada está escrita corretamente. Simboliza “→” condicional (se, então). Tabela-Verdade e Conectivos Lógi-cos A tabela-verdade nada mais é do que um meca-nismo usado para dar valor às proposições compostas (que também serão ou verdadeiras ou falsas), por meio de seus respectivos conectivos.A primeira coisa que precisamos saber numa tabela-verdade é o seu número de linhas, e que esse depende do número de proposições simples que compõem a proposição composta. Número de linhas = 2 n , em que “ n ” é o número de proposições simples que compõem a proposição composta. Portanto se houver 3 proposições simples formando a proposição composta então a tabela dessa proposição terá 8 linhas (2 3  = 8). Esse número de linhas da tabela serve para que tenhamos todas as relações possíveis entre “V” e ”F” das proposições simples. Veja: P Q RV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F Observe que temos todas as relações entre os valores lógicos das proposições, que sejam: as 3 verda-deiras (1ª linha), as 3 falsas (última linha), duas verda-deiras e uma falsa (2ª, 3ª e 5ª linhas), e duas falsas e uma verdadeira (4ª, 6ª e 7ª linhas). Nessa demonstra-ção, temos uma forma prática de como se pode orga-nizar a tabela, sem se preocupar se foram feitas todas relações entres as proposições.Para o correto preenchimento da tabela, devemos seguir algumas regras, que são:I. Comece sempre pelas proposições simples e suas negações, se houver;II. Resolva os parênteses, colchetes e chaves, respec-tivamente (igual à expressão numérica), se houver;III. Faça primeiro as conjunções e disjunções, depois os condicionais e por último os bicondicionais;IV. A última coluna da tabela deverá ser sempre a da proposição toda, conforme as demonstrações adiante. O valor lógico de uma proposição composta depende dos valores lógicos das proposições simples que a compõem assim como do conectivo utilizado, e é o que veremos a partir de agora.   → Valor lógico de uma proposição composta por conjunção (e) = tabela-verdade da conjunção (^). Uma proposição composta por conjunção só será verdadeira se todas as suas proposições simples que a compõem forem verdadeiras, caso contrário, a conjun-ção será falsa.     4    R   a   c   i   o   c    í   n   i   o    L    ó   g   i   c   o   » Ex.:  P ^ Q  PQP ^ Q VVVVFFFVFFFF Representando por meio de conjuntos, temos: P ^ Q  P Q    → Valor lógico de uma proposição composta por dis- junção (ou) = tabela-verdade da disjunção (v). Uma proposição composta por disjunção só será falsa se todas as suas proposições simples que a compõem forem falsas, caso contrário, a disjunção será verdadeira.   » Ex.:  P v Q  PQP v Q VVVVFVFVVFFF Representando por meio de conjuntos, temos: P v Q  P Q    → Valor lógico de uma proposição composta por dis- junção exclusiva (ou, ou) = tabela-verdade da dis- junção exclusiva (v). Uma proposição composta por disjunção exclusiva só será verdadeira se as suas proposições simples que a compõem tiverem valores diferentes, caso contrário, a disjunção exclusiva será falsa.   » Ex.:  P v Q  PQP v Q VVFVFVFVVFFF Representando por meio de conjuntos, temos: P v Q  P Q    → Valor lógico de uma proposição composta por condicional (se, então) = tabela-verdade do con- dicional (→). Uma proposição composta por condicional só será falsa se a primeira proposição (também conheci-da como antecedente ou condição suficiente) for ver-dadeira e a segunda proposição (também conhecida como consequente ou condição necessária) for falsa; nos demais casos, o condicional será sempre verdadei-ro.  Atente bem para esse tipo de proposição, pois é um dos mais cobrados em concursos.Dicas: ˃P é antecedente e Q é consequente = P → Q   ˃P é consequente e Q é antecedente = Q →P    ˃P é suficiente e Q é necessário = P → Q   ˃P é necessário e Q é suficiente = Q → P    » Ex.: P → Q  PQP →  Q VVVVFFFVVFFV Representando por meio de conjuntos, temos: P → Q  PQ    → Valor lógico de uma proposição composta por bi-condicional (se e somente se) = tabela-verdade do bicondicional (↔). Uma proposição composta por bicondicional é ver-dadeira sempre que suas proposições simples que a compõem têm valores iguais, caso contrário, ela será falsa.No bicondicional, “P” e “Q” são ambos suficientes e necessários ao mesmo tempo.   » Ex.:  P ↔ Q  PQP ↔  Q VVVVFFFVFFFV Representando por meio de conjuntos, temos: P ↔ Q  P = Q 
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