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Unidad 2a corregida parte 1D (1)

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2. CONDUCCIÓN. Recordando que la conducción (transferencia de calor por difusión) se refiere al transporte de energía en un medio debido a un gradiente de temperatura, y el mecanismo físico es el de la actividad caótica molecular o atómica. En este
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  FUNDAMENTOS DE ANÁLISIS TÉRMICOS PARA EL DISEÑO DE ELEMENTOS MECÁNICOS. Unidad II 18 2. CONDUCCIÓN. Recordando que la conducción (transferencia de calor por difusión) se refiere al transporte de energía en un medio debido a un gradiente de temperatura, y el mecanismo físico es el de la actividad caótica molecular o atómica. En este capítulo consideramos con gran detalle la ecuación o modelo de la conducción y la relación de la conservación de la energía con el proceso de conducción. 2.1. La ecuación de la conducción. Aunque en el capítulo (1), se introdujo la ecuación de conducción (difusión de energía), “La ley de Fourier” , ahora es apropiado considerar su srcen. La ley de Fourier es una ley fenomenológica, esto es, que esta fue desarrollada en base a fenómenos observados más que derivarse de los principios básicos. En consecuencia, la ecuación de cambio debe visualizarse como una generalización basada en una numerosa evidencia experimental. Por ejemplo, considere el experimento de conducción de estado estable de la figura 2.1 . Una barra cilíndrica de material conocido se aísla en la superficie lateral, mientras sus extremos se mantienen a diferentes temperaturas con (T 1 >T 2 ).   La diferencia de temperatura ocasiona una transferencia de calor por conducción en la dirección  x positiva. Nota:  Si hay diferencia de temperaturas de calor por conducción. A continuación se determinará la cantidad de calor transferido, (Q x ), y buscaremos determinar cómo (Q x ), depende de las variables ( ∆ T), la diferencia de temperatura; ( ∆ x), la longitud de la barra; y (A) el área de sección transversal. Primeramente supondremos que ( ∆ T) y ( ∆ x) son mantenidas constantes y variaremos (A). Si podemos hacer esto, en-contraremos que (Q x ) es directamente proporcional a (A). Similarmente haciendo ( ∆ T) y (A) constantes, observaremos que (Q x ) varía inversamente con ( ∆ x). Finalmente, haciendo (A) y ( ∆ x) constantes, encontraremos que (Q x ) es directamente proporcional a ( ∆ T). El efecto colectivo es entonces que: Q x  = ∝  [A ( ∆ T/ ∆ x)] Intercambiando el material de la barra (esto es, de un metal a un plástico), encontraremos que la proporcionalidad anterior permanece válida. Sin embargo, también encontraremos que, para valores iguales de (A), ( ∆ x) y ( ∆ T), el valor de (Q x ) será más pequeño para el plástico que para el metal. Esto sugiere que la proporcionalidad puede ser convertida en igualdad, introduciendo un coeficiente que sea una medida del comportamiento del material. Por tanto podemos escribir: Q x  = kA ∆ T ∆ x  Donde (k) la "conductividad térmica" en  KmW  o  es una propiedad importante del material. Evaluando esta expresión en el límite cuando ( ) 0x  →∆ , obtendremos para la cantidad de calor transferido Q x  =   kAdTdx  (2.1) Y para el flujo de calor por unidad de área, tendremos: q x  = Q x A =   kdTdx  (2.2) Se debe recordar que el signo menos es necesario debido al hecho de que el calor es siempre transferido en la dirección del decrecimiento de temperatura. Figura (2.1) Experimento de conducción de Calor Q x   ∆ x X T 2  T 1  (T 1 >T 2 )  FUNDAMENTOS DE ANÁLISIS TÉRMICOS PARA EL DISEÑO DE ELEMENTOS MECÁNICOS. Unidad II 19 Figura (2.2). Relación entre el sistema de coordenadas, dirección del flujo de calor, y el gradiente de temperatura en una dimensión (d)(c)(b)(a) q x (dT/dx)<0 ; (-)q x>0 ; (+) T (x)x T (x) (dT/dx)>0 ; (+)q x<0 ; (-) q xx T (x) (dT/dx)>0 ; (+)q x<0 ; (-) q xx (dT/dx)<0 ; (-)q x>0 ; (+)x T (x) q x La ley de Fourier, tal como se indica en la ecuación (2.2) implica que el flujo de calor es una cantidad direccional. En particular la dirección de (q x ) es "normal" al área de la sección transversal (A) o, más generalmente, la dirección del flujo de calor siempre será normal a una superficie de temperatura constante, llamada "superficie isotérmica". La figura (2.2)  ilustra la dirección del flujo de calor, (q x ), en un sistema de coordenadas unidimensionales donde el gradiente, (dT/dx), es positivo o negativo. Se debe estudiar cuidadosamente esta figura para reconocer la relación entre el gradiente de temperatura, la direc-ción del flujo de calor y las coordenadas en el espacio. Por ejemplo, en (d) se tiene un gradiente de temperatura negativo causando un flujo de calor en la dirección positiva (x). Note también que las superficies isotérmicas son planos normales a la dirección (x). Reconociendo que el flujo de calor es una cantidad vectorial , a continuación se puede escribir un enunciado más general de la ecuación de conducción (ley de Fourier).     ∂∂+∂∂+∂∂−=∇−=  zT k  yT  j xT ik T k q  (2.3) Donde ( ∇ ) es el operador tridimensional y (T) es el campo de temperatura escalar. Está implícito en la ecuación (2.3), que el vector flujo de calor es en dirección perpendicular a las superficies isotérmicas. En consecuencia otra forma de la ley de Fourier, será: n T q k n ∂= −∂  (2.4) Donde (q n ) es el flujo de calor en la dirección (n), la cual es normal a una isoterma, como se muestra para el caso bidimensional en la figura (2.3) . La transferencia de calor es sustentada por un gradiente de temperatura a lo largo de (n). Note también que el vector flujo de calor puede ser resuelto para cada exponente; tal que, en coordenadas cartesianas, la expresión general para (q) es: zyx  kq jqiqq  ++=  (2.5) Donde, de la ecuación 2.3, se sigue que ;q;q; zy  zT k  yT k  xT k q  x ∂∂−=∂∂−=∂∂−=  (2.6) Cada una de estas expresiones relaciona el flujo de calor a través de una superficie con el gradiente de temperatura en una dirección perpendicular a la superficie. También está implícito en la ecuación 2.3 que el medio en el que ocurre la conducción es isotrópico  (esto es, el medio es homogéneo y no se halla cristalizado, sus propiedades físicas se manifiesta igualmente en todas las direcciones) . Por lo cual en un medio el valor de la conductividad térmica es independiente de las direcciones coordenadas. En vista de que la ley de Fourier provee las bases de la transferencia de calor por conducción, sus características clave son resumidas como sigue. Esta no es una expresión que pueda ser derivada a partir de sus principios básicos; en lugar de esto, es una generalización basada en evidencia experimental. Esta es también una expresión que define una importante propiedad material, la conductividad térmica. En adición, la ley de Fourier es una expresión vector, la cual indica que el flujo de calor es normal a una isoterma y en la dirección del decrecimiento de la temperatura. Finalmente note que la ley de Fourier se aplica para toda la materia, independientemente de su estado: sólido, líquido o gas. Figura (2.3). El vector flujo de calor normal a una isoterma en un sistema coordenado bidimensional. Isoterma n q y q n q x y x  FUNDAMENTOS DE ANÁLISIS TÉRMICOS PARA EL DISEÑO DE ELEMENTOS MECÁNICOS. Unidad II 20 Ejemplo 2.1 La ecuación de conducción y los sistemas coordenados. Considerando una pared plana con un espesor de 100 mm y una conductividad térmica k=100 W/m ºK. Se conocen las condiciones de estado continuo, siendo estas T 1 = 400ºK y T 2 = 600ºK. Determine el flujo de calor por unidad de área (q x ) y el gradiente de temperatura (dT/dx) para los sistemas mostrados en las figuras (2.2c) y (2.2d) Solución: El flujo de calor por unidad de área se calculará bajo las consideraciones siguientes: •   La conducción es unidimensional. •   Las propiedades son constantes. •   No existe generación interna de calor. La ecuación de cambio para esta situación, será: ( ) dxdTk q x  −=  Para (S.I.): [ ] 2oox  mWmKKmWq  ==  Para las condiciones prescritas (conducción unidimensional, estado continuo, sin generación de calor), la conservación de energía requiere que el flujo de calor (q x ) sea constante, independiente de (x). Además, en vista de que la conductividad térmica (k) es supuesta constante, se tiene que el gradiente de temperatura, (dT/dx), también es independiente de (x). En consecuencia la distribución de temperatura es lineal con: •   Caso (a): ( ) ( ) =−=−=     mK20001.0400600xTTdxdT  o12   •   Caso (b): ( ) ( ) −=−=−=     mK20001.0600400xTTdxdT  o21  Usando estos gradientes para calcular el flujo de calor (q x ), se tendrá que para: •   Caso (a): ( )( ) −=−=  2xx mkW200q;2000100q   •   Caso (b): ( )( ) =−−=  2xx mkW200q;2000100q   Notas: •   Note cuidadosamente el gradiente de temperatura y la dirección de (q x ) para cada caso. •   Reconozca que la ley de Fourier involucra cantidades direccionales. k=100W/mK x T 2 =600Kq x T 1 =400Kk=100W/mKT 1 =400Kq x T 2 =600K x CASO (a): Figura (2.2c) CASO (b): Figura (2.2d)  FUNDAMENTOS DE ANÁLISIS TÉRMICOS PARA EL DISEÑO DE ELEMENTOS MECÁNICOS. Unidad II 21 2.1.2 Propiedades térmicas de la materia. La utilización de la ley de difusión de calor requiere el conocimiento de la conductividad térmica. Esta propiedad, la cual es referida como una "propiedad de transporte", provee una indicación de la velocidad a la cual es transferida la energía por el proceso de difusión. Esta depende de la estructura física de la materia, atómica y molecular, la cual está relacionada al estado de la materia. En esta sección consideraremos varias formas de la materia, identificando aspectos importantes de su comportamiento y presentando valores típicos de sus propiedades. Conductividad térmica. En base a la ley de Fourier, ecuación (2.6), la conductividad térmica se define como: )(  dxdT qk   x −=  Como resultado de esto, para un gradiente de temperatura determinado, el flujo de calor por conducción se incrementará al incrementarse de la conductividad térmica. Recordando el mecanismo físico asociado con la conducción (sección 1.1), y también como resultado de esto, en general, la conductividad es mayor que la de un líquido, la cual a su vez es mayor que la de un gas. Como se ilustra en la figura (2.4) , la diferencia entre la conductividad térmica de un sólido a un gas es el orden de magnitud de 10 4 . Esta tendencia se debe mayormente a la diferencia en el espaciamiento intermolecular para los dos estados. El estado sólido. En la perspectiva moderna de los materiales, un sólido consta de electrones libres, y de átomos confinados en un arreglo periódico llamado red de estructura cristalina. De acuerdo con lo anterior, el transporte de energía térmica se debe a dos efectos: la migración de electrones libres y ondas producidas por la vibración de la red de la estructura cristalina. Estos efectos son aditivos, tal que la conductividad térmica, (K), es la suma del componente electrónico, (K e ), y el componente de la red, (K r ). r e  K K K   +=  Para “metales puros”, (K e ) es mucho mayor que (K r ) y es determinado por la ley de Wiedemann-Franz-Lorenz (Ref.: Klemens, P.G. "Theory of the Thermal Conductivity of Solids" in R.P. Tye., Ed., Termal Conductivity, Vol. 1, Academic Press, London, 1969.)    =   0    El número de Lorenz, (L 0 ), es una constante, y la resistividad eléctrica, ( ρ e ),   está compuesta de dos partes:    =   0  +  ′ (  )  El término ( ρ 0 ) es la resistividad residual en el cero absoluto y está asociada con las imperfecciones en la red. El segundo término es la resistividad intrínseca y resulta ser el término dominante a una temperatura mayor de 100 ºK. En consecuencia, en una primera aproximación (K e ) es independiente de la temperatura. Para “sólidos no metálicos”, (K) es determinado principalmente por (K r ), la cual depende de la frecuencia de las interacciones entre los átomos y la red. Debido al hecho de que esta frecuencia se incrementa con la temperatura, el valor de (K r ) se incrementa al incrementarse la temperatura, cuando la temperatura excede los 100 ºK. La regularidad del arreglo de la red tiene un efecto importante en (K r ), con materiales cristalinos (bien ordenados), como el cuarzo el cual tiene un valor mayor de conductividad térmica que el de los materiales amorfos tal como el vidrio. De hecho, a temperaturas cercanas a 100 ºK, el valor de (K r ), para sólidos no metálicos, cristalinos, puede ser considerablemente mayor con valores para sólidos tales como diamante y óxido de berilio, que superan a aquellos que son buenos conductores, tal como el cobre. Figura (2.4). Rangos de conductividad térmica para varios estados de la materia a condiciones normales de temperatura y presión. Zinc METALES PUROS Plata Aluminio ALEACIONES Níquel xidos SLIDOS NO METÁLICOS Hielo Plásticos Fibras SISTEMAS AISLANTES Espumas Aceite   Agua Mercurio LQUIDOS GASES Anhídrido Carbónico Hidrógeno 0.01 10 100 1000 0.1 1 [W / m ºK]  FUNDAMENTOS DE ANÁLISIS TÉRMICOS PARA EL DISEÑO DE ELEMENTOS MECÁNICOS. Unidad II 22 Figura (2.5). Dependencia de la temperatura la conductividad térmica de sólidos selectos. Para “aleaciones” la magnitud (K e ) es menor que la de los metales puros, los cuales son de baja resistividad eléctrica, ( ρ e ), y la contribución de (K r ) a la conductividad térmica no es muy despreciable. El efecto neto es que, en general, la conductividad térmica se incrementa al incrementarse la temperatura. El comportamiento de estas tres formas sólidas se puede ver en la figura (2.5) . Los valores de conductividad térmica para materiales seleccionados debido a su importancia técnica se muestran en el anexo (2A). Para un tratamiento más detallado de la conductividad térmica incluyendo los efectos de bajas temperaturas (<100 ºK), existe literatura disponible (Ref.: Klemens, P.G. "Theory of the Thermal Conductivity of Solids" in R.P. Tye., Ed., Termal Conductivity, Vol. 1, Academic Press, London, 1969.) Sistemas aislantes. Los aislantes térmicos están compuestos de materiales de baja conductividad térmica, fabricados o combinados de tal manera que se obtengan un sistema de baja conductividad térmica. En los tipos de aislamiento de fibra, polvo y laminilla, el material sólido es finamente dispersado en todos los espacios de aire. La conductividad efectiva del sistema depende de varias características, las cuales incluyen la conductividad térmica, las propiedades radiantes de la superficie del material sólido, y la naturaleza y fracción volumétrica del aire o espacio vacío. Un parámetro especial del sistema es su "densidad en masa" (masa del sólido / volumen total), el cual depende fuertemente de la manera en la cual es interconectado el material sólido. Si pequeños vacíos o espacios huecos se forman por unión o fusión de porciones de material sólido, se creará una matriz rígida. Cuando estos espacios son sellados uno a otro, mutuamente, el sistema es referido como un aislamiento celular. Ejemplos de tales aislamientos rígidos son los sistemas "espumados", particularmente aquellos hechos de materiales de plástico y vidrio. Los aislamientos “reflectivos” están compuestos de múltiples laminillas delgadas (0.15 mm), de alta reflexión dispuesta paralelamente, las cuales se colocan de tal manera que el calor radiante se refleja hacia la fuente de calor. El espaciamiento entre las laminillas delgadas es diseñado para restringir el movimiento del aire, y en aislamientos de alta eficiencia, este espacio es totalmente evacuado. En todos los tipos de aislamiento, la evacuación del aire de los huecos, reduce la conductividad térmica efectiva del sistema. Es importante reconocer que la transferencia de calor a través de cualquiera de estos sistemas aislantes puede incluir varios modos: conducción a través de los materiales sólidos; conducción o convección a través del aire en los huecos; y si la temperatura es suficientemente alta, intercambio de radiación entre las superficies de la matriz sólida. La conductividad térmica efectiva considerando todos estos efectos, y valores para sistemas aislantes seleccionados se pueden encontrar resumidos en el Anexo (2A). Información básica adicional y datos se pueden encontrar en la literatura siguiente: (Mallory, John F., "Thermal Insulation", Reinhold Book Corp., New York, 1969); (American Society of Heating, Refrigerating and Air Conditioning Engineers (ASHRAEI, "Handbook of Fundamentals", Chapters 17 and 31, ASHRAE, New York, 1972).
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