# 2.First Order and First Degree

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O. D. E. Chapter2_4 Chapter2 Ordinary Differential Equations of the First Order and First Degree   General form: 1.  M  (  x ,  y ) dx   +    N  (  x ,  y ) dy      0 (2.1 a ) 2.  y        f  (  x ,  y ) (2.1 b ) I. Separable Differential equations  Form:  M  1 (  x )  N  1 (  y ) dx   +    M  2 (  x )  N  2 (  y ) dy      0     dy y N  y N dx x M  x M  )()()()( 1221    C   Ex1 9  yy    +   4  x      0 Solution: 9  ydy   +   4  xdx      0   9  y 2  +   4  x 2     C   Ex2  y       1   +    y 2  Solution: 2 1  ydy     dx     tan  1  y       x   +   C        y      tan(  x   +   C  ) Ex3  y    +   5  x 4  y 2     0,  y (0)      1 Solution:   C  x ydx x ydy   542 15    y (0)      1     1      C      The solution is  y 1     x 5  +   1 Ex4  y        2  xy ,  y (0)      1 Solution:  ydy     2  xdx     ln  y        x 2  +   C         y      C 2   x e       y      C  e  x   2    y (0)      1   1      Ce 0      C       1   The solution is  y      e  x   2     O. D. E. Chapter2_5 II. Reducible to separable differential equations  1. Homogeneous equation Definition: If  f  ( tx , ty )      t  r   f  (  x ,  y ), then  f  (  x ,  y ) is a homogeneous function of degree r  . Substituting t       1/  x  into  f  ( tx , ty )      t  r   f  (  x ,  y ), we have )(),1(),(),( 1),1(  x y F  x x y f   x y x f   y x f    x x y f    r r r    . In particular r       0, then  f  (  x ,  y )       F  (  x y ) If  M  (  x ,  y ) dx   +    N  (  x ,  y ) dy      0, when  M  (  x ,  y ) and  N  (  x ,  y ) are of the same degree in  x  and  y ,  M  /  N   is a homogeneous function of degree zero, and the differential equation can be written as )(  x y F  N  M dxdy  . (2.2) Let  y      ux , equation (2.2) becomes uu F du xdxu F dxdu xu  )()(  is separable. Ex5 2  xyy        y 2  +    x 2     0 Solution: Let  y      ux , the equation becomes 2  xux ( u   +   u   x )      u 2  x 2  +    x 2     0   2 u ( u   +    xu  )      u 2  +   1      0   2  xuu    +   u 2  +   1      0 21  2 uduudx x        ln(1   +   u 2 )       ln  x   +   C       1   +   u 2     C  /  x  1+  xC  x y       2       x 2  +    y 2     Cx  Ex6 (  x   +    y cos  y x ) dx       x cos  y x dy      0 Solution: Let  y      ux     (  x   +   ux cos u ) dx       x cos u ( udx   +    xdu )      0   cos udu     dx x  sin u      ln  x   +   C      sin  y x    ln  x      C      O. D. E. Chapter2_6 2.  M  (  x ,  y ) and  N  (  x ,  y ) are linear in  x  and  y  Form: ( a 1  x   +   b 1  y   +   c 1 ) dx   +   ( a 2  x   +   b 2  y   +   c 2 ) dy      0 (2.3) (1) If aabb 1212  , let  x       X    +    ,  y      Y    +    , equation (2.3) becomes [( a 1  X    +   b 1 Y  )   +   ( a 1    +   b 1    +   c 1 )] dX    +   [( a 2  X    +   b 2 Y  )   +   ( a 2    +   b 2    +   c 2 )] dY       0. (2.4) We choose   00 222111 cbacba  Then equation (2.4) reduces to ( a 1  X    +   b 1 Y  )   dX    +   ( a 2  X    +   b 2 Y  )   dY       0 is a homogeneous equation. (2) If aabbk  cc 121212    , equation (2.3) becomes [ k    ( a 2    x   +   b 2    y )   +   c 1 ]   dx   +   ( a 2    x   +   b 2    y   +   c 2 )   dy      0. (2.5) Let v      a 2  x   +   b 2  y      dy     dv a dxb   22 , equation (2.5) becomes ( kv   +   c 1 ) dx   +   ( v   +   c 2 )  dv a dxb   22    0 0)]([ 222221    dvbcvdxcvbackv  is a separable one. (3) If aabbcc 121212       k  , equation (2.3) becomes k  ( a 2  x   +   b 2  y   +   c 2 ) dx   +   ( a 2  x   +   b 2  y   +   c 2 ) dy      0. (2.6) a. If a 2  x   +   b 2  y   +   c 2     0, we get only a trivial solution.  b. If a 2  x   +   b 2  y   +   c 2     0, equation (2.6) reduces to kdx   +   dy      0     y       kx   +   C  .   O. D. E. Chapter2_7 Ex7 (4  x   +   3  y   +   1) dx   +   (  x   +    y   +   1) dy    0 Solution:   4 3 1 01 0  x y x y            x      2,  y       3 Let  X        x      2, Y      y   +   3, we have (4  X    +   3 Y  ) dX    +   (  X    +   Y  ) dY       0 Let Y       uX      (4  X    +   3 uX  ) dX    +   (  X    +   uX  )( udX    +    Xdu )      0 C  y x x y xC uu X C uu X duuu X dX duuu X dX duu X dX uu    122)12ln( 21)]2(ln[ 21)2ln(ln0 )2(1210)2(10)1()44( 222  Ex8 (2  x      4  y   +   5)  y    +    x      2  y   +   3      0 C  y x y xC  y x y x x C uu xC u u xC duudxduudxduuudxduudxu uuuuuu uuuu y yu y xu        )1184ln(848]11)2(4ln[)2(48 8)114ln(48)114ln( 812)1142/121(0)1142/121(0114520)52()114( 0)52(114062)1)(52( 0321)52( becomesequationThe 21212Let:Solution 1111  Ex9 (  x       y      1) dx   +   (2  x      2  y      2) dy      0 Solution: Dividing by  x       y      1    dx   +   2 dy      0     x   +   2  y      C

Jul 22, 2017

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