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A Função Delta de Dirac Aplicada na Representação de Grandezas Físicas Infinitamente concentradas

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A Função Delta de Dirac Aplicada na Representação de Grandezas Físicas Infinitamente Concentradas Roberto Toscano Couto Universidade Federal Fluminense – Dep. Matemática Aplicada 24020-120, Campus do Valonguinho, Centro, Niterói, RJ E-mail: toscano@im.uff.br 1) Introdução Neste trabalho desenvolvemos um método sistemático de expressar matematicamente, por meio da função delta de Dirac, uma grandeza física infinitamente concentrada no seu domínio. Para expor o método, consideramos o cálculo das
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  A Função Delta de Dirac Aplicada na Representação deGrandezas Físicas Infinitamente Concentradas Roberto Toscano Couto Universidade Federal Fluminense – Dep. Matemática Aplicada24020-120, Campus do Valonguinho, Centro, Niterói, RJE-mail: toscano@im.uff.br  1) Introdução  Neste trabalho desenvolvemos um métodosistemático de expressar matematicamente, por meio da função delta de Dirac, uma gran-deza física infinitamente concentrada no seudomínio. Para expor o método, consideramoso cálculo das fontes do campo eletromagnéticoem situações concentradas:i) a densidade volumétrica de carga elétri-ca () e  ρ  em sistemas formados por cargas elé-tricas que se distribuem com volume nulo , ouseja, sistemas de partículas, fios e folhas ele-tricamente carregadas.ii) o vetor densidade de corrente elétrica() e  j    em sistemas formados por condutores decorrente elétrica cuja seção reta tem área nula,ou seja, sistemas de fios e folhas condutoras. Na Seção 2, revemos aplicações clássicasda função delta no cálculo de e  ρ  e e  j    em sis-temas punctiformes. Na Seção 3, estabelece-mos conceitos necessários no desenvolvimen-to do método de cálculo descrito nas seçõesseguintes. Nas Seções 4 e 5 (as principais),deduzimos fórmulas para e  ρ  e e  j    em sistemaselétricos formados por fios e folhas. 2) Concentrações punctiformes  Num sistema contendo uma carga elétrica punctiforme 0 q , cujo vetor posição é 0 r r  =     , adensidade volumétrica de carga é dada por  00 ()() e r q r r   ρ  = δ −      , (1)que é a expressão que satisfaz as seguintescondições necessárias: ()0 e r   ρ  =    se 0 r r  ≠     e 0 () e r dV q  ρ  = ∫    . Para expressar (1) num sis-tema de coordenadas curvilíneas (,,) ξ η ζ    genérico , fazemos uso da fórmula (v. [5]) 0000 ()()()() r r x x y y z z δ − = δ − δ − δ −       1000 ()()()  J  ξ ξ η η ζ ζ  − = δ − δ − δ − || , (2)onde  J  é o jacobiano(,,)(,,)  x y z J  ξ η ζ  ∂≡∂ . (3)Consideremos agora um sistema constitu-ído de um dipolo elétrico punctiforme. Umdipolo é um arranjo de duas cargas elétricas punctiformes de mesma magnitude e sinaiscontrários. O momento de dipolo elétrico as-sociado é, por definição, ()  p q r r  + − = −      , onde q é a magnitude de cada carga elétrica, e r  +    e r  −    são os vetores posição das cargas q e q − ,respectivamente. Um dipolo elétrico puncti- forme p    (note que, como de costume, desig-namos por “dipolo elétrico” tanto o arranjo deduas cargas elétricas de sinais contrários quan-to o momento de dipolo elétrico associado) écaracterizado pelo limite qh p →   quando 0 h r r  + − = − →     e q → ∞ .Vamos mostrar que, num sistema conten-do apenas um dipolo elétrico punctiforme  p     na srcem (Figura 1a), a densidade volumétri-ca de carga elétrica é dada pela conhecidaexpressão (v. [2])()() e r p r   ρ  = − ⋅∇δ      . (4)Obtemos esse resultado calculando o limi-te da densidade volumétrica de carga elétricade quando 0 h h = →    e q → ∞ num sistemacomo o da Figura 1b, formado pelas cargaselétricas punctiformes q e q − localizadas em0 r  =     e r h = −      , respectivamente. De fato, se/ h e h h ≡     , temos, usando (1), que  z y p     x yq −   q h      ã  Figura 1  x (a)(b)  z — 420 —  0 ()lim()() eqh r q r q r h  ρ  →∞→ ⎡ ⎤= δ − δ +⎣ ⎦          0 ()()lim hqh r he r qhh →∞→ δ + − δ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦       ()()() hh  p r p r e p r e ∂δ= − = − ∇δ ⋅ = − ⋅∇δ∂          , pois, quando q → ∞ e 0 h → , qh p → e[()()]/()/ h h r he r h r e δ + − δ → ∂δ ∂        (deri-vada na direção do versor  h e    ). 3) Conceitos preliminares  Nos exemplos acima, as grandezas sãoconcentradas em pontos isolados do domínio.Para descrever grandezas concentradas emcurvas ou superfícies, é necessário desenvol-ver um método mais elaborado. Nesse sentido,o seguinte lema é de fundamental importância:LEMA δ (uma variável): 00 0()()()  x x f x dxc x x ≠⎧=⎨=⎩   0 ()()  f x c x x ⇔ = δ − . (5)Tal lema enuncia a equivalência de duasformas de expressar uma função concentrada.Para entendê-lo, seja ()() e  f x x λ  = : a densi-dade linear de carga elétrica ao longo do eixo  x . Logo, () e x dx λ  é a carga elétrica contida no dx em torno de  x . Assim, se 000 0()()() e  x x x dxq x x λ  ≠⎧=⎨=⎩ ,então no dx em torno de 0  x há carga elétrica, punctiforme, pois dx é infinitesimal, e igual a 0 q . Ora, sabemos que, nesse casso, () e x λ  édado por  00 ()() e x q x x λ  = δ − . A recíproca éóbvia. Com mais variáveis, temos:LEMA δ (generalizado): 0000 0(ou )(,,,)(,)(e )  x x y y f x y z w dxdyc z w x x y y ≠ ≠⎧=⎨= =⎩   00 (,,,)(,)()()  f x y z w c z w x x y y ⇔ = δ − δ − .(6) Note que c não deve ser função das variáveiscujos diferenciais, no membro esquerdo, sãomultiplicados pela função  f  .Adiante deduziremos fórmulas para ocálculo de e  ρ  em sistemas não-punctiformes por um método que tem por base o lema δ .Assim, convém tratar novamente o sistemaformado por uma única carga punctiforme 0 q ,mas agora usando esse lema e um sistema decoordenadas curvilíneas (,,) ξ η ζ  , sendo 000 (,,) ξ η ζ  as coordenadas de 0 q .A carga elétrica contida num elemento devolume dV  é dada por  e dq dV   ρ  = , ou, emtermos das coordenadas curvilíneas considera-das, por (,,) e dq J d d d   ρ ξ η ζ ξ η ζ  = || , umavez que dV J d d d  ξ η ζ  = || . Pois bem, no sis-tema considerado, dq só não é zero no dV  quecontém 0 q ; logo,(,,) e dq J d d d   ρ ξ η ζ ξ η ζ  = ||   0000000 se (,,)(,,)0se (,,)(,,) q ξ η ζ ξ η ζ ξ η ζ ξ η ζ  =⎧=⎨≠⎩  donde, pelo lema δ , 0000 (,,)()()(). e J q  ρ ξ η ζ ξ ξ η η ζ ζ  = δ − δ − δ − Essa equação é (1) com 0 ()     r r  δ − dado por (2). No método que desenvolvemos nas se-ções seguintes, um sistema ortogonal de coor-denadas (,,) ξ η ζ  é adotado. Num tal sistema,sabemos que, se h ξ  , h η  e h ζ  são os fatores deescala associados, então o elemento de com- primento de arco da curva coordenada em quesó ξ  varia, o elemento de área da superfíciecoordenada em que ξ  e η  variam, o elementode volume e o jacobiano são dados por (v. [1]) ds h d  ξ  ξ  = , dS h h d d  ξ η  ξ η  = , dV J d d d  ξ η ζ  = ,  J h h h ξ η ζ  = .Convém ainda lembrar a expressão dosfatores de escala nos principais sistemas decoordenadas ortogonais (v. [1]):1  x y z h h h = = = (coord. cartesianas)1,,1  z h h h  ρ ϕ  ρ  = = = (coord. cilíndricas)1,,sen r  h h r h r  θ ϕ  θ  = = = (coord. esféricas)Por fim, fazemos uma definição muito útilno que segue: associada a qualquer coordena-da ξ  , , () a b ξ ξ  é a função que só não se anulano intervalo a b ξ  ≤ ≤ , onde é unitária. — 421 —  4) Cálculo da densidade volumé-trica de carga elétrica a) Carga elétrica em fiosConsideremos um fio eletricamente carre-gado cuja forma é a de alguma curva coorde-nada Γ   de algum sistema ortogonal de coorde-nadas (,,) ξ η ζ  . Admitamos, sem perda degeneralidade, que Γ   seja a curva de ξ  , isto é,ao longo do fio, apenas a coordenada ξ  varia, permanecendo constantes as outras duas: 0 η η  = , 0 ζ ζ  = . Note que 00 (,,)    r  ξ η ζ  é uma parametrização de Γ   . Nosso problema consisteem calcular a densidade volumétrica de cargaelétrica () e r   ρ    no sistema contendo apenasaquele fio, cuja densidade linear de carga elé-trica 00 ()[(,,)]    e e r  λ ξ λ ξ η ζ  = é conhecida.Obviamente, ()0 e r   ρ  =    se r  Γ   ∉    : e  ρ  é umagrandeza concentrada no fio.Para resolver esse problema, observamosque a carga elétrica contida no elemento devolume dV  localizado no ponto (,,)    r  ξ η ζ  dosistema é dada por (,,) e dq dV   ρ ξ η ζ  = , onde (,,)[(,,)]    e e r   ρ ξ η ζ ρ ξ η ζ  ≡ . Se (,,)    r  ξ η ζ Γ   ∉  (i.e., 0 η η  ≠ ou 0 ζ ζ  ≠ ), então 0 dq = (não hácarga elétrica num dV  que não é interceptado pelo fio). Mas, se (,,)    r  ξ η ζ Γ   ∈ (i.e., 0 η η  =  e 0 ζ ζ  = ), então acarga elétrica em dV   é a que se encontrano elemento de com- primento de arco ds h d  ξ  ξ  = da por-ção do fio dentro de dV  : 00 [(,,)]()    e e dq r ds h d  ξ  λ ξ η ζ λ ξ ξ  = = (Fi-gura 2). Assim,(,,)  edV  dq h h h d d d  ξ η ζ   ρ ξ η ζ ξ η ζ  =   0000 0fora de ( ou )()sobre ( e ) e h d  ξ  Γ η η ζ ζ λ ξ ξ Γ η η ζ ζ  ≠ ≠⎧⎪=⎨= =⎪⎩  ou, cancelando h d  ξ  ξ  em ambos membros,[(,,)] e h h d d  η ζ   ρ ξ η ζ η ζ    0000 0se ou()se e e η η ζ ζ λ ξ η η ζ ζ  ≠ ≠⎧=⎨= =⎩  Usando o lema δ , podemos escrever essa e-quação na forma 00 (,,)()()() e e h h η ζ   ρ ξ η ζ λ ξ η η ζ ζ  = δ − δ − .Em resumo, a densidade volumétrica decarga elétrica em função das coordenadas or-togonais escolhidas, (,,) e  ρ ξ η ζ  , no sistemaformado por um fio de densidade linear decarga elétrica () e λ ξ  ao longo de uma curva de ξ    completa , dada por  0 η η  = e 0 ζ ζ  = , é ex- pressa por  00 ()()(,,)() e e h h η ζ  η η ζ ζ  ρ ξ η ζ λ ξ  δ − δ −= . (7)Exemplifiquemos o uso dessa fórmula.Se o fio for como a semicircunferência daFigura 3a, ao longo de parte de uma curva de ϕ  , temos, em coordenadas cilíndricas, que 000, ()()(,,)()() e e  z z z π   ρ ρ  ρ ρ ϕ λ ϕ ϕ ϕ  ρ  δ − δ −=  (o denominador é o resultado de 1)  z h h  ρ  ρ  = ⋅  e, em coordenadas esféricas, que 000, ()()(,,)()() e e r r r r  π  θ θ  ρ θ ϕ λ ϕ ϕ ϕ  δ − δ −=  (o denominador é o resultado de 1 r  h h r  θ  = ⋅ ). Nessas fórmulas, a função 0, () π  ϕ ϕ  é ne-cessária porque o arco só é encontrado onde[0,] ϕ π  ∈ . Ela garante que a integral de e  ρ   em todo o espaço, V  ∞ , forneça a carga elétricatotal Q do fio: 22000000 sen()sen. e eV e eds dV r drd d r d ds Q π π π Γ    ρ ρ θ θ ϕ λ ϕ θ ϕ λ  ∞ ∞ == = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫    Obviamente, 0 /() e Q λ πρ  = se a cargaelétrica Q distribuir-se uniformemente no fio.  x y zdsdV  Γ     00 (,,)    r  ξ η ζ   Figura 2 0  ρ  0  ρ  − 0 r  0 θ  0  z x z y 0 r    0  z    x y Figura 3(a)(b) 0  ρ  — 422 —  Ressalve-se que, nas fórmulas acima, se a fun-ção 0, () π  ϕ ϕ  tivesse sido omitida, elas descre-veriam e  ρ  no sistema formado pelo fio circu-lar da Figura 3b. b) Carga elétrica em folhasPodemos deduzir  e  ρ  em sistemas forma-dos por folhas eletricamente carregadas demodo análogo ao apresentado acima, para fioscarregados, bastando que se adaptem a termi-nologia e as grandezas físicas ao caso.Consideremos uma folha eletricamentecarregada cuja forma é a de uma superfíciecoordenada Σ  de um sistema ortogonal decoordenadas (,,) ξ η ζ  . Admitamos, sem perdade generalidade, que Σ  seja a superfície de ξ  e η  , isto é, sobre a folha, apenas as coordenadas ξ  e η  variam, permanecendo constante a ter-ceira coordenada: 0 ζ ζ  = . Assim, 0 (,,)    r  ξ η ζ  éuma parametrização de Σ  . Desejamos calcular a densidade volumétrica de carga elétrica () e r   ρ    no sistema contendo apenas aquelafolha, cuja densidade superficial de carga elé-trica 0 (,)[(,,)]    e e r  σ ξ η σ ξ η ζ  = é conhecida. Nesse caso, e  ρ  é uma grandeza concentradana folha: ()0 e r   ρ  =    se r  Σ  ∉    .Seja dV  um ele-mento de volumelocalizado na extre-midade do vetor po-sição (,,)    r  ξ η ζ  e dq  a carga elétrica con-tida em dV  . Se (,,)    r  ξ η ζ Σ  ∉ (i.e., 0 ζ ζ  ≠ ), então 0 dq =  (não há carga elétrica num dV  que não é inter-ceptado pela folha). Mas, se (,,)    r  ξ η ζ Σ  ∈  (i.e., 0 ζ ζ  = ), então a carga elétrica em dV  é,como mostra a Figura 4, aquela no elementode área dS h h d d  ξ η  ξ η  = da porção da folhadentro do elemento dV    : 0 [(,,)]    dq r dS σ ξ η ζ  =  (,) h h d d  ξ η  σ ξ η ξ η  = . Assim,(,,)  edV  dq h h h d d d  ξ η ζ   ρ ξ η ζ ξ η ζ  =   00 0fora de ()(,)sobre () h h d d  ξ η  Σ ζ ζ σ ξ η ξ η Σ ζ ζ  ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩  ou, cancelando h h d d  ξ η  ξ η  em ambos mem- bros, 00 0se[(,,)](,)se ee h d  ζ  ζ ζ  ρ ξ η ζ ζ σ ξ η ζ ζ  ≠⎧=⎨=⎩  Usando o lema δ , podemos escrever essa e-quação na forma 0 (,,)(,)() e e h ζ   ρ ξ η ζ σ ξ η ζ ζ  = δ − .Em resumo, a densidade volumétrica decarga elétrica em função das coordenadas or-togonais escolhidas, (,,) e  ρ ξ η ζ  , no sistemaformado por uma folha de densidade superfi-cial de carga elétrica (,) e σ ξ η  e coincidentecom uma superfície de ξ  e η  completa , dada por  0 ζ ζ  = , é expressa pela fórmula 0 ()(,,)(,) e e h ζ  ζ ζ  ρ ξ η ζ σ ξ η  δ −= . (8)Para exemplificar essa fórmula, supo-nhamos que a folha seja como na Figura 5a, de bordas circulares e posicionada de modo que 0 ϕ ϕ  = nela. Em coordenadas esféricas, temosque 0,0,/2 ()(,,)(,)()()sen e e a b r r r r r  π  ϕ ϕ  ρ θ ϕ σ θ θ θ θ  δ −=  (cujo denominador é o fator sen h r  ϕ  θ  = ).Se integrarmos essa equação em todo oespaço, obtemos, como é de se esperar, a cargaelétrica total da folha. Façamos isso no casoem que 22 4/[()] e Q b a σ π  = − ( Q distribuídauniformemente na folha): 22000/2220 sen4. π () e eV ba dV r drd d Qrdrd Qb a π π π   ρ ρ θ θ ϕ θ  ∞ ∞ == =− ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫   Sem as funções , () a b r r  e 0,/2 () π  θ θ  , afórmula acima expressaria e  ρ  no sistema for-mado pela folha plana semi-infinita ilustradana Figura 5b, com a mesma densidade e σ  . 0 ϕ   x y zab z x y 0 ϕ   Figura 5(a)(b) Σ    dV  y z x 0 (,,)    r  ξ η ζ  dS Figura 4 — 423 —
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