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A Integral Definida. e discutimos detalhadamente as suas propriedades básicas. 7 CEDERJ

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Módulo A Itegrl Defiid O pricipl objetivo deste módulo é o estudo d itegrl defiid de fuções reis defiids em itervlos fechdos e itdos, com êfse o cso em que s fuções cosiderds são cotíus. O resultdo cetrl
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Módulo A Itegrl Defiid O pricipl objetivo deste módulo é o estudo d itegrl defiid de fuções reis defiids em itervlos fechdos e itdos, com êfse o cso em que s fuções cosiderds são cotíus. O resultdo cetrl qui presetdo é o Teorem Fudmetl do Cálculo pr fuções cotíus, o qul permite obteção d itegrl defiid de certs fuções de meir utomátic. Eftizmos tmbém como itegrl defiid é um ferrmet importte pr o cálculo de áres de regiões pls. Usmos itegrl defiid pr itroduzir, de meir rigoros, fução logrítmic, cujs proprieddes básics são discutids detlhdmete. Filmete, defiimos fução epoecil como ivers d fução logrítmic e discutimos detlhdmete s sus proprieddes básics. 7 CEDERJ A itegrl defiid. Motivção. MÓDULO - AULA Aul A itegrl defiid. Motivção. Objetivos Compreeder um rgumeto, de cráter geométrico, que permitirá clculr áre de certs regiões pls. Referêcis: Auls e de Cálculo I. Cosideremos um fução f : [, b] R cotíu em [, b] e tl que f() pr todo [, b]. Vmos discutir seguite pergut: Como clculr áre d região R compreedid etre o gráfico de f, o eio ds bscisss e s rets = e = b? (Ver Figur.). R b Figur. Por eemplo, se f : [, ] R é defiid por f() = pr todo [, ], etão os ossos cohecimetos de Geometri Pl os dizem que áre d região compreedid etre o gráfico de f, o eio ds bscisss e s rets = e = é (ver Figur.). Figur. Os ossos cohecimetos de Geometri Pl tmbém os grtem que se f : [, ] R é defiid por f() = pr todo [, ], etão 9 CEDERJ A itegrl defiid. Motivção. áre d região compreedid etre o gráfico de f, o eio ds bscisss e s rets = e = é (ver Figur.3). Figur.3 No etto, Geometri Pl é isuficiete pr respoder oss pergut o cso gerl. Por eemplo, sej f : [, ] R defiid por f() = pr todo [, ] e cosideremos região compreedid etre o gráfico de f, o eio ds bscisss e ret = (ver Figur.4). Figur.4 Não há, Geometri Pl, ferrmet que os permit clculr áre d região idicd. Pr tetr tcr o problem, vmos usr o procedimeto que pssremos descrever prtir de gor. Pr cd iteiro, dividmos o itervlo [, ] em subitervlos iguis, obtedo ssim os itervlos [ [, ],, [ ],...,, ] [ e, ], cd um deles possuido comprimeto. Observemos que se = terímos os itervlos [ [, ] e, ], se = 3 terímos os itervlos [ [, 3],, 3 3] e [, ], se = 4 terímos os itervlos [ ] [, 3 4,, ] [ 4 4,, ] [ e 3, ], e ssim 4 por dite. CEDERJ A itegrl defiid. Motivção. MÓDULO - AULA Pr cd iteiro, vmos defiir três úmeros, T, U e V, d seguite form: e T = f() U = f ( ) + f ( ) + + f ( ) + f ( ) + + f() = = k= k= f ( ) k, f ( ) k V = f(t ) + f(t ) + + f(t ) + f(t ) = k= f(t k ), ode t [, ], t [, tomdos de meir rbitrári. ],..., t [, ] e t [, ] são Ates de prosseguir, observemos que os úmeros T, U e V têm um sigificdo geométrico bstte simples. De fto, pr cd k =,...,, o úmero f ( ) k represet áre do retâgulo de bse [ k, ] k e ltur f ( ) f ( ) k k, o úmero represet áre do retâgulo de bse [ k, ] k e ) e o úmero f(t k ) ltur f ( k k represet áre do retâgulo de bse [, k ] e ltur f(t k ). Assim, cd um dos úmeros T, U e V represet som ds áres dos retâgulos que cbmos de mecior. Por eemplo, os úmeros T 4, U 4 e V 4 represetm s áres ds regiões hchurds s Figurs.5,.5b e.5c, respectivmete, equto os úmeros T 8, U 8 e V 8 represetm s áres ds regiões hchurds s Figurs.6,.6b e.6c, respectivmete. É fácil observr que T 8, U 8 e V 8 são um melhor proimção pr o vlor d áre procurd do que T 4, U 4 e V 4. Veremos, seguir, que est firmção é meos igêu do que poss precer. CEDERJ A itegrl defiid. Motivção. /4 / 3/4 /4 / 3/4 () (b) t /4 t / t 3/4 t 3 4 (c) Figur.5 /8 /8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 /8 /8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 () (b) /8 3/8 5/8 7/8 t t t t t t t t /8 4/8 6/ (c) Figur.6 CEDERJ A itegrl defiid. Motivção. MÓDULO - AULA Notemos que, como t k [ k, k ] pr k =,..., e como f é crescete, etão ( ) ( ) k k f f(t k ) f pr k =,...,. Coseqüetemete, k= f ( ) k k= f(t k ) k= f ( ) k, isto é, T V U. Notemos id que, pr cd iteiro, T = k= f ( ) k = (k ) k= 3 = 3 ( ) (k ) k= e U = k= f ( ) k = k= k 3 = 3 ( ) k. k= Fçmos gor um prêteses pr provr que k = = k= ( + )( + ) 6 pr todo iteiro. Pr isto, vmos usr o pricípio de idução fiit. É clro que firmção cim é válid pr =. Sej m um iteiro positivo e dmitmos firmção verddeir pr m, ou sej, supohmos que m = m(m + )(m + ). 6 3 CEDERJ A itegrl defiid. Motivção. Etão m + (m + ) = m(m + )(m + ) 6 ( m(m + ) = (m + ) 6 + (m + ) = ) + (m + ) = ( ) m + m + 6m + 6 = (m + ) = 6 ( ) m + 7m + 6 = (m + ) = 6 ( ) (m + )(m + 3) = (m + ) = 6 = (m + ) ((m + ) + ) ((m + ) + ). 6 Isto mostr que firmção é válid pr m +. Pelo pricípio de idução fiit oss firmção é válid pr todo iteiro. Em vist do que cbmos de provr, segue que T = ( ) (k ) = ( + + ( ) ) = 3 3 k= = = ( )(( ) + )(( ) + ) 6 3 = ( )( ) 6 3 = e ( ) U = k = 3 k= pr todo iteiro. Logo, e = ( + )( + ) 6 3 T = = = 3 = U = = = 3. CEDERJ 4 A itegrl defiid. Motivção. MÓDULO - AULA E, como T V U pr todo, podemos tmbém firmr que V = 3. Em resumo, cbmos de mostrr que T = U = V = 3. Isto sigific que, pr suficietemete grde, os úmeros T, U e V estão bem próimos de. Ou, em outrs plvrs, se dividirmos o itervlo 3 [, ] em subitervlos de comprimeto bem pequeo, s soms ds áres dos retâgulos obtidos ds três meirs meciods teriormete, que são precismete os úmeros T, U e V, estrão bem próims de 3. Seri turl dmitir que áre procurd vlesse. N próim ul veremos que 3 é este precismete o cso e que, bem d verdde, o rgumeto utilizdo se plic qulquer fução cotíu f : [, b] R tl que f() pr todo [, b]. Filmete, cbe mecior que est ul tmbém tivemos oportuidde de preprr o terreo pr itroduzir oção de itegrl defiid, ser estudd prtir d próim ul. Resumo Nest ul você foi presetdo um rgumeto que permitirá clculr áre de certs regiões pls. Eercícios. Mostre, por idução, que pr todo iteiro = Sej f() = 3 pr todo [, ] e cosidere s seqüêcis (T ), (U ) e (V ), ode ( t [, T = k= f ( ) k ], t [,, U = k= ],..., t [ f ( ) k e V = k= f(t k ), ] e t [, ]). 5 CEDERJ A itegrl defiid. Motivção. Mostre que T = U = V = 4. Sugestão: Rciocie como fizemos pr fução f() =. Auto-vlição Nest ul discutimos idéi qul repous oção de itegrl defiid. Como est oção desempeh um ppel cetrl em tudo o que veremos seguir, só psse pr próim ul pós fzer o segudo eercício proposto. CEDERJ 6 Objetivos A itegrl defiid. Aul A itegrl defiid. Compreeder oção de itegrl defiid. MÓDULO - AULA Referêcis: Auls de Cálculo I e de Cálculo II. Estudr lgums proprieddes d itegrl defiid. Nest ul, poidos o germe lçdo ul pssd, vmos itroduzir oção de itegrl defiid de um fução rel cujo domíio é um itervlo fechdo e itdo e cuj imgem é um cojuto itdo. Iicilmete, lembremos que um subcojuto ão vzio T R é itdo qudo eistem m, M m t M pr todo t T. R (ão ecessrimete em T ) tis que O teorem de Weierstrss, visto ul 7 de Cálculo I, os grte que se f : [, b] R é cotíu em [, b], etão su imgem f([, b]) = {f(); [, b]} é um cojuto itdo. Defiição. Supohmos b e sej f : [, b] R tl que f([, b]) é um cojuto itdo. Pr cd iteiro, cosideremos os potos = = b tis que k k = b pr k =,..., e tomemos rbitrrimete potos t, t,..., t e t tis que t [, ], t [, ],..., t [, ] e t [, ]. Cosideremos etão som S = f(t )( ) + f(t )( ) f(t )( ) + f(t )( ) = = f(t k )( k k ) = f(t k ) b = b ( ) f(t k ), k= usulmete cohecid como um som de Riem de f em [, b]. k= k= Georg Friedrich Berhrd Riem (86-866), otável mtemático lemão, professor em Göttige, foi um ds figurs cetris d Mtemátic o século XIX. Riem foi um dos fuddores d Teori ds Fuções Alítics, ms tmbém fez importtes cotribuições à Geometri, à Teori dos Números e à Físic Mtemátic. Ele formulou hipótese de Riem, cojectur respeito d fução zet que cotiu em berto té hoje e que, se provd, dri iformções importtes sobre distribuição dos úmeros primos. Notemos que, se f() pr todo [, b], etão S represet som ds áres de retâgulos (o primeiro de bse [, ] e ltur f(t ), o segudo de bse [, ] e ltur f(t ),..., o peúltimo de bse [, ] e ltur f(t ) e o último de bse [, ] e ltur f(t )), como idicmos Figur.. 7 CEDERJ A itegrl defiid. t t t t b Figur. Pode-se provr que S, cso eist, é úico. As otções R b f(t)dt, f(u)du,... são R b f(s)ds, R b tmbém usds pr represetr itegrl de f em [, b]. Se eistir um úmero rel S tl que S = S, pr tod seqüêci (S ) ssim costruíd, diremos que fução f é itegrável em [, b] e escrevemos O úmero S = f()d. f()d é dito itegrl (ou itegrl defiid) de f em [, b]. Ele tmbém é cohecido como itegrl de Riem de f em [, b]. Se b, defiimos f()d =. f()d = N ul terior cosidermos s soms f ( ) k T =, U = k= b f()d. k= f ( ) k Defiimos, id, e V = k= f(t k ) s quis, como é fácil otr, são soms de Riem d fução f() = o itervlo [, ]. Admitido, por um istte, itegrbilidde de f em [, ] (ver o teorem seguir), terímos CEDERJ 8 d = T = U = V, em vist d Defiição.. Por outro ldo, vimos referid ul que os úmeros T, U e V se proimm d áre compreedid etre o gráfico de f, o eio ds bscisss e ret = à medid que cresce. Isto motiv defiição seguir. A itegrl defiid. MÓDULO - AULA Defiição. Sej f : [, b] R um fução itegrável em [, b] tl que f() pr todo [, b]. Defiimos áre d região compreedid etre o gráfico de f, o eio ds bscisss e s rets = e = b como sedo o úmero f()d. Por outro ldo, se f : [, b] R é um fução itegrável em [, b] e f() pr todo [, b], defiimos áre d região compreedid etre o gráfico de ( f, o eio ds bscisss e s rets = e = b como sedo o b ) úmero f()d. Um resultdo muito importte, cuj demostrção será vist discipli de Aálise, é o seguite Teorem. Se f : [, b] R é cotíu em [, b], etão f é itegrável em [, b]. Mis gerlmete, é possível provr que se f : [, b] R possui imgem f([, b]) itd e é cotíu, eceto em um úmero fiito de potos de [, b], etão f é itegrável em [, b]. Eemplo. Sej f : [, ] R defiid por f() = pr todo [, ]. Como f é cotíu em [, ], o Teorem. os grte que f é itegrável em [, ]. Logo, pel Defiição., d = S, pr qulquer seqüêci (S ) de soms de Riem de f em [, ]. prticulr, como V =, segue que 3 Em d = 3. Portto, áre d região compreedid etre o gráfico de f, o eio ds bscisss e ret = é, respodedo ssim à pergut formuld 3 ul terior. Eemplo. Sej f : [, b] R defiid por f() = c pr todo [, b]. f()d = c(b ). Etão 9 CEDERJ A itegrl defiid. Notemos que itegrbilidde de f segue imeditmete do Teorem.. Ms, este cso, el pode ser provd fcilmete, como veremos seguir. De fto, pr cd iteiro, sejm = = b como Defiição. e t k [ k, k ] pr k =,...,. Etão S = f(t k )( k k ) = Portto, k= ( ) c ( k k ) = c ( k k ) = k= = c (( ) + ( ) + + ( ) + (b )) = = c(b ). S = c(b ). k= Isto mostr que f é itegrável em [, b] e f()d = c d = c(b ). No cso em que c , c(b ) é precismete áre do retâgulo de ldo [, b] e ltur c, que coicide com áre d região compreedid etre o gráfico de f, o eio ds bscisss e s rets = e = b (ver Figur.). c b Figur. Vejmos, gor, um eemplo de um fução que ão é itegrável. CEDERJ A itegrl defiid. MÓDULO - AULA Eemplo.3 Sej f : [, ] R defiid por f() = se Q [, ] e f() = se (R Q) [, ]. Mostremos que f ão é itegrável em [, ]. Com efeito, pr cd iteiro, sejm = = tis que k k = pr k =,..., e tomemos potos t k, t k [ k, k ] tis que t k Q [ k, k ] e t k (R Q) [ k, k ] pr k =,..., (qui estmos usdo o fto importte segudo o qul etre dois úmeros reis há sempre um úmero rciol e um úmero irrciol). Como f(t k ) = e f(t k ) = pr k =,...,, obtemos S = ( k= ) f(t k ) = e S = ( ) f(t k ) =. k= Portto, S = e S =. Assim, f ão é itegrável em [, ]. N proposição seguir veremos lgums proprieddes elemetres d itegrl defiid. Proposição. Sejm f, g : [, b] R dus fuções itegráveis em [, b] e α um úmero rel. Vlem s seguites proprieddes: () se f() pr todo [, b], etão (b) fução αf é itegrável em [, b] e (αf)()d = c) fução f + g é itegrável em [, b] e f()d ; αf()d = α f()d; (f + g)()d = (f() + g())d = f()d + g()d. CEDERJ A itegrl defiid. Demostrção: Provremos () e (b). Iicilmete, provemos (). Com efeito, pr cd iteiro, sejm = = b como Defiição. e t k [ k, k ] pr k =,...,. Etão S = b ( ) f(t k ), k= pois f(t k ) pr k =,...,. Portto, pelo Eercício (), d ul de Cálculo I, obtemos S, ou sej, f()d. Agor, provemos (b). Com efeito, pr cd iteiro, sejm = = b como Defiição. e t k [ k, k ] pr k =,...,. Defimos Etão S = b ( k= S = b ( ) (αf)(t k ). k= ) ( b αf(t k ) = α ( k= ode S = b ( ) f(t k ). Portto, k= ( ) S = α S = α f()d. Isto mostr que αf é itegrável em [, b] e (αf)()d = )) f(t k ) = αs, αf()d = α f()d. Fçmos, gor, um cometário respeito d oção de áre. Pr um fução f : [, b] R itegrável e tl que f() pr todo [, b], defiimos áre d região compreedid etre o gráfico de f, o eio ds bscisss e s rets = e = b como sedo o úmero Proposição.(), que, sob s codições meciods, f()d. Acbmos de ver, f()d. CEDERJ A itegrl defiid. MÓDULO - AULA Assim, referid áre é um úmero mior ou igul zero, como seri de se esperr. Por outro ldo, pr um fução f : [, b] R itegrável e tl que f() pr todo [, b], defiimos áre d região compreedid etre o ( gráfico de f, o eio ds bscisss e s rets = e = b como sedo b ) f()d. Ms, pel Proposição.(b), f é itegrável em [, b] e ( ( f)()d = ) f()d. Como ( f)() = f() pr todo [, b], Proposição.() os grte que ( f)()d. Assim, referid áre é um úmero mior ou igul zero, como seri de se esperr. Como coseqüêci imedit do Eemplo. e d Proposição.(c), obtemos: Eemplo.4 Se f : [, b] R é itegrável em [, b] e c R, etão fução g : [, b] R, defiid por g() = f() + c pr todo [, b], é itegrável em [, b] e Eemplo.5 g()d = (f() + c)d = f()d + c(b ). Se f, g : [, b] R são itegráveis em [, b] e f() g() pr todo [, b], etão f()d g()d. De fto, pel Proposição.(b),(c), f g = f + ( g) é itegrável em [, b]. E, como (f g)() = f() g() pr todo [, b], segue d Proposição.() que Ms, Portto, (f g)()d = (f g)()d. (f() g())d = f()d g()d. f()d g()d. 3 CEDERJ A itegrl defiid. N próim proposição euciremos um resultdo que ão será demostrdo este curso. Proposição. Sejm f : [, b] R itegrável em [, b] e u b. Etão f [,u] ( restrição de f [, u]) é itegrável em [, u], f [u,b] ( restrição de f [u, b]) é itegrável em [u, b] e Eemplo.6 f()d = u f()d + u f()d. Defimos f : [, ] R por f() = + se [, ] e f() = se [, ] (o gráfico de f é esboçdo Figur.3). Clculemos f()d. Figur.3 De fto, como f é cotíu em [, ], etão f é itegrável em [, ]. Além disso, pel Proposição., f()d = Ms, pelo que vimos est ul, f()d = ( + )d = f()d + f()d. d + ( ) = 3 + = 4 3 e f()d = d = ( ) =. Portto, f()d = = 3. CEDERJ 4 A itegrl defiid. MÓDULO - AULA Resumo Nest ul você foi presetdo à oção de itegrl defiid e viu lgums proprieddes elemetres d itegrl defiid. O fto importte segudo o qul tod fução cotíu de [, b] em R é itegrável em [, b] foi tmbém meciodo. Eercícios. Clcule d.. Sej f() = pr todo [, ]. Clcule áre d região compreedid etre o gráfico de f, o eio ds bscisss e ret =. 3. () Mostre, por idução, que + + = (+) pr todo iteiro. (b) Mostre que d = b. Sugestão: Você já sbe que fução f() = é itegrável em [, b], pois el é cotíu em [, b]. Pr cd iteiro, cosidere som de Riem S = b ( ( )) k(b ) f + k= e mostre que S = b. 4. Rciocie, como ul, pr mostrr que d = b Clcule ( + + )d. 6. Sej f : [, ] R defiid por f() = se [, ] e f() = se [, ]. Mostre que f()d =. 7. Sej f : [, b] R um fução itegrável tl que m f() M pr todo [, b]. Mostre que m(b ) f()d M(b ). 5 CEDERJ A itegrl defiid. Auto-vlição Nos eercícios dest ul você teve oportuidde de fir oção de itegrl defiid e lgums de sus proprieddes. Cso ão teh coseguido fzer todos os eercícios, relei ul e depois tete ovmete. Cso persist lgum dúvid, cosulte o tutor o pólo. CEDERJ 6 Objetivo O Teorem Fudmetl do Cálculo. Aul 3 O Teorem Fudmetl do Cálculo. Iicir o estudo do Teorem Fudmetl do Cálculo, que forece um meir simples de se clculr itegrl defiid de fuções cotíus defiids em itervlos fechdos e itdos. MÓDULO - AULA 3 Referêcis: Auls 6, 7, 9,, de Cálculo I, e de Cálculo II. N ul terior você predeu que tod fução cotíu f : [, b] R é itegrável. Etretto, tedo em vist compleidde d defiição, clculr o úmero f()d pode ão ser simples, como já ficou clro s dus uls teriores. Nest ul iiciremos o estudo de um teorem importte que, em certos csos, os levrá o úmero utomátic: o Teorem Fudmetl do Cálculo. f()d de meir Comecemos eucido um proposição cuj demostrção será vist discipli de Aálise. Proposição 3. Se f : [, b] R é itegrável em [, b], etão fução f : [, b] R é itegrável em [, b]. Além disso, f()d f ()d = f() d. Lembremos que, por defiição, f () = f() pr todo [, b]. Eemplo 3. A recíproc d Proposição 3. ão é verddeir em gerl, ou sej, podemos ter f itegrável sem que f sej itegrável. Relmete, cosideremos fução f : [.] R defiid por f() = se Q [, ] e f() = se (R Q) [, ]. Rciocido como o Eemplo.3, cocluímos que f ão é itegrável em [, ] (fç os detlhes). Etretto, como f () = f() = pr todo [, ], etão fução f é itegrável em [, ]. Sejm b e f : [, b] R um fução cotíu em [, b]. Pr cd [, b] defimos F () = f(t)dt. 7 CEDERJ O Teorem Fudmetl do Cálculo. Notemos que, como f é cotíu em [, b], etão f é cotíu em [, ], logo itegrável em [, ] pr todo [, b]; ssim, fz setido cosiderr fução F. Notemos id que, se f() pr todo [, b], etão F () represet áre d região compreedid etre o gráfico de f, o eio ds bscisss e s rets t = e t = ; ver Figur 3.. b Figur 3. Teorem 3. [ form do Teorem Fudmetl do Cálculo] Se b e f : [, b] R é cotíu em [, b], etão F é derivável em [, b] e F () = f() pr todo [, b]. Demostrção: Fiemos (, b). Mostremos que F é derivável em e F () = f(). Os csos em que = ou = b são trtdos de meir álog. Devemos provr que o que equivle provr que F (t) F () t t Provremos que F (t) F () t t = f(), = f() e t + F (t) F () t F (t) F () t + t = f(), = f(). CEDERJ 8 O Teorem Fudmetl do Cálculo. MÓDULO - AULA 3 sedo o cso do ite lterl à esquerd trtdo de meir álog. Tomemos etão um seqüêci (t ) rbitrári tl que t b pr todo e t =. Verifiquemos que F (t ) F () t Com efeito, segue d Proposição. que F (t ) F () = t Como, pelo Eemplo., f(t)dt t = f(). f(t)dt = fido, f() fz o ppel de um costte), obtemos eiste F (t ) F () t f() = t f(t)dt. f()dt = (t )f() (como está t Por outro ldo, pel Proposição.(c), Logo, t f(t)dt t t F (t ) F () t f()dt = t f() = f(t)dt t t t t f()dt t. (f(t) f())dt. t (f(t) f())dt. t Assim, pel Proposição 3., obtemos F (t ) F () t f() (f(t) f())dt t f(t) f() dt t =. t t Pelo teorem de Weierstrss, visto ul 7 de Cálculo I, pr cd z [, t ] tl que f(t) f() f(z ) f() pr todo t [, t ] (estmos plicdo o teorem de Weierstrss à fução cotíu t [, t ] f(t) f() R). Pelo Eemplo.5, segue que t f(t) f() dt t f(z ) f() dt = (t ) f(z ) f(). Coseqüetemete, temos F (t ) F () f() t f(z ) f() pr todo. 9 CEDERJ O Teorem Fudmetl do Cálculo. Filmete, como f é cotíu em e z = (pois z t e t = ), temos que f(z ) = f(), isto é, (f(z ) f()) =, isto é, f(z ) f() =. Portto, em vist d desiguldde cim, F (t ) F () = f(). t Como (t ) é rbitrári, cbmos de mostrr que F (t) F () t + t cocluido ssim demostrção do teorem. = f(), Sejm b e f : [, b] R cotíu em [, b]. Defimos F () = f(t)dt pr todo [, b]. Pel Proposição., temos pr todo [, b], isto é, f(t)dt + f(t)dt = F () = F (b) F () f(t)dt pr todo [, b]. Portto, pelo Teorem 3., F é derivável em [, b] e F () = f() pr todo [, b]. Eemplo 3. Sej f : R R cotíu em R e sej um úmero rel rbitrário. Defimos F : R R por F () = derivável em R e F () = f() pr todo R. f(t)dt pr todo R. Afirmmos que F é De fto, sej b rbitrário. Como f é cotíu em [, b], o Teorem 3. os grte que F é derivável em [, b] e F () = f() pr todo [, b]. CEDERJ 3 O Teorem Fudmetl do Cálculo. MÓDULO - AULA 3 ode Por outro ldo, sej c rbitrário. Etão, pr todo [c, ], temos F () = f(t)dt = F () = f(t)dt = F (), f(t)dt pr todo [c, ]. Como vimos logo pós o Teorem 3., F é derivável em [c, ] e F () = f() pr todo [c, ]. Coseqüetemete, F é derivável em [c, ] e F () = F () = ( f()) = f() pr todo [c, ]. Em vist do que cbmos de observr segue que, pr quisquer c, b R, com c b, fução F é derivável em (c, b) e F () = f() pr todo (c, b). Filmete, como todo R pertece lgum itervlo (c, b) (com c b), cocluímos que F é derivável em R e F () = f() pr todo R. Como coseqüêci imedit do Eemplo 3., obtemos: Eemplo 3.3 A fução F () = se (t ) dt é derivável em R e F () = se ( ) pr todo R. Em prticulr, F ( ) π = se π =. O próimo eemplo tmbém decorre do Eemplo 3.,
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