Magazines/Newspapers

A matriz das incógnitas é uma matriz coluna formada pelas incógnitas do sistema.

Description
MATEMÁTICA MÓDULO 1 SISTEMA LINEAR Um sistema linear de m equações a n incógnitas é um conjunto de m (m 1) equações lineares a n incógnitas e pode ser escrito como segue: a a a b a a a b n n 1
Published
of 11
All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
Related Documents
Share
Transcript
MATEMÁTICA MÓDULO 1 SISTEMA LINEAR Um sistema linear de m equações a n incógnitas é um conjunto de m (m 1) equações lineares a n incógnitas e pode ser escrito como segue: a a a b a a a b n n n n a a a b m1 1 m mn n m onde 1,,..., n são as incógnitas. O sistema acima pode ser escrito na forma matricial. a a a a a a a a a n 1 n m1 m mn 1 n = b1 b bm A matriz dos coeficientes das equações é chamada matriz incompleta do sistema. A = a a a a a a a a a n 1 n m1 m mn A matriz das incógnitas é uma matriz coluna formada pelas incógnitas do sistema. X = 1 n A matriz dos termos independentes é uma matriz-coluna formada pelas constantes do º membro. C = b1 b bm 1 MATEMÁTICA MÓDULO 1 1. CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR A solução de um sistema linear de m equações e n incógnitas é uma ênupla ordenada ( 1,,..., n ) que satisfaz cada uma das m equações, onde na posição i aparece o valor a ser atribuído à incógnita i. De acordo com a quantidade de soluções, o sistema linear pode ser classificado como segue: SISTEMA POSSÍVEL OU COMPATÍVEL DETERMINADO (S.P.D.) INDETERMINADO (S.P.I.) SISTEMA IMPOSSÍVEL OU INCOMPATÍVEL (S.I.) UMA ÚNICA SOLUÇÃO INFINITAS SOLUÇÕES NENHUMA SOLUÇÃO Alguns eemplos simples são apresentados abaio: S.P.D. y 3 S = {(, 1)} y 1 S.P.I. y 3 S ={(t, 3 t)tr} infinitas soluções y 6 S.I. y 3 S = y 7. REGRA DE CRAMER Seja um sistema linear de n equações e n incógnitas e A a sua matriz incompleta. Se det A 0, então o sistema é possível e determinado e a solução é tal que deta deta i i para i = 1,,..., n onde Ai é a matriz obtida de A, substituindo-se a i-ésima coluna pela coluna dos termos independentes. Nesse caso, diz-se que o sistema é um Sistema de Cramer. det A = a a a n a a a 1 n a a a m1 m mn 0 sistema de Cramer Vamos aplicar o Teorema de Cramer na resolução do sistema abaio: y z y z 1 det A = 1 1 = y z sist. de Cramer sistema possível e determinado MATEMÁTICA MÓDULO det A = 10 det Ay 1 1 = z det A = 30 deta 10 = 1 deta 10 deta z z 30 = 3 deta 10 S = {(1,, 3)} deta y y 0 deta 10 = A Regra de Cramer permite identificar os sistemas possíveis e determinados e obter a sua solução. Entretanto quando det A = 0, o sistema não é de Cramer, podendo ser possível e indeterminado ou impossível. Nos nossos concursos, encontraremos no geral sistemas 3 3. Nestes casos, a abordagem será eliminar uma das variáveis, para reduzir a um sistema, onde a análise será bem mais simples. 3 MATEMÁTICA MÓDULO 1 EXERCÍCIOS DE COMBATE 1. Na figura a seguir, cada um dos sete quadros contém a medida de um ângulo epressa em graus. Em quaisquer três quadros consecutivos temos os três ângulos internos de um triângulo. Determine o valor do ângulo X. a) 10 b) 15 c) 0 d) 5 e) 30. O conjunto de todas as soluções do sistema y 3z 0 4 5y 6z 0 a) é vazio. b) consiste apenas no vetor nulo 0,0,0. c) consiste apenas no vetor 1,,1. d) consiste em todos os múltiplos a, a, a de 1,,1. e) consiste em todos os múltiplos a,a, a de 1,1,. 3. Assinale a afirmativa correta. O sistema y z 1 y z 1 a) não tem solução. b) tem uma solução única = 1, y = 0, z = 0. c) tem eatamente duas soluções. 4 MATEMÁTICA MÓDULO 1 d) tem uma infinidade de soluções. e) tem uma solução com z = O valor de a tal que no sistema a) b) 1 c) 0 d) 1 e) 3y z 3 y az 1 z y z 5 se tenha z = 3 é: 4z 7 5. Se 3y 8, então +y +z é igual a: y z 1 a) b) 1 c) 0 d) 1 e) (k ) y z 0 6. O sistema linear ky z 0 é possível e determinado, eceto para um número finito de valores de (k 1)z 4 k. A soma de todos esses valores de k é: a) 1 b) 1/ c) 0 d) 1/ e) 1 5 MATEMÁTICA MÓDULO 1 7. Seja A a matriz formada pelos coeficientes do sistema linear abaio: y z y z y z a) Ache as raízes da equação: det A=0. b) Ache a solução geral desse sistema para =. 8. Se S é o conjunto dos valores de a para os quais o sistema + y + z = 0 + (log3a) y + z = 0 é indeterminado, então: 7 + y + (log 3 )z 0 a a) S [ 3, 3] b) S é vazio c) S [, 4] d) S [1, 3] e) S [0, 1] 9. Sejam a 1, a, a 3, a 4 quatro números reais (com a 1 0), formando nessa ordem uma progressão geométrica. a1 a3y 1 Então, o sistema em e y é um sistema a1a a1a4y a a) impossível. b) possível determinado. c) possível indeterminado. d) possível determinado apenas para a 1 1. e) possível determinado apenas para a 1 (AFA) O sistema de equações lineares a) K = 7/6 b) K= 7/5 ou K = c) K = 7/3 ou K = d) K = 7/ ou K = 3 Ky z 0 5 4y 5z 0 y Kz 0 admite mais de uma solução se: 6 MATEMÁTICA MÓDULO A equação matricial y z k a) é impossível para todos os valores de k b) admite solução qualquer que seja k c) admite solução somente se k = 4 d) admite solução somente se k = 8 e) admite solução somente se k = 1 1. Considere o sistema linear: a a... a b a a... a b n n n n a a... a b n1 1 n nn n n onde a ij R, b i R ; 1 i, j n. A afirmação correta está contida na alternativa: a) A solução nula é a única solução do sistema. b) O conjunto das soluções do sistema contém a solução nula. c) Se (r 1, r,..., r n ) é a solução do sistema, então (Kr 1, Kr,..., Kr n ) também é solução. d) Se a ij 0, para 1 i n, então o sistema pode não ter solução. e) nra 13. O sistema de equações: y 3z 1 y 3z 1 4 7y 3z 5 a) Não possui solução b) Possui uma infinidade de soluções. c) Possui um número finito, maior que um soluções. d) Possui uma única solução, na qual o valor de z é positivo. e) Possui uma única solução, na qual o valor de z é negativo. 14. Sabendo-se que a) 1 b) 0 c) 1 d) 1 a b = 4 3 0, então, ab é igual a: 7 MATEMÁTICA MÓDULO Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de 3 sanduíches, 7 ícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 31,50. Em outra mesa, o consumo de 4 sanduíches, 10 ícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 4,00. Então, o consumo de 1 sanduíche, 1 ícara de café e 1 pedaço de torta totaliza o valor de a) R$ 17,50 b) R$ 16,50 c) R$ 1,50 d) R$ 10,50 e) R$ 9,50 3 y z Analisando o sistema y z 0 y z 1 a) possível e determinado com yz = 7 b) possível e determinado com yz = 8 c) possível e determinado com yz = 6 d) possível e indeterminado e) impossível concluímos que este é: z w 0 ky k w Considere o sistema: (P) (k 1)z w 1 z kw Podemos afirmar que (P) é possível e determinado quando: a) k 0 b) k 1 c) k 1 d) k 0 e k 1 e) n.d.a. 8 MATEMÁTICA MÓDULO 1 GABARITO a X 180 a X b 180 X b b = 0 b = 100 X = 180 X = 15 RESPOSTA: B. RESPOSTA: D 3. RESPOSTA: D 4. RESPOSTA: D 5. RESPOSTA: E 6. RESPOSTA: A 7. a) 1 1 det A 1 1 ( 1)( ) raízes: = 1, = 1 e = y z 0 y z 0 b) = y z 0 3y 3z 0 y z 0 3y 3z 0 9 MATEMÁTICA MÓDULO 1 y z 0 y = z e = z S = {(k, k, k): k R} y z 0 RESPOSTA: a) 1 (dupla) e b) S = {(k, k, k): k R} 8. RESPOSTA: A 9. RESPOSTA: C 10. Para que o sistema tenha mais de uma solução (SPI), devemos ter o determinante da matriz dos coeficientes nulo: 3 k k 17k 14 0 k k 1 1 k 7 5 Veja que o sistema admite a solução (0,0,0). Assim, havendo uma solução, como o sistema não é possível determinado, ele deve ser SPI para os dois valores de k que encontramos. RESPOSTA: B 11. RESPOSTA: E 1. RESPOSTA: D 13. RESPOSTA: B 14. RESPOSTA: B 15. RESPOSTA: D 16. y z 0 y z 0 y z 1 y 1 3 y z 7 5y 4z 7 y = 1 10 MATEMÁTICA MÓDULO z = 7 z = = 0 = yz = 6 RESPOSTA: C 17. (P) é possível e determinado se, e somente se, o sistema é de Cramer k 0 k 1 0 k k Laplace 0 k ( 1) 1 k ª col. 1 1 k k(k k) 0 (k 0 e k 1) RESPOSTA: D 11
Search
Similar documents
View more...
Related Search
We Need Your Support
Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

Thanks to everyone for your continued support.

No, Thanks