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A. S. Fedenko Problemas de Geometría Diferencial 1981

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LIBRO SOBRE GEOMETRÍA DIFERENCIAL, FEDENKO
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  Notas de AulaGeometria Diferencial Rodney Josu´e Biezuner  1 Departamento de Matem´aticaInstituto de Ciˆencias Exatas (ICEx)Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Notas de aula do curso  Geometria Diferencial   do Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica. 13 de outubro de 2016 1 E-mail: rodney@mat.ufmg.br; homepage:  http://www.mat.ufmg.br/~rodney .  Sum´ario 1 Teoria Local das Curvas 3 1.1 Curvas Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Defini¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Reparametriza¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Curvas Regulares e Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 Curvas Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Comprimento de uma Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3 O Parˆametro Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.1 Defini¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.3 F´ormulas de Frenet para Curvas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Derivada em  R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.1 Defini¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5 Isometrias de  R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6 Teorema Fundamental das Curvas no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.7 Tor¸c˜ao e Triedro de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.7.1 Defini¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.7.2 F´ormulas de Frenet para Curvas Espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.7.3 C´alculo da Curvatura e Tor¸c˜ao para Parametriza¸c˜oes Arbitr´arias . . . . . . . . . . . . 33 1.8 Teorema Fundamental das Curvas no Espa¸co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2 Teoria Global das Curvas 41 2.1 N´umero de Rota¸c˜ao de uma Curva Fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.1 N´umero de Rota¸c˜ao e Curvatura Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.2 N´umero de Rota¸c˜ao de Curvas Fechadas Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2 Curvas Fechadas Simples Convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.3 Teorema dos Quatro V´ertices para Curvas Convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.4 Teorema dos Quatro V´ertices: Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3 Superf´ıcies Regulares 55 3.1 Superf´ıcies Parametrizadas Regulares e Superf´ıcies Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1.1 Defini¸c˜ao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1.2 Superf´ıcies como Imagens Inversas de Valores Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2 Mudan¸ca de Coordenadas e Fun¸c˜oes Diferenci´aveis em Superf´ıcies . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3 Plano Tangente, Vetor Normal e Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3.1 Plano Tangente e Vetor Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651  Rodney Josu´e Biezuner   23.3.2 Diferencial de uma Aplica¸c˜ao Diferenci´avel entre Superf´ıcies Regulares . . . . . . . . . 66 3.4 Superf´ıcies Orient´aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4 As Formas Fundamentais e Curvaturas 73 4.1 A Primeira Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.1.1 Comprimento de Curvas em Superf´ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.1.2 ´Area de Regi˜oes de Superf´ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2 Segunda Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.2.1 A Aplica¸c˜ao de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.2.2 A Segunda Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.2.3 Segunda Forma Fundamental e Operador Forma em Coordenadas . . . . . . . . . . . 824.3 Curvaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.3.1 Curvatura Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.3.2 Curvaturas Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.3.3 Curvatura Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.3.4 Curvatura M´edia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.3.5 Classifica¸c˜ao dos Pontos de uma Superf´ıcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.3.6 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.4 Superf´ıcies de Curvatura Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.4.1 Superf´ıcies de Revolu¸c˜ao com Curvatura Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.5 Superf´ıcies M´ınimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5 Geometria Intr´ınseca das Superf´ıcies 109 5.1 Isometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.2 S´ımbolos de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.3 Equa¸c˜oes de Compatibilidade e Teorema Egr´egio de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.4 Teorema Fundamental Local das Superf´ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.5 O Teorema de Rigidez da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.5.1 Parametriza¸c˜oes Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.5.2 Curvas Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.5.3 Existˆencia de Parametriza¸c˜oes Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.5.4 O Teorema de Rigidez da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6 Geod´esicas 134 6.1 Defini¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.3 Aplica¸c˜ao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.3.1 Defini¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.3.2 Coordenadas Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.3.3 Coordenadas Geod´esicas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.4 Propriedades Minimizantes das Geod´esicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.5 Vizinhan¸cas Totalmente Normais e Vizinhan¸cas Convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.6 Fun¸c˜ao Distˆancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.7 Superf´ıcies Completas e Teorema de Hopf-Rinow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152  Cap´ıtulo 1 Teoria Local das Curvas 1.1 Curvas Parametrizadas 1.1.1 Defini¸c˜ao Denotaremos por  I   qualquer subconjunto conexo de R , isto ´e, qualquer intervalo aberto, fechado, semiaberto,raio de  R  ou o pr´oprio  R ; chamaremos  I   simplesmente de  intervalo . Diremos que uma fun¸c˜ao vetorial f   :  I   −→  R n satisfaz localmente   uma certa propriedade, se para todo  t  ∈  I   existe um intervalo aberto  J  t    t tal que  f  | J  t  satisfaz a propriedade. 1.1 Defini¸c˜ao.  Uma  curva parametrizada diferenci´avel  ´e uma fun¸c˜ao vetorial localmente injetiva,continuamente diferenci´avel,  α  :  I   −→  R n .Dizemos que  α  ´e uma  curva parametrizada de classe  C  k se  α  ´e  k  vezes continuamente diferenci´avel.Se  α  ´e  de classe  C  ∞  tamb´em dizemos que  α  ´e uma  curva parametrizada suave .   O  tra¸co  de uma curva parametrizada  α  :  I   −→  R n ´e sua imagem  α ( I  ). Muitas vezes identificamos o tra¸code uma curva com a pr´opria curva, abusando a linguagem, e nos referimos `a  parametriza¸c˜ ao da curva   (aoinv´es de “a parametriza¸c˜ao do tra¸co da curva”). A exigˆencia de diferenciabilidade elimina exemplos patol´ogicos, tais como o de curvas cont´ınuas quepreenchem um quadrado ou um cubo ( curvas de Hilbert  ). Mas n˜ao evita o aparecimento de quinas (vejaos Exemplos 1.8 e 1.9 a seguir). O requerimento de injetividade apenas local permite autointerse¸c˜oes: α  :  I   −→  R n ser localmente injetiva significa que para todo  t  ∈  I   existe um intervalo  J  t    t  tal que  α | J  t  ´einjetiva, mas  α  n˜ao precisa ser  globalmente   injetiva, isto ´e, n˜ao precisa ser injetiva em todo o intervalo  I  . Orequerimento de injetividade local pro´ıbe no entanto que uma curva volte sobre si mesma (veja o Exemplo1.7 a seguir). 1.1.2 Exemplos 1.2 Exemplo  (Retas) .  α  :  R  −→  R 2 definida por α ( t ) = ( x 0  + v 1 t,y 0  + v 2 t ) = ( x 0 ,y 0 ) + t ( v 1 ,v 2 ) =  p 0  + tv ´e uma parametriza¸c˜ao de uma reta no plano, enquanto que  β   :  R  −→  R 3 definida por β  ( t ) = ( x 0  + v 1 t,y 0  + v 2 t,z 0  + v 3 t ) = ( x 0 ,y 0 ,z 0 ) + t ( v 1 ,v 2 ,v 3 ) =  p 0  + tv ´e uma parametriza¸c˜ao de uma reta no espa¸co. Em geral,  γ   :  R  −→  R n definida por γ  ( t ) = ( x 1  + v 1 t,...,x n  + v n t ) = ( x 1 ,...,x n ) + t ( v 1 ,...,v n ) =  p 0  + tv ´e uma parametriza¸c˜ao de uma reta em  R n . Note que  α  ´e uma curva suave, globalmente injetiva.   3
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