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A05 - Caracteristicas Geometricas Da Secao Transversal

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ESTÁTICA – DEC 3674 42 5 Características geométricas da seção transversal1 5.1 Centro de Gravidade de um Corpo Bidimensional. Consideremos uma placa horizontal. Podemos dividir essa placa em n elementos pequenos. As coordenadas do primeiro elemento são denominadas x1 e y1, as do segundo elemento x2 e y2 etc. As forças exercidas sobre os elementos da placa serão denominadas P1, P2, Pn, respectivamente. Essas forças ou pesos podem ser consideradas paralelas. Sua resultante é, por conseguinte, um
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  ESTÁTICA – DEC 3674  42 5   Características geométricas da seção transversal 1   5.1   Centro de Gravidade de um Corpo Bidimensional. Consideremos uma placa horizontal. Podemos dividir essa placa em n elementos pequenos.As coordenadas do primeiro elemento são denominadas x 1 e y 1 , as do segundo elemento x 2 ey 2 etc. As forças exercidas sobre os elementos da placa serão denominadas P 1 , P 2 , P n ,respectivamente. Essas forças ou pesos podem ser consideradas paralelas. Sua resultante é, por conseguinte, uma única força na mesma direção. A intensidade P desta força é obtida pelaadição das intensidades dos pesos elementares. 12 ...  z n F P P P P Σ = = + + +  Para obtermos as coordenadas X e Y do ponto G onde a resultante P deve ser aplicadadevemos satisfazer a condição de que os momentos das parcelas P i em relação aos eixos x e ysejam iguais ao momento da resultante P em relação aos mesmos eixos. Σ M x = P X = P 1 x 1 + P 2 x 2 + ... + P n x n   Σ M y = P Y = P 1 y 1 + P 2 y 2 + ... + P n y n (5.2)Se aumentarmos o número de elementos em que a placa é dividida e diminuirmossimultaneamente o tamanho de cada elemento, teremos as seguintes expressõesP = ∫ dP P X = ∫ x dP P Y = ∫ y dP (5.3)Essas expressões definem o peso P e as coordenadas x e y do centro de gravidade G da placa. 5.2   Centróides de Áreas.  No caso de uma placa homogênea de espessura uniforme, a intensidade P do peso de umelemento da placa pode ser expressa como: 1 Mecânica vetorial para engenheiros - Ferdinand P. Beer e E. Russell Johnston, Jr.; McGraw-Hill, 1976  ESTÁTICA – DEC 3674  43P = γ .t.ASendo: γ = peso específico .(peso por unidade de volume) do materialt = espessura da placa, e A = área do elementoSubstituindo P e P i na equação de momentos (5.2) e dividindo por  γ t, escrevemos Σ M x = AX = A 1 x 1 + A 2 x 2 + ... + A n x n   Σ M y = AY = A 1 y 1 + A 2 y 2 + ... + A n y n (5.4)Aumentando o número de elementos em que a área A é dividida, obtemosXA = ∫ x.dA AY = ∫ y.dA (5.5)Essas equações definem as coordenadas x e y do centro de gravidade de uma placa uniforme.O ponto de coordenadas X e Y é também conhecido como o centróide C da área A da placa A integral ∫ x.dA é conhecida como o momento estático da área A em relação ao eixo y.Analogamente, a integral ∫ y.dA define o momento estático de A em relação ao eixo x. Vê-se das Eqs. (5.5) que, se o centróide de uma área está situado sobre um eixo coordenado, omomento estático da área em relação a este eixo é nulo. Áreas simétricas em relação aos eixos Quando uma área A possui um eixo de simetria BB', o centróide da área deve estar situadoneste eixo. Se possuir dois eixos de simetria, o centróide da área está situado na intersecçãodos dois eixos de simetria. Esta propriedade nos possibilita determinar imediatamente ocentróide de áreas tais como círculos, elipses, quadrados, retângulos, triângulos eqüiláteros ouquaisquer outras figuras simétricas.A seguir são fornecidos alguns centróides de formas usuais de áreas:  ESTÁTICA – DEC 3674  44 Triângulo x CG = y CG = h/3 Área = ½ . b.hQuarto de círculox CG = 4.r/3. π y CG = 4.r/3. π Área = π .r  2 /4Semi círculo x CG =0 y CG = 4.r/3. π Área = ½. π .r  2 .Quarto de elipsex CG = 4.a/3. π y CG = 4.b/3. π Área = π .a.b/4Semi elipse x CG =0 y CG = 4.b/3. π Área = ½. π .a.bSemi parábolax CG = 3.a/8 y CG = 4.h/5 Área = 2.a.b/3Parabólica x CG =0 y CG = 3.h/5 Área = 4/3.a.hSuperfície arqueada de uma abóbada – forma geral1.2 cg n x an +=+  1.4.2 cg n y hn +=+  .1 a h Árean =+   5.3   Placas Compostas. Uma placa pode ser dividida em retângulos, triângulos ou outras das formas usuais. Aabscissa X de seu centro de gravidade G pode ser determinada das abscissas dos centros degravidade das várias partes, expressando que o momento do peso de toda a placa em relaçãoao eixo y é igual à soma dos momentos dos pesos das várias partes em relação ao mesmo eixo(Fig. 5.9). A coordenada Y do centro de gravidade da placa é encontrada de maneira análoga,equacionando os momentos em relação ao eixo x. yyC b/2 b/2OxyOCr CyxOCOr Ca byxOCOCahay cg x cg  Oy = k.x n  h  ESTÁTICA – DEC 3674  45 FIGURA 5.9. Centro de gravidade de uma placa compostaSe a placa é homogênea e de espessura uniforme, o centro de gravidade coincide com ocentróide G de sua área. A abscissa X do centróide da área pode ser então determinada,considerando que o momento estático da área composta com respeito ao eixo y é igual à somados momentos estáticos das diversas áreas em relação ao mesmo eixo (Fig. 5.10). A ordenadaY do centróide é encontrada de maneira análoga, isto é, equacionando momentos estáticos dasáreas em relação ao eixo x.FIG. 5.10. Centróide de uma área composta ( ) 121122 .........  x n n n  M Y A A A y A y A y A = + + + = + + + ∑   ( ) 121122 .........  y n n n  M X A A A x A x A x A = + + + = + + + ∑ (5.8) Cuidado: Momentos estáticos de áreas podem ser positivos ou negativos. Uma áreacom centróide à esquerda do eixo y terá momento estático negativo em relação ao eixo y.   Exemplo 1 Determinar o centro de gravidade da placahomogênea ao lado. yOx A 1 C 1 A 2  A 3 C 2  C 3  yOx Σ A i  XYC zOyxG 2  P 1  G 1 P 2  G 3  P 3  XYP = Σ PizOx10 cm5 cm15 cmr = 10 cm22,5 cm17,5 cm
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