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AB266_2018_L02

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  AB-266 - Lista de Exerc´ıcios 02 Ant^onio Bernardo Guimar~aes Neto 07 de mar¸co de 2018 As equa¸c˜oes do movimento de uma aeronave, com a hip´otese simplificadora de Terra plana, foram obtidas em aula. Na dedu¸c˜ao, consideramos uma srcem arbitr´aria  O  parao sistema do corpo. O centro de massa da aeronave, por sua vez, corresponde ao ponto C  , cujo vetor-posi¸c˜ao em rela¸c˜ao a  O  ´e  r C  . Como, dentre as hip´oteses simplificadorasadotadas nas equa¸c˜oes para Terra plana, est´a a de que o campo gravitacional ´e uniforme, n˜ao h´a, nesse caso, distin¸c˜ao entre centro de massa e centro de gravidade (CG). Assim, ´e comum nos referirmos a  C   como o CG da aeronave.A equa¸c˜ao das for¸cas (ou da derivada da quantidade de movimento linear) ´e dada por: m b d V dt  +  m ω b/i ×  V   − mr C   × b d ω b/i dt  − m ω b/i ×  r C   ×  ω b/i   ==   F  aero  +   F   prop  +  mg  (1)J´a a equa¸c˜ao dos momentos (ou da derivada da quantidade de movimento angular) ´e: b ddt    J  O ·  ω b/i   +   ω b/i ×    J  O ·  ω b/i   +  mr C   × b d V dt  +  mr C   ×   ω b/i ×  V    ==   M  aero,O  +   M   prop,O  + r C   × mg  (2)Nessas equa¸c˜oes, a velocidade   V   ´e a velocidade inercial da aeronave, e a di´adica    J  O  ´ea  di´ adica de in´ercia   tendo como referˆencia o ponto  O , sendo obtida pela integral:   J  O  =   V  ρ  ( r · r )    1 − rr  dV , na qual  r  denota o vetor-posi¸c˜ao do elemento de massa  ρdV   em rela¸c˜ao ao ponto  O .As equa¸c˜oes acima s˜ao equa¸c˜oes vetoriais que podem ter seus vetores expressos em qualquer sistema de coordenadas, desde que, antes de realizar opera¸c˜oes com eles (comosomas ou produtos vetoriais), todos sejam colocados num mesmo sistema. Assim, ´e usualexpress´a-las utilizando o sistema do corpo.Neste curso, usaremos um sobrescrito no vetor para identificar o sistema de coorde-nadas em que ele ´e escrito. Assim, por exemplo,   V   b denota a velocidade inercial da1  aeronave escrita no sistema do corpo, no qual suas componentes s˜ao  u ,  v  e  w , respec-tivamente. Os vetores tamb´em podem ser representados matricialmente, empregandomatrizes-coluna. Nesse caso, convencionamos usar a nota¸c˜ao em negrito com um subs-crito:  V b  =   u v w  T  .Considerando o exposto acima, resolva os seguintes itens: a)  (2.0 pontos) Considere a equa¸c˜ao dos momentos escrita no sistema do corpo. Nessecaso, o primeiro termo dela ´e dado por: b ddt    J   bO ·  ω bb/i  , onde:   J   bO  =   V  ρ  r b · r b     1 − r b r b  dV . Por que ´e conveniente expressar a di´adica de in´ercia no sistema do corpo? Qual a sim-plifica¸c˜ao decorrente na derivada temporal acima, para uma aeronave r´ıgida? b)  (2.0 pontos) Considere  r b como tendo as componentes  x ,  y  e  z  , ou seja,  r b  =   x y z   T  . Nesse caso, obtenha a express˜ao para a di´adica de in´ercia em fun¸c˜ao dos momentos e produtos de in´ercia da aeronave, abaixo definidos. Como alternativa, sa-bendo que uma di´adica pode ser representada matricialmente como uma matriz trˆes portrˆes, vocˆe pode obter, em vez da di´adica em si, a matriz de in´ercia, que ´e analogamentecalculada: J O,b  =   V  ρ  r T b  r b  I 3 − r b r T b  dV . Os momentos e produtos de in´ercia da aeronave s˜ao: I  xx  =   V  ρ  y 2 +  z  2  dV ,I  yy  =   V  ρ  x 2 +  z  2  dV ,I  zz  =   V  ρ  x 2 +  y 2  dV ,I  xy  =   V  ρxydV ,I  xz  =   V  ρxzdV ,I  yz  =   V  ρyzdV . c)  (2.0 pontos) Considere que a srcem do sistema do corpo,  O , ´e agora coincidente como CG da aeronave,  C  , de tal forma que  r C   =    0. Obtenha as equa¸c˜oes simplificadas domovimento a partir das Eqs. 1-2. Qual a consequˆencia principal dessa simplifica¸c˜ao? 2  d)  (2.0 pontos) Considere as equa¸c˜oes simplificadas para  r C   =   0 obtidas no item (c). Osvetores que as comp˜oem s˜ao escritos no sistema do corpo da seguinte forma: V b  =   u v w  T  , ω b/ib  = ω b/vb  =   p q r  T  , F aero,b  + F  prop,b  =   X Y Z   T  , g b  =  C b/i   0 0  g  T  , C b/i  =  C b/v  (conferir defini¸c˜oes na Lista 01) , M aero,C,b  + M  prop,C,b  =   L M N     T  . Nessas condi¸c˜oes, obtenha as seis equa¸c˜oes diferenciais escalares do movimento, em termos de ˙ u , ˙ v , ˙ w , ˙  p , ˙ q   e ˙ r . N˜ao se preocupe em isolar ˙  p , ˙ q   e ˙ r . Caso queira, vocˆe podefazer isso num  software   de matem´atica simb´olica.Observando as equa¸c˜oes que envolvem ˙  p , ˙ q   e ˙ r , qual seria a vantagem de se empregarcomo eixos do corpo os eixos principais de in´ercia da aeronave? e)  (2.0 pontos) Voltemos, finalmente, `as equa¸c˜oes do movimento com  r C   qualquer, Eqs.1-2. Escreva as equa¸c˜oes matriciais a elas correspondentes, assumindo os vetores no sistema do corpo, de maneira an´aloga `a feita no item (d). Mostre que, ao considerarconjuntamente as equa¸c˜oes das for¸cas e dos momentos, ´e poss´ıvel constituir uma matriz de massa generalizada  M gen , que multiplica o vetor generalizado   ˙ u  ˙ v  ˙ w  ˙  p  ˙ q   ˙ r  T  ,sendo  M gen  dada por: M gen  =   m I 3  − m  r C  m  r C   J O,b  . A matriz de massa generalizada ´e sim´etrica ou anti-sim´etrica? Qual a grande vantagemcomputacional de se formar essa matriz de massa?3
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