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Fisica Conceptos y Aplicaciones - Paul Tippens - Septima Edicion

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Determinaci´ on Num´ erica de Eigenvalores y Eigenvectores. Jos´ e Mar´ ıa Rico Mart´ ınez Departamento de Ingenier´ ıa Mec´ anica. Universidad de Guanajuato, F. I. M. E. E. Calle Tampico No. 912, Col. Bellavista. CP 36730, Salamanca, Gto., M´ exico Tel. +52-464-6480911, Fax: +52-464-6472400. E-mail: jrico@salamanca.ugto.mx 1 Introducci´ on Estas notas tienen como objetivo presentar los conceptos fundamentales de la teor´ ıa de Eigenvalores y Eigenvectores, tambi´ en conocidos como valores y
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  Determinaci´on Num´erica de Eigenvalores y Eigenvectores. Jos´e Mar´ıa Rico Mart´ınezDepartamento de Ingenier´ıa Mec´anica.Universidad de Guanajuato, F. I. M. E. E.Calle Tampico No. 912, Col. Bellavista.CP 36730, Salamanca, Gto., M´exicoTel. +52-464-6480911, Fax: +52-464-6472400.E-mail:  jrico@salamanca.ugto.mx 1 Introducci´on Estas notas tienen como objetivo presentar los conceptos fundamentales de la teor´ıa de Eigenvalores y Eigen-vectores, tambi´en conocidos como valores y vectores carater´ısticos o como valores y vectores propios, de unamatriz cuadrada, as´ı como una revisi´on somera de los m´etodos num´ericos empleados para su determinaci´on. 2 Establecimiento del problema y definiciones. Considere una matriz  A  ∈  n × n dada por A  =  a 11  a 12  a 13  ... a 1 n a 21  a 22  a 23  ... a 2 n a 31  a 32  a 33  ... a 3 n ............... a n 1  a n 2  a n 3  ... a nn  (1) Definici´on: Eigenvalor y Eigenvector.  Un vector  b  ∈  n , tal que  b   =   0, se dice que es un  eigenvector,vector propio o vector caracter´ıstico , de la matriz  A  si y s´olo si 1 A  b  =  λ b,  donde  λ  ∈  C.  (2)Adem´as, se dice que el escalar  λ  es el  eigenvalor, valor propio o valor characteristico  de la matriz  A asociado al eigenvector   b ; de manera rec´ıproca, se dice que   b  es un eigenvector de  A  asociado al eigenvalor  λ .Debe notarse que, a´un cuando la matriz  A  es real, los eigenvalores asociados a la matriz pueden ser n´umeroscomplejos. Teorema I.  El conjunto de todos los eigenvectores   b  asociados al eigenvalor  λ  constituyen un subespaciovectorial de   n , concido como el  eigenespacio  asociado al eigenvalor  λ . Prueba:  Es suficiente mostrar que el conjunto de vectores E   =  {  b  ∈  n |  A  b  =  λ b } est´a cerrado respecto a la adici´on de vectores y la multiplicaci´on por escalar. 1 Debe notarse que la ecuaci´on (2) requiere necesariamente que la matriz deba ser cuadrada. 1  1. Sean   b 1 , b 2  ∈  E  , por lo tanto A  b 1  =  λ b 1  y  A  b 2  =  λ b 2 Puesto que la multiplicaci´on de matrices es una operaci´on lineal, se tiene que A   b 1  +  b 2   =  A  b 1  + A  b 2  =  λ b 1  +  λ b 2  =  λ   b 1  +  b 2  por lo tanto, el conjunto est´a cerrado respecto de la adici´on.2. Sea   b 1  ∈  E   y  µ  ∈  , por lo tanto A  b 1  =  λ b 1 . Puesto que la multiplicaci´on de matrices es una operaci´on lineal, se tiene que A  µ b 1   =  µ A  b 1  =  µλ b 1  =  λµ b 1  =  λ  µ b 1  . por lo tanto, el conjunto est´a cerrado respecto a la multiplicaci´on por escalar.Estas dos pruebas parciales verifican que el conjunto de todos los eigenvectores   b  asociados al eigenvalor  λ constituyen un subespacio vectorial de   n Considere ahora la ecuaci´on (2), que puede reescribirse de la siguiente forma A  b  =  λ b,  o  A  b  =  I n λ b,  o [ A − λ I n ]  b  =   0 (3)donde  I n  es la matriz identidad de orden  n . Puesto que, por definici´on,   b   =    0, la ´unica posibilidad para quela ecuaci´on (3) se satisfaga es que, la matriz [ A − λ I n ] sea singular y que   b  sea un elemento del espacio nulo okernel de la matriz. Una condici´on necesaria y suficiente para que la matriz [ A − λ I n ] sea singular es que sudeterminante sea cero; es decir  p ( λ ) = |  A − λ I n  | = 0 .  (4)Expandiendo el determinante de la ecuaci´on (4), se obtiene una ecuaci´on polinomial real de  n -´esimo orden en  λ .Esta ecuaci´on se denomina la  ecuaci´on caracter´ıstica  de la matriz  A . Las raices de la ecuaci´on caracter´ısticason los eigenvalores de la matriz y los vectores que satisfacen la ecuaci´on (3) son los eigenvectores asociados alos eigenvalores respectivos.Es importante se˜nalar que si la matriz  A  es real, la ecuaci´on caracter´ıstica de orden  n  es real. Del teoremafundamental del algebra, se sabe que la ecuaci´on (4) tiene  n  raices cuando se analiza en el campo de los n´umeroscomplejos, tomando en cuenta la multiplicidad de una raiz; es decir, cuantas veces aparece como repetida unaraiz. Adem´as, si la ecuaci´on (4) tiene una raiz compleja o imaginaria, el complejo conjugado de esa raiz, tambi´enes raiz de la ecuaci´on. En otras palabras, las raices complejas o imaginarias de una ecuaci´on polinomial realsiempre aparecen como pares conjugados. 3 M´etodo directo de determinaci´on de los eigenvalores y eigenvec-tores de una matriz. Las observaciones indicadas al t´ermino de la secci´on 2, constituyen las bases de la determinaci´on de eigenvaloresy eigenvectores por el m´etodo directo. Los pasos necesarios para esta determinaci´on se indican a continuaci´on.1. Determine la ecuaci´on caracter´ıstica de la matriz; es decir determine  p ( λ ) = | A − λ I n  | = 0 . 2. Encuentre las  n  raices de la ecuaci´on caracter´ıstica. Estas raices son los eigenvalores de la matriz.2  3. Para cada uno de los eigenvalores determine el subespacio soluci´on de la ecuaci´on[ A − λ I n ]  b  =   0 . Estos subespacios soluci´on constituyen el eigenespacio asociado al eigenvalor  λ . 3.1 Ejemplo 1. Considere la matriz dada por A  =  8 2 4 12 6  − 2 14 3  − 8 0 − 2 3 4 5  La ecuaci´on caracter´ıstica de la matriz  A  est´a dada por0 = |  A − λ I 4  | =  p ( λ ) =  − 1636+ 756 λ − 49 λ 2 − 11 λ 3 +  λ 4 La figura 1 muestra la gr´afica de la ecuaci´on caracter´ıstica, es evidente, de la figura que existen 4 raices realesLas raices de la ecuaci´on caracter´ıstica y, por lo tanto, los eigenvalores de la matriz  A  est´an dadas por 2,00010−2,000−4,0001,000lambda0−1,000−3,00086420−2−4−6−8 Figure 1: Gr´afica de la Ecuaci´on Caracter´ıstica de la Matriz  A . λ 1  =  − 8 . 382430513 , λ 2  = 3 . 094656787 , λ 3  = 6 . 339424118 , λ 4  = 9 . 948349608 . Para la determinaci´on de los eigenvectores asociados a  λ 1  =  − 8 . 382430513, se tienen que realizar los siguien-tes c´alculos.1. Determinar la matriz  A − λ 1 I 4 , dada por A − λ 1 I 4  =  16 . 38243051 2 4 12 14 . 38243051  − 2 14 3 0 . 382430513 0 − 2 3 4 13 . 38243051  3  2. Obtener la forma escalonada reducida de la matriz  A − λ 1 I 4 , dada por  16 . 38243051 2 . 0 4 . 0 1 . 00 14 . 13826650  − 2 . 488328029 0 . 87791799280 0 5 . 059299318 13 . 303065620 0 0 0 . 0000000009  Este resultado parece contradictorio, si los c´alculos se hubieran realizado de manera exacta, la matriz A − λ 1 I 4  debe ser singular, y el t´ermino (4 , 4) de la forma escalonada reducida deber´ıa ser igual a 0. Ladiferencia es el resultado de no realizar los c´alculos de manera exacta.3. Despreciando el error indicado en el punto anterior, el eigenvector asociado al eigenvalor  λ 1  est´a dado porla soluci´on del sistema  16 . 38243051 2 . 0 4 . 0 1 . 00 14 . 13826650  − 2 . 488328029 0 . 87791799280 0 5 . 059299318 13 . 30306562  x 1 x 2 x 3 x 4  =  000  La soluci´on est´a dada por  b λ 1  =   − 0 . 2453188593 0 . 1996149746 1  − 0 . 3803107842  T  . Es importante se˜nalar que cualquier m´ultiplo escalar de   b λ 1  es igualmente un eigenvector de la matriz  A asociado al eigenvalor  λ 1 .Procediendo de manera semejante con los restantes eigenvalores, se tiene que1. Para  λ 2  = 3 . 094656787, se tiene que  b λ 2  =   0 . 06478833904  − 0 . 4579574956  − 0 . 1004735120 1  T  . 2. Para  λ 3  = 6 . 339424118, se tiene que  b λ 3  =   − 0 . 5802494150 0 . 2153771052  − 0 . 1168015068 1  T  . 3. Para  λ 4  = 9 . 948349608, se tiene que  b λ 4  =   1 0 . 3756429166 0 . 2856490351 0 . 05446763308  T  . 4 Determinaci´on de Eigenvalores y Eigenvectores de Matrices Si-m´etricas. Esta secci´on inicia definiendo de manera formal una matriz sim´etrica. Definici´on.  Una matriz  A  ∈  n × n se dice que es sim´etrica, si y s´olo si, su transpuesta es igual a la matrizsrcinal, es decir: A T  =  A . Si la matriz cuyos eigenvalores y eigenvectores se desea determinar es sim´etrica, entonces es posible encontrarinteresantes resultados te´oricos que simplifican esa determinaci´on. Por ejemplo, en la secci´on 2, se coment´o que 4

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Jul 30, 2017

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