Documents

II. Conditii de extrem UNLP.pdf

Description
1.6 Conditii de extrem in problema UNLP ( de optimizare neliniara fara constrangeri). Consideram o problema de optimizare neliniara unidimensionala fara con- strangeri ((UNLP) adica o problema ce rezida in determinarea vectorului coloana (x )T = (x1 ; :::; xn )T pentru functia obiectiv f : Rn ! R cu proprietatea ca min f (x) = f (x ) = f (x1 ; :::; xn ) x2Rn Deoarece in multe din astfel de probleme conditiile de existenta a extremului
Categories
Published
of 2
All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
Related Documents
Share
Transcript
  1.6 Conditii de extrem in problema UNLP ( de optimizare neliniarafara constrangeri). Consideram o problema de optimizare neliniara unidimensionala fara con-strangeri ((UNLP) adica o problema ce rezida in determinarea vectorului coloana ( x  ) T  = ( x  1 ;:::;x  n ) T  pentru functia obiectiv  f   : R n ! R  cu proprietatea ca min x 2 R n f  ( x ) =  f  ( x  ) =  f  ( x  1 ;:::;x  n ) Deoarece in multe din astfel de probleme conditiile de existenta a extremuluiimplica notiunea de functie convexa, matrice Hessiana, etc., vom expune pe scurtcateva rezultate auxiliare legate de aceste notiuni utile in stabilirea conditiilorin care aceste solutii optime exista.Amintim ca o matrice patratica  A 2M n ( R )  se numeste-pozitiv semide…nita daca pentru  8 x 2 R n are loc proprietatea  x T  Ax  0; -pozitiv de…nita daca pentru 8 x 2 R n ,  x 6 = 0 , are loc proprietatea  x T  Ax >  0 : Deoarece matricea Hessiana r 2 f  ( x ) = (( @  2 f  ( x ) @x i @x j )) i;j =1 ;n  este, in situatia cand f   2 C  2 ; o matrice simetrica, pentru a stabili daca aceasta ste o matrice pozitiv(semi)de…nita putem apela la urmatoarea Lema.  Pentru orice matrice simetrica   A  2  M  n ( R )  urmatoarele a…rmatii sunt echivalente:a)  A  este pozitiv (semi)de…nita;b) Toate valorile proprii ale matricei   A  sunt (nenegative) pozitive;c) Toti minorii principali ai lui   A  sunt (nenegativi) pozitivi. Remarca.  Amintim ca prin valoare proprie a unei matrici patratice simet-rice se intelege oricare din solutiile ecuatiei caracteristicefata de parametrul    : det( A  I  n ) = 0 ; unde  I  n  este matricea unitara dedimensiunea  n  n .Conditiile de extrem pentru problema UNLP se impart in doua categorii: (I)de ordinul I si (II) de ordinul II, similar , dealtfel, cu conditiile de convexitateale unei functii. Conditia  necesara   de ordinul I.  Daca  x  este un punct de minim pentru f  ( x )  si  f   2 C  1 , atunci gradientul  r f  ( x  ) = 0 ; adica @f  ( x ) @x i j x = x   = 0 ; 8 i  = 1 ;n: ( 1 ) : Conditia  su…cienta   de ordinul I.  Daca  f  ( x )  2 C  1 si totodata este ofunctie convexa, atunci solutia  x  pentru sistemul de ecuatii  ( 1 )  este o solutiede minim pentru problema UNLP. Conditia  necesara   de ordinul II.  Daca  x  este un punct de minim pentru f  ( x )  si  f   admite derivate partiale de ordinul doi continue in punctul  x  , atunciHessiana  r 2 f  ( x  )  este  pozitiv semide…nita  ; adica x T  ( r 2 f  ( x  )) x  0 ;  8 x 2 R n : 1  Conditia  su…cienta   de ordinul II.  Daca  x  2 R n este un punct stationarpentru functia  f  , adica este o solutie a sistemului de ecuatii  ( 1 )  si totodata f   admite derivate partiale de ordinul doi continue in punctul  x  astfel incatHessiana  r 2 f  ( x  )  este  pozitiv de…nita, adica  x T  r 2 f  ( x  ) x >  0 ; 8 x 2 R n ;x 6 = 0 ; atunci  x  este punct de minim local sau chiar de minim global in caz ca r 2 f  ( x ) este pozitiv semide…nita, adica y T  ( r 2 f  ( x )) y   0 ; 8 x;y  2 R n . Remarca.  Faptul ca  x  este punct de minim global in cazul ca Hesiana r 2 f  ( x )  este pozitiv semide…nita (vezi conditia su…cienta de ordinul II) rezultadin conditia su…cienta de ordinul I si urmatoarea Teorema.  Pentru ca o functie  f   : R n ! R  cu  dom f   multime convexa si  f  2 C  2 sa …e functie convexa este necesar si su…cient ca hessiana functiei  f   sa…e pozitiv semide…nita, adica y T  ( r 2 f  ( x )) y   0 ; 8 x;y  2 R n ::  Exemplu.  Consideram functia  f   :  R n !  R , unde  f  ( x ) =  ax 2 + 2 xy  + by 2  2 x  3 y: Observam ca pentru acele valori  a;b 2 R  pentru care hessiana r 2 f  ( x ) =   2 a  22 2 b  este pozitiv semide…nita functia noastra  f   este convexa, prin urmare solutiasistemului de ecuatii (  @f  ( x;y ) @x  = 0 ; @f  ( x;y ) @y  = 0 ;  ()   2 ax  + 2 y  = 2 = 0 ; 2 x  + 2 by  = 3 ; coincide cu punctul de minim global pentru functia  f   .2

The Inca

Jan 27, 2018
Search
Related Search
We Need Your Support
Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

Thanks to everyone for your continued support.

No, Thanks